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1、 一、选择题 1(2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是 A 823 B 83 C 82 D.23 解析 由三视图可知该几何体是一个棱长为 2 的正方体内部挖去一个底面半径为 1，高为2 的圆锥，所以 V 23132 823，故选 A.答案 A 2正方体 ABCD A1B1C1D1中，P、Q、E、F 分别是 AB、AD、B1C1、C1D1的中点，则正方体的过 P、Q、E、F 的截面图形的形状是 A 正方形 B平行四边形 C正五边形 D 正六边形 解析 如图所示，由 EF PQ，可确定一个平面，此平面与正方体的棱 BB1、DD1分别相交于点 M、N，由此可得截面图形的形状为正六边形 P
2、QNFEM，故应选 D.答案 D 3在 ABC 中，AB 2，BC 1.5，ABC 120，若 ABC 绕直线 BC旋转一周，则所形 成的几何体的体积是 A.32 B.52 C.72 D.92 解析 依题意可知，ABC 绕直线 BC旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为 2sin 60 3，高为 1.5 2cos 60 2.5 的圆锥，挖去一个底面半径为 3，高为 1 的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积 V 13(3)2(2.5 1)32，故应选 A.答案 A 4(20 11惠州模拟)下图是某几何体的直观图，其三视图正确的是 解析 由三视图的知识可知 A正确 答案 A
3、5已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3，体积为 6，则这个球的表面积是 A 16 B20 C24 D 32 解析 设正四棱锥的底面边长为 a，则 6133 a2，得 a 6，HC 3，设球心为 O，半径为 R，则 R2(3 R)2 3(如图(1)或 R2(R 3)2 3，解得 R 2，S16.行四边形正六边形解析如图所示由可确定一个平面此平面与正方体的棱分别相交于点由此可得截面图形的形状为正六 的一个几何体该几何体是由底面半径为高为的圆锥挖去一个底面半径为高为的圆锥所形成的几何体则该几何体的体积 在同一个球面上的正四棱锥高为体积为则这个球的表面积是解析设正四棱锥的底面边长为则得设球心为
4、半径为则如图 图(1)图(2)答案 A 6(2011丰台模拟)四面体 OABC 的三条棱 OA，OB，OC两两垂直，OA OB 2，OC 3，D为四面体 OABC 外一点给出下列命题 不存在点 D，使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形；不存在点 D，使四面体 ABCD 是正三棱锥；存在点 D，使 CD与 AB垂直并且相等；存在无数个点 D，使点 O在四面体 ABCD 的外接球球面上 其中真命题的序号是 A B C D 解析 依题意得，AB 2 2，AC BC 13.对于，取点 D，使得 DA 3，DB 17，DC 2(注：这样的点 D是分别以点 A，B，C 为球心、3，17，2 为半径的球
5、面的公共点，显然这三个球面有公共点，即满足这样的条件的点 D存在)，此时有 DA2 AB2 17 DB2，DC2 CB2 17 DB2，DA2 DC2 13 AC2，即有 DA AB，DC CB，DA DC，即四面体 ABCD 有三个面是直角三角形，因此不正确；对于，取点 D，使得 DA DB 2 2，DC 13(注：这样的点 D的产生过程类似于中的点 D)，此时 DAB 是等边三角形，三条侧棱相等，四面体 ABCD，即 C ABD 是正三棱锥，因此不正确；对于，将该四面体补成一个正四棱柱，易知取上底面的与点 C 相对的顶点作为点 D，此时 CD与 AB垂直并且相等，因此正确；对于，将该四面体
6、补成一个正四棱柱，作出该正四棱柱的外接球，在这个球面上任取一点(异于点 A，B，C，O)作为点 D都能满足点 O在四面体 ABCD 的外接球球面上，因此正确综上所述，其中真命题的序号是，选 D.答案 D 二、填空题 7(2011福建)三棱锥 P ABC 中，PA 底面 ABC，PA 3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P ABC 的体积等于 _ 行四边形正六边形解析如图所示由可确定一个平面此平面与正方体的棱分别相交于点由此可得截面图形的形状为正六 的一个几何体该几何体是由底面半径为高为的圆锥挖去一个底面半径为高为的圆锥所形成的几何体则该几何体的体积 在同一个球面上的正四棱锥高
7、为体积为则这个球的表面积是解析设正四棱锥的底面边长为则得设球心为半径为则如图 解析 PA 底面 ABC，PA为三棱锥 P ABC 的高，且 PA 3.底面 ABC 为正三角形且边长为 2，底面面积为1222sin 60 3，VP ABC13 33 3.答案 3 8一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 _ 解析 设底面边长为 x，则 V 34x2x 2 3，x 2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为 2，宽为 3的矩形，其面积为 2 3.答案 2 3 9如图，半径为 4 的球 O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时
8、，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 _ 解析 解法一 圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为，则圆柱底面半径为 4sin，高为 8cos，S圆柱侧24sin 8cos 32sin 2.当 sin 2 1 时，S圆柱侧最大为 32.此时 S球表 S圆柱侧4423232.解法二 设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2 r2，S圆柱侧2 r 2 R2 r24 r2R2 r2 4r2 R2 r222 R2 当且仅当 r2 R2 r2，即 r 22R 时取“”.又 R 4，S圆柱侧最大为 32.行四边形正六边形解析如图所示由可确定一个平面此平面与正方体的棱分别相交于点由此可得截面图形的形
9、状为正六 的一个几何体该几何体是由底面半径为高为的圆锥挖去一个底面半径为高为的圆锥所形成的几何体则该几何体的体积 在同一个球面上的正四棱锥高为体积为则这个球的表面积是解析设正四棱锥的底面边长为则得设球心为半径为则如图 此时 S球表 S圆柱侧 4423232.答案 32 三、解答题 10如图所示，在单位正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 A1B 上存在一点 P，使 AP D1P 最短，求 AP D1P 的最小值 解析 设 A1P x，则 在 AA1P 中，AP 12 x221 xcos 45 x2 2x 1，在 Rt D1A1P 中，D1P 1 x2.y AP D1P x2 2x 1
10、x2 1，下面求对应的函数 y 的最小值 将函数 y 变形，得 y x2220222 x 02 0 1 2，它表示平面直角坐标系中，在 x 轴上存在一点 P(x,0)，它到点 M22，22与到点 N(0，1)的距离之和最小，当 P、M、N三点共线时，这个值最小，则为 22 0222 12 2 2.11如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，PD 底面ABCD，且 PD a，PA PC 2a，若在这个四棱锥内放一球求此球的最大半径 解析 设放入的球的半径为 r，球心为 O，连接 OP、OA、OB、OC、OD，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱
11、锥的高都是 r，行四边形正六边形解析如图所示由可确定一个平面此平面与正方体的棱分别相交于点由此可得截面图形的形状为正六 的一个几何体该几何体是由底面半径为高为的圆锥挖去一个底面半径为高为的圆锥所形成的几何体则该几何体的体积 在同一个球面上的正四棱锥高为体积为则这个球的表面积是解析设正四棱锥的底面边长为则得设球心为半径为则如图 底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则 VP ABCD13r(S PAB S PBC S PCD S PAD S正方形 ABCD)13r(2 2)a2.由题意，知 PD 底面 ABCD，VP ABCD13S正方形 ABCDPD 13a3.由体积相等，得13r(2 2)a213
12、a3，解得 r 12(2 2)a.12 如图 1，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面 ABC，AC BC，D为侧棱 PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示(1)证明：AD 平面 PBC；(2)求三棱锥 D ABC 的体积；(3)在 ACB 的平分线上确定一点 Q，使得 PQ 平面 ABD，并求此时 PQ的长 解析(1)证明 因为 PA 平面 ABC，所以 PA BC，又 AC BC，所以 BC 平面 PAC，所以 BC AD.由三视图可得，在 PAC 中，PA AC 4，D为 PC的中点，所以 AD PC，所以 AD 平面 PBC.(2)由三视图可得 BC 4，由(1)知
13、ADC 90，BC 平面 PAC，又三棱锥 D ABC 的体积即为三棱锥 B ADC 的体积，所以所求三棱锥的体积 V 1312 AD CD BC 13122 22 24163.(3)取 AB的中点 O，连接 CO并延长至 Q，使得 CQ 2CO，行四边形正六边形解析如图所示由可确定一个平面此平面与正方体的棱分别相交于点由此可得截面图形的形状为正六 的一个几何体该几何体是由底面半径为高为的圆锥挖去一个底面半径为高为的圆锥所形成的几何体则该几何体的体积 在同一个球面上的正四棱锥高为体积为则这个球的表面积是解析设正四棱锥的底面边长为则得设球心为半径为则如图 连接 PQ，OD，点 Q即为所求 因为
14、O为 CQ的中点，D为 PC的中点，所以 PQ OD，因为 PQ 平面 ABD，OD 平面 ABD，所以 PQ 平面 ABD，连接 AQ，BQ，因为四边形 ACBQ 的对角线互相平分，且 AC BC，AC BC，所以四边形 ACBQ 为正方形，所以，CQ即为 ACB 的平分线，又 AQ 4，PA 平面 ABC，所以在 Rt PAQ 中，PQ AP2 AQ2 4 2.行四边形正六边形解析如图所示由可确定一个平面此平面与正方体的棱分别相交于点由此可得截面图形的形状为正六 的一个几何体该几何体是由底面半径为高为的圆锥挖去一个底面半径为高为的圆锥所形成的几何体则该几何体的体积 在同一个球面上的正四棱锥高为体积为则这个球的表面积是解析设正四棱锥的底面边长为则得设球心为半径为则如图