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1、要点梳理要点梳理1.1.曲线的方程与方程的曲线曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线在直角坐标系中，如果某曲线C C（看作适合某种（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程程f f（x x，y y）=0=0的实数解建立了如下的关系：的实数解建立了如下的关系：（1 1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2 2）以这个方程的解为坐标的点都是）以这个方程的解为坐标的点都是 ，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）曲线叫做方程的曲线（图形）.8
2、.5 8.5 曲线与方程曲线与方程基础知识基础知识 自主学习自主学习曲线上的曲线上的点点2.2.平面解析几何研究的两个主要问题平面解析几何研究的两个主要问题 （1 1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2 2）通过曲线的方程研究曲线的性质）通过曲线的方程研究曲线的性质.3.3.求曲线方程的一般方法（五步法）求曲线方程的一般方法（五步法）求曲线（图形）的方程求曲线（图形）的方程,一般有下面几个步骤：一般有下面几个步骤：（1 1）建立适当的坐标系，用有序实数对（）建立适当的坐标系，用有序实数对（x x,y y）表示）表示曲线上任意一点曲线上任意一点MM的坐标；
3、的坐标；（2 2）写出适合条件）写出适合条件p p的点的点MM的集合的集合P P=MM|p p（MM）；（3 3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p p（MM），列出方程），列出方程 f f(x x,y y)=0)=0；（4 4）化方程）化方程f f(x x,y y)=0)=0为最简形式；为最简形式；（5 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点上的点.4.4.两曲线的交点两曲线的交点 （1 1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的坐标应该是两个曲线方程的 ，即两个，即两个曲线方程组
4、成的方程组的实数解；反过来，方曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组组 ，两条曲线就没有交点，两条曲线就没有交点.（2 2）两条曲线有交点的）两条曲线有交点的 条件是它们的方程条件是它们的方程所组成的方程组有实数解所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题实数解问题.公共实数解公共实数解没有实数解没有实数解充要充要基础自测基础自测1.1.已知坐标满足方程已知坐标满足方程F F（x x，y y）=0=0的点
5、都在曲线的点都在曲线C C上，上，那么下列说法错误的是那么下列说法错误的是 （只填序号）（只填序号）.曲线曲线C C上的点的坐标都适合方程上的点的坐标都适合方程F F（x x，y y）=0=0凡坐标不适合凡坐标不适合F F（x x，y y）=0=0的点都不在的点都不在C C上上不在不在C C上的点的坐标有些适合上的点的坐标有些适合F F（x x，y y）=0=0，有些不适合有些不适合F F（x x，y y）=0=0不在不在C C上的点的坐标必不适合上的点的坐标必不适合F F（x x，y y）=0=0 解析解析 由已知得：以方程由已知得：以方程F F（x x，y y）=0=0的解为坐标的解为坐标
6、 的点都在曲线的点都在曲线C C上，但曲线上，但曲线C C上的点的坐标并不一上的点的坐标并不一 定满足定满足F F（x x，y y）=0=0，故，故、错错.又以方程又以方程F F（x x，y y）=0=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C C上，则不上，则不在在C C上的点的坐标必不是方程上的点的坐标必不是方程F F（x x，y y）=0=0的解，的解，故故错，错，对对.答案答案 2.2.长为长为3 3的线段的线段ABAB的端点的端点A A、B B分别在分别在x x轴、轴、y y轴上移轴上移动，动，则点，则点C C的轨迹是的轨迹是 （写出（写出形状即可）形状即可）.解析解析 设设C
7、 C（x x，y y），），A A（a a，0 0），），B B（0,0,b b）,则则a a2 2+b b2 2=9 =9 又又 ，所以（，所以（x x-a a，y y）=2=2（-x x，b b-y y），），即即 a a=3=3x x b b=y y，代入代入式整理可得式整理可得x x2 2+=1.+=1.椭圆椭圆3.3.到两定点到两定点A A（0 0，0 0），），B B（3 3，4 4）距离之和为）距离之和为5 5的的点的轨迹是点的轨迹是 .解析解析|ABAB|=5|=5，到到A A、B B两点距离之和为两点距离之和为5 5的的点的轨迹是线段点的轨迹是线段ABAB.线段线段AB AB
8、 4.4.动点动点P P到两坐标轴的距离之和等于到两坐标轴的距离之和等于2 2，则点，则点P P的轨的轨迹所围成的图形面积是迹所围成的图形面积是 .解析解析 设设P P（x x，y y），则），则|x x|+|+|y y|=2.|=2.它的图形是一个以它的图形是一个以 为边长的正方形，故为边长的正方形，故S S=（）2 2=8.=8.8 8【例例1 1】（20102010镇江模拟）镇江模拟）已知点已知点MM在圆在圆1313x x2 2+13+13y y2 2-15-15x x-36-36y y=0=0上，点上，点N N在射线在射线OMOM上，且满上，且满足足|OMOM|ONON|=12|=12
9、，求动点，求动点N N的轨迹方程的轨迹方程.点点N N在射在射线线OMOM上上，而同，而同一条以坐一条以坐标标原 原点为点为端点的端点的射射线线上上两点两点坐坐标的关系为（标的关系为（x x,y y）与与(kxkx,kyky)（k k00），故采），故采用用参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程.解解 设设N N（x x,y y），则），则MM（kxkx,kyky），），k k00，由由|OMOM|ONON|=12|=12得得分析分析典型例题典型例题 深度剖析深度剖析k k(x x2 2+y y2 2)=12)=12，又点，又点MM在已知圆上在已知圆上,1313k k2 2x x2 2+13+13k
10、 k2 2y y2 2-15-15kxkx-36-36kyky=0.=0.由上述两式消去由上述两式消去x x2 2+y y2 2得得即即5 5x x+12+12y y-52=0.-52=0.动点动点N N的轨迹方程为的轨迹方程为5 5x x+12+12y y-52=0.-52=0.跟踪练习跟踪练习1 1 已知两点已知两点MM（-2-2，0 0）、）、N N（2 2，0 0），），点点P P为坐标平面内的动点，满足为坐标平面内的动点，满足 ，求动点，求动点P P（x x，y y）的轨迹方程）的轨迹方程.解解 由题意：由题意：=（4 4，0 0），），=（x x+2,+2,y y）,=（x x-2
11、,-2,y y）,，+（x x-2-2）4+4+y y0=00=0，两边平方，化简得两边平方，化简得y y2 2=-8=-8x x.【例例2 2】在在ABCABC中，中，A A为动点，为动点，B B、C C为定点，为定点，B B ，C C 且满足条件且满足条件sin sin C C-sin-sin B B=sinsin A A,则动点则动点A A的轨迹方程是的轨迹方程是 .由正弦定理，将角的关系转化为边的关由正弦定理，将角的关系转化为边的关系，从而应用圆锥曲线的定义系，从而应用圆锥曲线的定义.解析解析 sin sin C C-sin-sin B B=sin=sin A A，由正弦定，由正弦定理
12、得到理得到|ABAB|-|-|ACAC|=|=|BCBC|=|=a a（定值）（定值）.所以所以A A点轨迹是以点轨迹是以B B，C C为焦点的双曲线右支，为焦点的双曲线右支，其中其中分析分析实半轴长为实半轴长为 ，焦距为，焦距为|BCBC|=|=a a.虚半轴长为虚半轴长为 ，由双曲线标准，由双曲线标准方程得方程得 （y y00）的右支）的右支.答案答案跟踪练习跟踪练习2 2 已知圆已知圆C C1 1：(x x+3)+3)2 2+y y2 2=1=1和圆和圆C C2 2：（：（x x-3 3）2 2+y y2 2=9,=9,动圆动圆MM同时与圆同时与圆C C1 1及圆及圆C C2 2相外切，
13、求相外切，求动圆圆心动圆圆心MM的轨迹方程的轨迹方程.解解 如图所示，设动圆如图所示，设动圆MM与与圆圆C C1 1及圆及圆C C2 2分别外切于点分别外切于点A A和点和点B B，根据两圆外切的充，根据两圆外切的充要条件，得要条件，得|MCMC1 1|-|-|ACAC1 1|=|=|MAMA|，|MCMC2 2|-|-|BCBC2 2|=|=|MBMB|.|.因为因为|MAMA|=|=|MBMB|，所以所以|MCMC2 2|-|-|MCMC1 1|=|=|BCBC2 2|-|-|ACAC1 1|=3-1=2.|=3-1=2.这表明动点这表明动点MM到两定点到两定点C C2 2，C C1 1的
14、距离之差是常数的距离之差是常数2.2.根据双曲线的定义，动点根据双曲线的定义，动点MM的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支（点（点MM到到C C2 2的距离大，到的距离大，到C C1 1的距离小），这里的距离小），这里a a=1,=1,c c=3,=3,则则b b2 2=8,=8,设点设点MM的坐标为（的坐标为（x x,y y）,其轨迹方其轨迹方程为程为x x2 2-=1(-=1(x x-1).-1).【例例3 3】（20102010宿迁模拟）宿迁模拟）如图所示，从双曲线如图所示，从双曲线x x2 2-y y2 2=1=1上一点上一点Q Q引直线引直线x x+y y=2=2的垂线，垂足为的
15、垂线，垂足为N N.求线段求线段QNQN的中点的中点P P的轨迹方程的轨迹方程.因动点因动点P P随动点随动点Q Q的运动而运动，而动的运动而运动，而动点点Q Q在已知双曲线上，在已知双曲线上，故可用代入法求解，从寻求故可用代入法求解，从寻求Q Q点的坐标与点的坐标与P P点的点的坐标之间的关系入手坐标之间的关系入手.解解 设动点设动点P P的坐标为（的坐标为（x x，y y），点），点Q Q的坐标的坐标为（为（x x1 1，y y1 1），则），则N N点的坐标为点的坐标为（2 2x x-x x1 1，2 2y y-y y1 1）.N N点在直线点在直线x x+y y=2=2上，上，分析分析
16、2 2x x-x x1 1+2+2y y-y y1 1=2=2，又又PQPQ垂直于直线垂直于直线x x+y y=2=2，=1=1，即，即x x-y y+y y1 1-x x1 1=0.=0.联立解得联立解得 x x1 1=，y y1 1=.=.又点又点Q Q在双曲线在双曲线x x2 2-y y2 2=1=1上上.x x2 21 1-y y2 21 1=1.=1.代入代入，得，得 即即2 2x x2 2-2-2y y2 2-2 2x x+2+2y y-1=0-1=0动点动点P P的轨迹方程是的轨迹方程是2 2x x2 2-2-2y y2 2-2 2x x+2+2y y-1=0.-1=0.跟踪练习
17、跟踪练习3 3 设设F F（1 1，0 0），），MM点在点在x x轴上，轴上，P P点在点在y y轴上，且轴上，且 ，当点，当点P P在在y y轴上运轴上运动时，求点动时，求点N N的轨迹方程的轨迹方程.解解 设设MM（x x0 0，0 0），），P P（0 0，y y0 0），），N N（x x，y y），），由由 ，得（，得（x x-x x0 0，y y）=2=2（-x x0 0，y y0 0），），x x-x x0 0=-2=-2x x0 0 y y=2=2y y0 0，即即 x x0 0=-=-x x y y0 0=y y.,=(,=(x x0 0,-,-y y0 0),=(1,-)
18、,=(1,-y y0 0),),(x x0 0,-,-y y0 0)（1 1，-y y0 0）=0,0,x x0 0+y y2 20 0=0.=0.-x x+=0,+=0,即即y y2 2=4=4x x.故所求的点故所求的点N N的轨迹方程是的轨迹方程是y y2 2=4=4x x.【例例4 4】（1616分）分）(2008(2008海南、宁夏理，海南、宁夏理，20)20)在直在直角坐标系角坐标系xOyxOy中中,椭圆椭圆C C1 1:(a a b b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2.F F2 2也是抛也是抛物线物线C C2 2：y y2 2=4=4x x的
19、焦点，点的焦点，点MM为为C C1 1与与C C2 2在第一象在第一象限的交点，且限的交点，且|MFMF2 2|=.|=.（1 1）求）求C C1 1的方程；的方程；（2 2）平面上的点）平面上的点N N满足满足 ，直线，直线l lMNMN，且与，且与C C1 1交于交于A A、B B两点，若两点，若 求直线求直线l l的方程的方程.解题示范解题示范解解 (1)(1)由由C C2 2:y y2 2=4=4x x,知知F F2 2(1,0),(1,0),Q Q（x x0 0，0 0）设设MM(x x1 1,y y1 1)在在C C2 2上上,因为因为|MFMF2 2|=,|=,所以所以x x1
20、1+1=,+1=,得得x x1 1=,=,y y1 1=.=.所以所以 2 2分分MM在在C C1 1上上,且椭圆且椭圆C C1 1的半焦距的半焦距c c=1,=1,于是于是 ,b b2 2=a a2 2-1,-1,消去消去b b2 2并整理得并整理得9 9a a4 4-37-37a a2 2+4=0.+4=0.解得解得a a=2=2（a a=不合题意不合题意,舍去）舍去）.故故b b2 2=4-1=3.=4-1=3.故椭圆故椭圆C C1 1的方程为的方程为 .6 6分分 (2)(2)由由 ,知四边形知四边形MFMF1 1NFNF2 2是平行是平行四边形四边形,其中心为坐标原点其中心为坐标原点
21、O O,因为因为l lMNMN,所以所以l l与与OMOM的斜率相同的斜率相同.故故l l的斜率的斜率k k=.=.设设l l的方程为的方程为y y=(=(x x-m m).).9 9分分 ,y y=(=(x x-m m),),消去消去y y并整理得并整理得9 9x x2 2-1616mxmx+8+8m m2 2-4=0.-4=0.设设A A(x x1 1,y y1 1),),B B(x x2 2,y y2 2),),则则x x1 1+x x2 2=,=,x x1 1x x2 2=.=.1212分分由由因为因为 ,所以所以x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=0.=0.所以所以x
22、 x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=x x1 1x x2 2+6(+6(x x1 1-m m)()(x x2 2-m m)=7 7x x1 1x x2 2-6-6m m(x x1 1+x x2 2)+6)+6m m2 2=7=7 -6 -6m m +6 +6m m2 2=（1414m m2 2-28-28）=0.=0.所以所以m m=.此时此时=（1616m m）2 2-4-49(89(8m m2 2-4)0.-4)0.故所求直线故所求直线l l的方程为的方程为y y=x x-,-,或或y y=x x+.1616分分跟踪练习跟踪练习4 4 已知椭圆的中心在原点，离心率为已知椭圆的
23、中心在原点，离心率为 ，一个焦点是一个焦点是F F（-m m，0 0）（）（m m是大于是大于0 0的常数）的常数）.（1 1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2 2）设）设Q Q是椭圆上的一点，且过点是椭圆上的一点，且过点F F、Q Q的直线的直线 l l与与y y轴交于点轴交于点MM，若，若|=2|=2|，求直线，求直线l l的斜率的斜率.解解（1 1）设所求椭圆方程是）设所求椭圆方程是 （a a b b00）.由已知，得由已知，得c c=m m，a a=2=2m m，b b=.=.故所求的椭圆方程是：故所求的椭圆方程是：.（2 2）设）设Q Q（x xQ Q，y yQ Q），直线），直线
24、l l：y y=k k（x x+m m），则点），则点MM（0 0，kmkm）.当当 时时,由于由于F F（-m m,0,0）,MM（0,0,kmkm），），（x xQ Q-0-0，y yQ Q-kmkm）=2=2（-m m-x xQ Q，0-0-y yQ Q）x xQ Q=，y yQ Q=.=.又点又点 在椭圆上，所以在椭圆上，所以 解得解得k k=.当当 时，时，x xQ Q=.=.于是于是 ,解得解得k k=0.=0.故直线故直线l l的斜率是的斜率是0 0，.高考动态展望高考动态展望曲线方程包含求曲线的方程的基本方法，曲线的曲线方程包含求曲线的方程的基本方法，曲线的交点等内容，在以往高
25、考中是考查的重点，出现交点等内容，在以往高考中是考查的重点，出现的频率较高，其中，求轨迹方程是考查的热点的频率较高，其中，求轨迹方程是考查的热点.江苏考纲降低了本节知识点的考查要求，按照江江苏考纲降低了本节知识点的考查要求，按照江苏高考试卷附加题部分的试题结构，本节知识点苏高考试卷附加题部分的试题结构，本节知识点单独命题的可能性不大，而与其他知识点（如抛单独命题的可能性不大，而与其他知识点（如抛物线）相结合出现综合性试题的可能性更大物线）相结合出现综合性试题的可能性更大.本节内容与必做题部分的抛物线内容一致，只有本节内容与必做题部分的抛物线内容一致，只有思想方法思想方法 感悟提高感悟提高学习要
26、求与难度的区别，这种区别也是新课标对学习要求与难度的区别，这种区别也是新课标对文、理科的不同要求的体现文、理科的不同要求的体现.在江苏高考的附加题在江苏高考的附加题部分，本节内容如果考查，极有可能和曲线与方部分，本节内容如果考查，极有可能和曲线与方程或其他知识点相结合出现综合题程或其他知识点相结合出现综合题.方法规律总结方法规律总结1.1.弦长公式：直线弦长公式：直线y y=kxkx+b b与二次曲线与二次曲线C C交于交于P P1 1（x x1 1,y y1 1）与）与P P2 2(x x2 2,y y2 2)得到的弦长为得到的弦长为|P P1 1P P2 2|=|=2.2.求轨迹的方法：求
27、轨迹的方法：（1 1）直接法：）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为化为x x、y y的等式就得到曲线的轨迹方程的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)(2)定义法：定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程求方程系数得到动点的轨迹方程
28、.在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是否满足圆锥曲线的定义是否满足圆锥曲线的定义.定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同之处在定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同之处在于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程迹类型，再利用待定系数法求轨迹方程.（3 3）代入法（相关点法）：）代入法（相关点法）：当所求动点当所求动点MM是随着另一动点是随着另一动点P P（称之为相关点）（称之为相关点）而运动而
29、运动.如果相关点如果相关点P P所满足某一曲线方程，这时所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法点法或坐标代换法.一、填空题一、填空题1.1.（20092009浙江台州期末）浙江台州期末）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于x x轴对称，顶点在原点轴对称，顶点在原点O O，且过点且过点P P（2 2，4
30、 4），则该抛物线的方程是），则该抛物线的方程是 .解析解析 由抛物线关于由抛物线关于x x轴对称，顶点在原点，则轴对称，顶点在原点，则设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=2 2pxpx.由（由（2 2，4 4）在抛物线上，）在抛物线上，可得可得2 2p p=8.=8.即抛物线方程为即抛物线方程为y y2 2=8=8x x.定时检测定时检测y y2 2=8=8x x 2.2.（20102010广东实验中学模拟）广东实验中学模拟）已知两定点已知两定点A A（-2-2，0 0），），B B（1 1，0 0），如果动点），如果动点P P满足满足|PAPA|=2|=2|PBPB|，则点，则点P
31、P的轨迹所包围的图形的面积的轨迹所包围的图形的面积等于等于 .解析解析 设设P P（x x，y y），由题知有（），由题知有（x x+2+2）2 2+y y2 2=4 4（x x-1-1）2 2+y y2 2，整理得，整理得x x2 2-4 4x x+y y2 2=0=0，配方得，配方得（x x-2-2）2 2+y y2 2=4.=4.可知圆的面积为可知圆的面积为4.4.443.3.（20082008北京理）北京理）若点若点P P到直线到直线x x=-1=-1的距离比的距离比它到点（它到点（2 2，0 0）的距离小）的距离小1 1，则点，则点P P的轨迹为的轨迹为 (写出曲线形状即可写出曲线形
32、状即可).).解析解析 由题意可知由题意可知,点点P P到直线到直线x x=-2=-2的距离等于的距离等于它到点它到点(2,0)(2,0)的距离的距离,根据抛物线定义知根据抛物线定义知,点点P P的的轨迹为抛物线轨迹为抛物线.抛物线抛物线4.4.（20102010广东梅州一模）广东梅州一模）已知直线已知直线l l的方程是的方程是f f（x x，y y）=0=0，点，点MM（x x0 0，y y0 0）不在）不在l l上，则方程上，则方程f f（x x，y y）-f f（x x0 0，y y0 0）=0=0表示的曲线与表示的曲线与l l的位置的位置关系是关系是 .解析解析 方程方程f f（x x
33、，y y）-f f（x x0 0，y y0 0）=0=0表示过表示过MM（x x0 0，y y0 0）且和直线）且和直线l l平行的一条直线平行的一条直线.平行平行5.5.（20092009江苏徐州一模）江苏徐州一模）已知线段已知线段ABAB的两个端的两个端点点A A、B B分别在分别在x x轴、轴、y y轴上滑动，轴上滑动，|ABAB|=3|=3，点，点P P是是ABAB上一点，且上一点，且|APAP|=1|=1，则点，则点P P的轨迹方程是的轨迹方程是 .6 6.(2010.(2010南京模拟南京模拟)P P是椭圆是椭圆 上的任上的任意一点，意一点，F F1 1、F F2 2是是 它的两个
34、焦点，它的两个焦点，O O为坐标原为坐标原点，点，则动点，则动点Q Q的轨迹方程是的轨迹方程是 .解析解析 本题考查向量的运算及其综合应用本题考查向量的运算及其综合应用.由，由，又又=，设设Q Q（x x,y y），则），则=，即即P P点坐标点坐标 ，又，又P P在椭圆上，在椭圆上，则有则有 ，即，即 ，即即Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为 .7.7.（20102010山东菏泽阶段练习）山东菏泽阶段练习）到点到点A A（-1-1，0 0）和）和直线直线x x=3=3距离相等的点的轨迹方程是距离相等的点的轨迹方程是 .解析解析 由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线，焦由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线
35、，焦点即点即A A（-1-1，0 0），直线），直线x x=3=3为准线，顶点为（为准线，顶点为（1 1，0 0），开口向左，），开口向左，p p=4.=4.可直接写出抛物线方程：可直接写出抛物线方程：y y2 2=-8(=-8(x x-1)-1)，即，即y y2 2=-8=-8x x+8.+8.y y2 2=-8=-8x x+8+8 8.8.（20102010徐州模拟）徐州模拟）平面上有三点平面上有三点A A（-2-2，y y），），B B（0 0，），），C C（x x，y y），若），若 ，则动点，则动点C C的轨迹方程为的轨迹方程为 .解析解析 =(2=(2，)，=(=(x x，).)
36、.，=0=0，得，得2 2x x-=0-=0，得得y y2 2=8=8x x.y y2 2=8=8x x 9.9.（20102010宿迁模拟）宿迁模拟）已知两条直线已知两条直线l l1 1:2:2x x-3-3y y+2=0+2=0和和l l2 2:3:3x x-2-2y y+3=0+3=0，有一动圆（圆心和半径都动），有一动圆（圆心和半径都动）与与l l1 1、l l2 2都相交，且都相交，且l l1 1、l l2 2被圆截得的弦长分别是被圆截得的弦长分别是定值定值2626和和24,24,则圆心的轨迹方程是则圆心的轨迹方程是 .解析解析 设动圆的圆心为设动圆的圆心为MM(x x,y y),)
37、,半径为半径为r r,点点MM到直到直线线l l1 1,l l2 2的距离分别为的距离分别为d d1 1和和d d2 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，由弦心距、半径、半弦长间的关系得，消去消去r r得动点得动点MM满足的几何关系为满足的几何关系为d d2 22 2-d d2 21 1=25,=25,即即 .化简得（化简得（x x+1+1）2 2-y y2 2=65.=65.此即为所求的动圆圆心此即为所求的动圆圆心MM的轨迹方程的轨迹方程.答案答案（x x+1+1）2 2-y y2 2=65=65二、解答题二、解答题10.10.（20092009辽宁重点高中联考）辽宁重点高中联考）如图所示
38、，已知如图所示，已知点点C C的坐标是（的坐标是（2 2，2 2），），过点过点C C的直线的直线CACA与与x x轴交轴交于点于点A A，过点，过点C C且与直线且与直线CACA垂直的直线垂直的直线CBCB与与y y轴交于点轴交于点B B.设点设点MM是线段是线段ABAB的中点，求点的中点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程.解解 方法一方法一（参数法）：设（参数法）：设MM的坐标为（的坐标为（x x,y y）.若直线若直线CACA与与x x轴垂直，则可得到轴垂直，则可得到MM的坐标为（的坐标为（1 1，1 1）.若直线若直线CACA不与不与x x轴垂直，设直线轴垂直，设直线CACA的斜率为的斜率
39、为k k，则，则直线直线CBCB的斜率为的斜率为 ，故直线，故直线CACA方程为：方程为：y y=k k(x x-2)+2,2)+2,令令y y=0=0得得x x=2-,=2-,则则A A点坐标为点坐标为(2-,0).(2-,0).CBCB的方程为：的方程为：y y=(=(x x-2)+2,-2)+2,令令x x=0,=0,得得y y=2+=2+，则则B B点坐标为点坐标为(0,2+)(0,2+)，由中点坐标公式得，由中点坐标公式得MM点点的坐标为的坐标为 消去参数消去参数k k得到得到x x+y y-2=0(-2=0(x x1)1)点点MM（1 1，1 1）在直线）在直线x x+y y-2=
40、0-2=0上，上，综上所述，所求轨迹方程为综上所述，所求轨迹方程为x x+y y-2=0-2=0方法二方法二（直接法）设（直接法）设MM（x x，y y），依题意），依题意A A点坐标点坐标为（为（2 2x x,0,0）,B B点坐标为（点坐标为（0 0，2 2y y）.|MAMA|=|=|MCMC|，化简得化简得x x+y y-2=0.-2=0.11.11.（20092009北京理，北京理，1919）已知双曲线已知双曲线C C：(a a0,0,b b0)0)的离心率为的离心率为 ，右准线方程为，右准线方程为x x=.(1)(1)求双曲线求双曲线C C的方程；的方程；(2)(2)设直线设直线l
41、 l是圆是圆O O：x x2 2+y y2 2=2=2上动点上动点P P（x x0 0,y y0 0）(x x0 0y y0 000)处的切线，处的切线，l l与双曲线与双曲线C C交于不同的两交于不同的两点点A A、B B，证明，证明AOBAOB的大小为定值的大小为定值.方法一方法一 （1 1）解解 由题意得由题意得所以所以b b2 2=c c2 2-a a2 2=2.=2.所以双曲线所以双曲线C C的方程为的方程为x x2 2-=1.-=1.(2)(2)证明证明 点点P P（x x0 0,y y0 0）(x x0 0y y0 000)在圆在圆x x2 2+y y2 2=2=2上，上，圆在点
42、圆在点P P（x x0 0,y y0 0）处的切线）处的切线l l的方程为的方程为y y-y y0 0=(x x-x x0 0),),化简得化简得x x0 0 x x+y y0 0y y=2.=2.由由 及及x x2 20 0+y y2 20 0=2=2得得（3 3x x2 20 0-4-4）x x2 2-4 4x x0 0 x x+8+8-2-2x x2 20 0=0,=0,因为切线因为切线l l与双曲线与双曲线C C交于不同的两点交于不同的两点A A、B B，且且00 x x2 20 02,0.)0.设设A A、B B两点的坐标分别为（两点的坐标分别为（x x1 1,y y1 1）、（）、
43、（x x2 2,y y2 2）,则则x x1 1+x x2 2=因为因为coscosAOBAOB=，且且 =x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=x x1 1x x2 2+(2-+(2-x x0 0 x x1 1)(2-)(2-x x0 0 x x2 2)所以所以AOBAOB的大小为的大小为9090，即，即AOBAOB的大小为定值的大小为定值.方法二方法二 （1 1）同方法一）同方法一.(2)(2)证明点证明点P P（x x0 0,y y0 0）(x x0 0y y0 000)在圆在圆x x2 2+y y2 2=2=2上，上，圆在点圆在点P P（x x0 0,y y0 0）处的切
44、线）处的切线l l的方程为的方程为y y-y y0 0=(=(x x-x x0 0),),化简得化简得x x0 0 x x+y y0 0y y=2.=2.及及x x2 20 0+y y2 20 0=2=2，得，得（3 3x x2 20 0-4-4）x x2 2-4 4x x0 0 x x+8+8-2-2x x2 20 0=0.=0.(3(3x x2 20 0-4)4)y y2 2+8+8y y0 0y y-8+2-8+2x x2 20 0=0.=0.因为切线因为切线l l与双曲线与双曲线C C交于不同的两点交于不同的两点A A、B B，所以所以3 3x x2 20 0-40.-40.设设A A
45、、B B两点的坐标分别为（两点的坐标分别为（x x1 1,y y1 1）、）、(x x2 2,y y2 2),),则则x x1 1x x2 2=,=,y y1 1y y2 2=.=.所以所以 =x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=0=0，所以所以AOBAOB的大小为的大小为9090，即，即AOBAOB的大小为定值的大小为定值.(因为因为x x2 20 0+y y2 20 0=2=2且且x x0 0y y0 000,所以所以00 x x2 20 02,02,0y y2 20 02.2.从而从而当当3 3x x2 20 0-40-40时，方程时，方程与方程与方程的判别式均大于的判别
46、式均大于0)0)12.12.（20102010江苏启东中学模拟）江苏启东中学模拟）如图所示，已知点如图所示，已知点C C的的坐标是（坐标是（2 2，2 2），过点），过点C C的直线的直线CACA与与x x轴交于点轴交于点A A，过点过点C C且与直线且与直线CACA垂直的直线垂直的直线CBCB与与y y轴交于点轴交于点B B.设点设点MM是线段是线段ABAB的中点，求点的中点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程.解解 方法一方法一 （参数法）（参数法）设设MM的坐标为（的坐标为（x x,y y）.若直线若直线CACA与与x x轴垂直，则轴垂直，则可得到可得到MM的坐标为（的坐标为（1 1，1 1）
47、.若直线若直线CACA不与不与x x轴垂直，设直线轴垂直，设直线CACA的斜率为的斜率为k k，则直，则直线线CBCB的斜率为的斜率为-，故直线，故直线CACA方程为方程为y y=k k(x x-2)+2,-2)+2,令令y y=0=0得得x x=2-,=2-,则则A A点坐标为点坐标为2-,0.2-,0.CBCB的方程为的方程为y y=-(=-(x x-2)+2,-2)+2,令令x x=0,=0,得得y y=2+=2+，则则B B点坐标为（点坐标为（0,2+0,2+）由中点坐标公式得）由中点坐标公式得MM点的坐点的坐标为标为 消去参数消去参数k k得到得到x x+y y-2=0(-2=0(x
48、 x1),1),点点MM（1 1，1 1）在直线）在直线x x+y y-2=0-2=0上，上，综上所述，所求轨迹方程为综上所述，所求轨迹方程为x x+y y-2=0.-2=0.方法二（直接法）设方法二（直接法）设MM（x x，y y），依题意），依题意A A点坐标为点坐标为（2 2x x,0,0）,B B点坐标为（点坐标为（0 0，2 2y y）.|.|MAMA|=|=|MCMC|，,化简得化简得x x+y y-2=0.-2=0.方法三方法三 （定义法）依题意（定义法）依题意|MAMA|=|=|MCMC|=|=|MOMO|,|,即即:|:|MCMC|=|=|MOMO|,|,所以动点所以动点MM是线段是线段OCOC的中垂线，的中垂线，故由点斜式方程得到：故由点斜式方程得到：x x+y y-2=0.-2=0.返回返回