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1、 专题检测(五)解析几何(本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1过点(2,0)且垂直于直线x2y30 的直线方程为 A2xy40 B2xy40 Cx2y20 Dx2y20 解析 易知所求直线的斜率为2，所以方程为y02(x2)，即 2xy40.答案 A 2(2011中山模拟)若抛物线y22px的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合，则p的值为 A2 B2 C4 D4 解析 据题意p22，p4.答案 D 3下列曲线中离心率为62的是 A.x24y221 B.x24y22
2、1 C.x24y2101 D.x24y2101 解析 选项 A、B、C、D中曲线的离心率分别是22、62、155、142.答案 B 4已知抛物线C：y2x与直线l：ykx1，“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由 y2xykx1得ky2y10，当k0 时，14k0，得k14.即若直线l与抛物线C有两个不同的交点，则k14且k0，故选 D.答案 D 5已知圆C与直线xy0 及xy40 都相切，圆心在直线xy0 上，则圆C的方程为 A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22
3、 D(x1)2(y1)22 解析 设圆心坐标为(a，a)，r|2a|2|2a4|2，解得a1，r 2，故所求的方程为(x1)2(y1)22.答案 B 6若曲线x2y22x6y10 上相异两点P、Q关于直线kx2y40 对称，则k的值为 A1 B1 C.12 D2 解析 曲线方程可化为(x1)2(y3)29，由题设知直线过圆心，即k(1)2340，k2.故选 D.答案 D 7已知椭圆x24y231 的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足F1PF230，则F1PF2的面积为 A3(2 3)B3(2 3)C2 3 D2 3 解析 由题意，得 若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题
4、意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所|PF1|PF2|2a4，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30|F1F2|24，所以|PF1|PF2|12(2 3)，所以SF1PF212|PF1|PF2|sin 303(2 3)答案 B 8直线axy 2a0(a0)与圆x2y29 的位置关系是 A相离 B相交 C相切 D不确定 解析 圆x2y29 的圆心为(0,0)，
5、半径为 3.由点到直线的距离公式d|Ax0By0C|A2B2得该圆圆心(0,0)到直线axy 2a0 的距离d2aa2122aa212，由基本不等式可以知道 2aa212，从而d2aa2121r3，故直线axy 2a0 与圆x2y29 的位置关系是相交 答案 B 9(2 011大纲全国卷)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4 与C交于A，B两点，则 cos AFB A.45 B.35 C35 D45 解析 解法一 由 y2x4，y24x，得 x1，y2或 x4，y4.令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3 5.cos AFB
6、|BF|2|AF|2|AB|22|BF|AF|42545225 45.解法二 由解法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，FA(3,4)，FB(0，2)，|FA|32425，|FB|2.若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 cos AFBFAFB|FA|FB|30425245.答案 D 10已知椭圆x23m2y25n21
7、 和双曲线x22m2y23n21 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 Ax152y By152x Cx34y Dy34x 解析 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆的右焦点(3m25n2，0)，双曲线的右焦点(2m23n2，0)，3m25n22m23n2，m28n2，即|m|2 2|n|，双曲线的渐近线为y3|n|2|m|x34x，即y34x.答案 D 11(2010课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为 A.x23y261 B.x24y251 C.x26y231 D.x25y241
8、解析 kAB0153121，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则x2a2x32b21.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 则x1x26a2a2b22(
9、12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为x24y251.答案 B 12如图所示，F1和F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则离心率为 A.312 B.31 C.312 D.31 解析 设F2(c,0)，则圆O的方程是x2y2c2.与双曲线方程联立，消掉y得x2a2c2x2b21，解得xa b2c2c(舍去正值)由于O是正三角形F2AB的外接圆的圆心，也是其重心，故F2到直线AB的距离等于32|OF2|3c2，即ca b2c2c3c2，
10、即 2a b2c2c2.将b2c2a2代入上式，并平方得 4a2(2c2a2)c4，整理，得c48a2c24a40，两端同时除以a4，得e48e240.解方程得e242 3，由于e21，故e242 3，所以e 31.答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分把答案填在题中的横线上)若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为
11、解析由题意得所以所 13在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2上一点M，点M的横坐标是 2，则M到抛物线焦点的距离是_ 解析 因为点M的横坐标是 2，故其纵坐标为 8，又p218，所以M到抛物线焦点的距离为 818658.答案 658 14点P为双曲线x24y21 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是_ 解析 设P(x0，y0)，M(x，y)，则x02x，y02y，代入双曲线方程得x24y21.答案 x24y21 15已知椭圆的中心在原点，离心率e32，且它的一个焦点与抛物线x24 3y的焦点重合，则此椭圆的方程为_ 解析 抛物线的焦点为(0，3)，椭圆的中心在原点，
12、则所求椭圆的一个焦点为(0，3)，半焦距c 3，又离心率eca32，所以a2，b1，故所求椭圆的方程为x2y241.答案 x2y241 16已知a(6,2)，b4，12，直线l过点A(3，1)，且与向量a2b垂直，则直线l的一般方程是_ 解析 a2b(6,2)24，12(2,3)，与向量a2b平行的直线的斜率为32，又l与向量a2b垂直，l的斜率k23.又l过点A(3，1)，若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线
13、过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 直线l的方程为y123(x3)，化成一般式为 2x3y90.答案 2x3y90 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)(2011福建)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程 解析(1)由 yxb，x24y得x24x4b0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2.将
14、其代入x24y，得y1.故点A(2,1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1 的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.18(12 分)(2011安徽)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆 2x2y21 上 证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k2120，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)解法一 由方程组 yk1x1，yk2x1解得交点P的坐标为2k2k
15、1，k2k1k2k1，而 2x2y222k2k12k2k1k2k12 若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 8k22k212k1k2k22k212k1k2k21k224k21k2241.此即表明交点P(x，y)在椭圆 2x2y21 上 解法二 交点P的坐标(x，y)满足 y1k1x，y1k2x.故知x0.从而 k1y1x，k2y
16、1x.代入k1k220，得y1xy1x20.整理后，得 2x2y21，所以交点P在椭圆 2x2y21 上 19(12 分)(2011开封模拟)如图所示，已知圆O：x2y24，直线m：kxy10.(1)求证：直线m与圆O有两个相异交点；(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B，求AOB面积S的最大值 解析(1)证明 直线m：kxy10 可化为y1kx，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O：x2y24 内部，所以直线m与圆O恒有两个不同交点(2)圆心O到直线m的距离为 d11k2，而圆O的半径r2，故弦AB的长为|AB|2r2d22 4d2，故AOB面积S12|AB|d122 4d2d 4d
17、2d4 d2224.而d211k2，因为 1k21，所以d211k2(0,1，显然当d2(0,1 时，S单调递增，所以当d21，即k0 时，S取得最大值 3，若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 此时直线m的方程为y10.20(12 分)已知圆C的方程为x2y24.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|
18、2 3，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线 解析(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，3)，其距离为 2 3，满足题意 若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20.设圆心到此直线的距离为d，则 2 32 4d2，得d1.所以|k2|k211，解得k34，故所求直线方程为 3x4y50.综上所述，所求直线方程为 3x4y50 或x1.(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y00)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐
19、标是(0，y0)因为OQOMON，所以(x，y)(x0,2y0)，即x0 x，y0y2.又因为M是圆C上一点，所以x20y204，所以x2y244(y0)，所以Q点的轨迹方程是x24y2161(y0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴，长轴为 8、短轴为 4 的椭圆，除去短轴端点 21(12 分)(2011上海)已知椭圆C：x2m2y21(常数m1)，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为(2,0)(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m3，求|PA|的最大值与最小值；(3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围 解析(1)由题意知m2，椭圆方程为x24y
20、21，若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 c 41 3，左、右焦点坐标分别为(3，0)，(3，0)(2)m3，椭圆方程为x29y21，设P(x，y)，则|PA|2(x2)2y2(x2)21x2989x94212(3x3)，当x94时，|PA|min22；当x3 时，|PA|max5.(3)设动点P(x，y)，则|PA|2(x2
21、)2y2(x2)21x2m2m21m2x2m2m2124m2m215(mxm)当xm时，|PA|取最小值，且m21m20，2m2m21m且m1，解得 1m1 2.22(14 分)如图所示，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝角，若|AF1|72，|AF2|52，(1)求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD的中点，H为BE的中点，问|BE|CD|GF2|HF2|是否为定值？若是，求出定值；
22、若不是，请说明理由 解析(1)解法一 设椭圆方程为 x2a2y2b21(ab0)，则 2a|AF1|AF2|72526，若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 得a3.设A(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(xc)2y2722，(xc)2y2522，两式相减，得xc32，由抛物线定义可知|AF2|xc52，则c1，x3
23、2或x1，c32(因AF2F1为钝角，故舍去)所以椭圆方程为x29y281，抛物线方程为y24x.解法二 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，抛物线方程为y22px.如图所示，过F1作垂直于x轴的直线xc，即抛物线的准线，过A作AN垂直于该准线于点N，作AMx轴于点M，则由抛物线的定义，得|AF2|AN|，所以|AM|AF1|2|F1M|2|AF1|2|AN|2|AF1|2|AF2|2 722522 6.|F2M|522612，得|F1F2|52122，所以c1.由p2c得p2.由 2a|AF1|AF2|6，得a3.b2a2c28.所以椭圆方程为x29y281，若抛物线的焦点与椭圆为的右
24、焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所 抛物线方程为y24x.(2)设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线yk(x1)，由题意知k0，代入x29y281，得 8yk129y2720，即(8 9k2)y216ky64k20，则y1y216k89k2，y1y264k289k2.同理，将yk(x1)代入y24x，得ky24
25、y4k0，则y3y44k，y3y44.所以|BE|GF2|CD|HF2|y1y2|y3y4|12|y3y4|12|y1y2|y1y22y1y22y3y42y3y42 y1y224y1y2y1y22y3y42y3y424y3y416k289k22464k289k216k289k224k24k2163，为定值 若抛物线的焦点与椭圆为的右焦点重合则的值解析据题意答案下列曲线中离心率为的是解析选项中曲线的离心率分别也不必要条件解析由得当时得即若直线与抛物线有两个不同的交点则且故选答案已知圆与直线及都相切圆心在直线上可化为由题设知直线过圆心即故选答案已知椭圆的两个焦点分别为为椭圆上一点满足则的面积为解析由题意得所以所