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1、晨鸟教育 Earlybird 专题限时集训(十五)选考系列 1选修 44：坐标系与参数方程(2019 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x1t21t2，y4t1t2(t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 110.(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值 解(1)因为11t21t21，且 x2y221t21t224t2 1t221，所以 C 的直角坐标方程为 x2y241(x1)l 的直角坐标方程为 2x 3y110.(2)由(1)可设 C 的参数方程为
2、 xcos ，y2sin(为参数，)C 上的点到 l 的距离为|2cos 2 3sin 11|74cos 3117.当 23时，4cos 311 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7.选修 45：不等式选讲(2020 全国卷)设 a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca0,0)与 C1，C2交点为 A，B，|AB|2，求 .解(1)曲线 C1：x2(y2)24，转换为极坐标方程为：4sin .因为解角坐标方程为的直角坐标方程为所以的直由可设的参数方程为为参数上的点到的距离为时取得最小值故上的点妨设因为所以由可得故所以选修坐标系与参数方程全国卷在极坐标系中为
3、极点点在曲线上直线过点且与垂直垂足为当任意一点在中经检验点在曲线上所以的极坐标方程为设在中即因为在线段上且故的取值范围是所以点轨迹的极坐标方晨鸟教育 Earlybird 伸缩变换 x 2x，y 2y 转换为：xx2，yy2，代入曲线 C1：x2(y2)24，得到极坐标方程为 8sin .(2)把 代入 4sin ，即 4sin ，转换为 A(4sin ，)，同理 B(8sin ，)，由于 0 0，b0，可得 22b0，即有 0b0，即 0a2，再由 3a4b2ab3a2(2a)a(2a)4，化为 a2a0，即 0a1，由可得 0a1.故实数 a 的取值范围是(0,1 3选修 44：坐标系与参数
4、方程(2020 陕西省高三教学质量检测一)在平面直角坐标系 xOy 中，l 的参数方程为 x1t1t，yt1t(t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2123sin2.(1)求 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)求曲线 C 上的点到 l 距离的最大值及该点坐标 解(1)由 x1t1t 1t 21t121t，yt1t 1t 11t111t(t 为参数)，得 x1.因为解角坐标方程为的直角坐标方程为所以的直由可设的参数方程为为参数上的点到的距离为时取得最小值故上的点妨设因为所以由可得故所以选修坐标系与参数方程全国卷在极坐标系中
5、为极点点在曲线上直线过点且与垂直垂足为当任意一点在中经检验点在曲线上所以的极坐标方程为设在中即因为在线段上且故的取值范围是所以点轨迹的极坐标方晨鸟教育 Earlybird 消去参数 t，得 l 的普通方程为 x2y10(x1)将 2123sin2去分母得 322sin2 12，将 y sin ，2x2y2代入，得x24y231，所以曲线 C 的直角坐标方程为x24y231.(2)由(1)可设曲线 C 的参数方程为 x2cos ，y 3sin (为参数)，则曲线 C 上的点到 l 的距离 d|2cos 2 3sin 1|12 224cos 315，当 cos 31，即 32k，kZ 时，dmax
6、55 5，此时，x2cos32k1，y 3sin32k32，(kZ)所以曲线 C 上的点到直线 l 距离的最大值为 5，该点坐标为1，32.选修 45：不等式选讲(2020 长郡中学模拟)设函数 f(x)|2x1|.(1)若函数 F(x)f(x)ax 有最小值，求 a 的取值范围；(2)若关于 x 的不等式 f(x)|2x1|xm|的解集为 A，且34，2 A，求实数m 的取值范围 解(1)F(x)f(x)ax 2a x1，x12，a2 x1，x1，求曲线 C2与曲线 C3：ym|x|m 的公共点的个数 解(1)因为曲线 C1的参数方程为 xcos ，ysin ，所以曲线 C1的普通方程为x2
7、y21,将变换 T：x 2x，y y，即 x12x，yy，代入 x2y21，得x24y21,所以曲线 C2的普通方程为x24y21.(2)因为 m1，所以 C3上的点 A()0，m 在椭圆 E：x24y21 外，当 x0 时，曲线 C3的方程化为 ymxm，代入x24y21，得(4m21)x28m2x4(m21)0，(*)因为 64m44(4m21)4(m21)16(3m21)0，所以方程(*)有两个不相等的实根 x1，x2，因为解角坐标方程为的直角坐标方程为所以的直由可设的参数方程为为参数上的点到的距离为时取得最小值故上的点妨设因为所以由可得故所以选修坐标系与参数方程全国卷在极坐标系中为极点
8、点在曲线上直线过点且与垂直垂足为当任意一点在中经检验点在曲线上所以的极坐标方程为设在中即因为在线段上且故的取值范围是所以点轨迹的极坐标方晨鸟教育 Earlybird 又 x1x28m24m210，x1x24 m214m210，所以 x10，x20，所以当 x0 时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点，又因为曲线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称，所以当 x0 时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点，综上，曲线C2与曲线 C3：ym|x|m 的公共点的个数为 4.选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x1 2|x1.(1)解不等式 f(x)12x；(2)设 f(x)
9、的最大值为 m，若 2ab2bc2cam，a，b，cR，求 abc 的最小值 解(1)由题意，函数 f(x)x3，x1，3x1，1x1，x3，x1，因为 f(x)12x，可得 x312x，x0，b0，c0，所以 22ab2bc2ca a2b2b2c2c2a22a22b22c2，所以()abc23，即 abc 3，因为解角坐标方程为的直角坐标方程为所以的直由可设的参数方程为为参数上的点到的距离为时取得最小值故上的点妨设因为所以由可得故所以选修坐标系与参数方程全国卷在极坐标系中为极点点在曲线上直线过点且与垂直垂足为当任意一点在中经检验点在曲线上所以的极坐标方程为设在中即因为在线段上且故的取值范围是
10、所以点轨迹的极坐标方晨鸟教育 Earlybird 当且仅当 a2b2c213时取等号，即 abc 的最小值为 3.2选修 44：坐标系与参数方程在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 1sin (0 0)，M 为该曲线上的任意一点 (1)当|OM|32时，求 M 点的极坐标；(2)将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转2与该曲线相交于点 N，求|MN|的最大值
11、解(1)设点 M 在极坐标系中的坐标32，由 1sin ，得321sin ，sin 12，0 4 的解集；(2)m(0,1)，x0R，1m41mf(x0)，求实数 a 的取值范围 解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1 2x，x1，2，1x4 x1，2x4或 1x4或 x1，2x4，x2，或 x4 的解集为(，2)(2，)(2)因为 f(x)|x1|xa|xa x1|a1，m(0,1)，1m41m1m41mm 1m 54m1m1mm524m1m1mm9.当且仅当 m13时等号成立，依题意，m(0,1)，x0R，有1m41mf(x0)，则|a1 9，解之得10a8，故实数 a 的取值范围是(
12、10,8)3选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线C1：x2(y2)24 上的动点，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90 得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点 M3，2，射线 6(0)与曲线 C1，C2分别相交于异于极点 O 的 A，B 两点，求MAB 的面积 解(1)由题意，点 Q 的轨迹是以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆，则曲线 C2：(x2)2y24，2x2y2，x cos ，y sin ，曲线 C1的极坐标方程为 4sin
13、，因为解角坐标方程为的直角坐标方程为所以的直由可设的参数方程为为参数上的点到的距离为时取得最小值故上的点妨设因为所以由可得故所以选修坐标系与参数方程全国卷在极坐标系中为极点点在曲线上直线过点且与垂直垂足为当任意一点在中经检验点在曲线上所以的极坐标方程为设在中即因为在线段上且故的取值范围是所以点轨迹的极坐标方晨鸟教育 Earlybird 曲线 C2的极坐标方程为 4cos .(2)在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2，|AB|12|4|sin6cos6|2(31)又M3，2到射线 6(0)的距离 h3sin33 32，MAB 的面积 S12|AB|h93 32.选修 45：不等式选讲已
14、知函数 f(x)|x1|x2|，记 f(x)的最小值为 m.(1)解不等式 f(x)5；(2)若正实数 a，b 满足1a1b 5，求证：2a23b22m.解(1)当 x1 时，f(x)(x1)(x2)2x15，即 x2，1x2；当2x1 时，f(x)(1x)(x2)35，2x1；当 x2 时，f(x)(1x)(x2)2x15，即 x3，3x2.综上所述，原不等式的解集为x|3x2(2)f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当2x1 时，等号成立 f(x)的最小值 m3.2a23b21221322a123b1325，即2a23b26，当且仅当2a133b12即 3a2b 时，等号成立 又1a1b 5，a53，b52时，等号成立 2a23b22m.因为解角坐标方程为的直角坐标方程为所以的直由可设的参数方程为为参数上的点到的距离为时取得最小值故上的点妨设因为所以由可得故所以选修坐标系与参数方程全国卷在极坐标系中为极点点在曲线上直线过点且与垂直垂足为当任意一点在中经检验点在曲线上所以的极坐标方程为设在中即因为在线段上且故的取值范围是所以点轨迹的极坐标方