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1、专题 06 分式及分式方程 聚焦考点温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地，用 A、B 表示两个整式，AB 就可以表示成BA的形式，如果 B 中含有字母，式子BA就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则;bcadcdbadcbabdacdcba);()(为整数nbabannn;cbacbca bdbcaddcba 二、分式方程 1、分式方程 分母
2、里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法 换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。名师点睛典例分类 考点典例一、分式的值【例 1】（2015黑龙江绥化）若代数式6265x2xx的值等于 0，则 x=_.【答案】x=2 考点：分式的值等于 0.【点
3、睛】分式6265x2xx的值为零则有 x2-5x+6 为 0 分母 2x-6 不为 0，从而即可求出 x 的值.【举一反三】1.要使分式x1x2有意义，则 x 的取值应满足（）A.x2 B.x1 C.x2 D.x1 【答案】A.【分析】根据分式分母不为 0 的条件，要使x1x2在实数范围内有意义，必须x20 x2 .故选 A.2.（2015湖南常德）若分式211xx的值为 0，则x 【答案】1 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公
4、分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般考点：分式方程的解法 考点典例二、分式的化简【例 2】化简：2xxx1x1=（）A、0 B、1 C、x D、1xx【答案】C.【解析】22x x1xxxxxx1x1x1x1.故选 C.【点睛】观察所给式子，能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果【举一反三】1.化简22a babba结果正确的是【】A.ab B.ab C.22ab D.22ba【答案】B【解析】22ab baa bababbaba，故选 B 2.若241()w1a42a，则 w=（）A.a2(a2
5、)B.a2(a2)C.a2(a2)D.a2(a2)【答案】D.的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般【分析】2414a22a1a42aa2a2a2 a2a2a2a2，w=a2(a2).故选 D.3.计算：2111aaa 【答案】211a.【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 试题解析：原式=1(1)(1)(1
6、)(1)aaaaaa=1(1)(1)aa=211a 考点典例三、分式方程【例3】（2015自贡）方程0112xx的解是（）A1或1 B1 C0 D1【答案】D 考点：解分式方程【点睛】先去掉分母，观察可得最简公分母是 x+1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。【举一反三】1.（2015攀枝花）分式方程1311xx的根为 【答案】2【解析】试题分析：去分母得：133xx，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解故答案为：2 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一
7、般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般考点：解分式方程 2.（2015绵阳）（8分）解方程：311221xx 【答案】32x 【解析】试题分析：去分母得：3=2x+22，解得：32x，经检验32x 是分式方程的解 考点：解分式方程 考点典例四、分式方程的应用【例5】（2015遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万
8、千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（）A36369201.5xx B3636201.5xx C36936201.5xx D36369201.5xx【答案】A【解析】试题分析：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：36369201.5xx，故选A 考点：由实际问题抽象出分式方程 【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.【举一反三】1.甲乙两地相距 420 千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的 1.5 倍，进而从甲
9、地到乙地的时间缩短了 2 小时 设原来的平均速度为 x 千米/时，可列方程为（）A42042021.5xx B42042021.5xx C.1.52420420 xxD1.52420420 xx【答案】B【解析】设原来的平均速度为 x 千米/时，的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般由题意得，42042021.5xx 故选 B 2
10、.甲、乙两地之间的高速公路全长 200 千米，比原来国道的长度减少了 20 千米高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了 45 千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半 设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（）A200180 1452xx B200220 1452xx C200180145 2xx D 200220145 2xx【答案】B【解析】试题分析：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意得 200220 1452xx 故选B 课时作业能力提升 一选择题 1（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）关于x的分式方程52axx
11、有解，则字母a的取值范围是（）Aa=5或a=0 Ba0 Ca5 Da5且a0【答案】D 考点：分式方程的解 2.（2015辽宁营口）若关于x的分式方程2233xmxx有增根，则m的值是().的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般 A 1m B0m C3m D0m 或=3m【答案】A.【解析】试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去
12、分母后化成的整式方程的解是 3，所以先把原分式方程化成整式方程，再把 3 代入，求 m值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-（x+m)=2(x-3),将 x=3 代入得：m=-1,故选 A.考点：1.解分式方程；2.增根的意义.3.（2015湖南常德）分式方程23122xxx的解为：（）A、1 B、2 C、13 D、0【答案】A【解析】试题分析：根据分式方程的解法：去分母，得 2-3x=x-2，移项后解得 x=1，检验 x=1 是原分式方程的根.答案为 A 考点：分式方程的解法 4.（2015山东济宁）解分式方程22311xxx+=-时，去分母后变形正确的为（）A2+（x+2）=3（x-1）
13、B2-x+2=3（x-1）C2-（x+2）=3 D 2-（x+2）=3（x-1）【答案】D 考点：分式方程的去分母 二填空题 5.(2015 湖北衡阳，16 题，3 分)方程132xx的解为 【答案】1x 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般【解析】试题分析：此题考查解分式方程，首先去分母将分式方程转化为整式方程：原方程两边同时
14、乘以x(x-2)，得x-2=3x，移项得，x3x=2，合并同类项得，2x=2，系数化为 1，得x=1，检验：当x=1 时，x(x-2)0，所以x=1 是原方程的根.注意解分式方程必须要检验根的合理性.考点：解分式方程 6.(2015湖北襄阳,14题)分式方程2110051025xxx-=-+的解是 【答案】15x 【解析】试题分析：去分母得：5 100 x，解得：15x，经检验15x 是分式方程的解故答案为：15x 考点：解分式方程 7.分式方程212011xx的解是_【答案】x=-3 考点：解分式方程.8.若分式方程1xx1mx=2有增根，则这个增根是 【答案】x=1【解析】的分子和分母都乘
15、以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般试题分析：因为分式方程有增根，所以x1=0，即x=1，故方程的增根为x=1 故答案是x=1 考点：分式方程的增根 9.（山东威海，第 16 题，4 分）分式方程的解为 【答案】x=4【解析】试题分析：解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解另外，由于本题是选择题，除了上面的解法外，还可以将四个选择
16、支中的数分别代入验证得以求解本题作为解答题时，易漏掉验根过程.在方程两边同乘以(x3)，解得x4检验：当x4时，(x3)0所以，原方程的解是x=4 考点：分式方程的解法 三、解答题 10.计算：22a1a1a2aa【答案】a1a2.【解析】试题分析：利用除法法则变形，约分即可得到结果：22a1 a1a1a1aa1a2aaa a2a1a2.考点：分式的乘除法.11.先化简，再求值：2221aaa1aa2a1，其中2aa20 【答案】34.的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方
17、程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般 考点：1.分式的化简求值；2.因式分解法解一元二次方程；3.分式有意义的条件.12.先化简，再求值：22x9x3xx8x16x4x4，其中x74【答案】377.【解析】试题分析：原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入进行二次根式化简即可求出值 试题解析：222x3x3x9x3xx4xx3x3x8x16x4x4x3x4x4x4x4x4.当x74时，原式=333777447.考点：1.分式的化简求值
18、；2.二次根式化简.13.先化简，再求值：222x1x12xxx，其中x21【答案】22.的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般考点：1.分式的化简求值；2.二次根式化简.14.（2015山东枣庄，第 19 题，8 分）(本题满分 8 分)先化简，再求值：xxxxxxx144214222，其中 x 满足 x 4x+3=0【答案】【
19、解析】试题分析：本题考查分式的化简，针对本题，应先从运算顺序上入手，即先计算括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，最后约分化简。解一元二次方程得出答案后，要考虑是否取值使分式有意义.试题解析：原式=，解方程x24x+3=0得，（x1）（x3）=0，x1=1，x2=3 当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=考点：分式的混合运算；因式分解；一元二次方程的解法求代数式的求值 15.（2015山东泰安，第25题）（8分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元
20、 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）596
21、0元 考点：分式方程的应用 16.（2015山东济南，第 24 题,8 分）（8 分）济南与北京两地相距 480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前 4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的 3 倍，求高铁列车的平均行驶速度【答案】240km/时 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般考点：分式方程的应用 17.（20
22、15辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做 3 个，甲做 96个所用时间与乙做 84 个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】24 和 21 个【解析】试题分析：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做 96个所用时间与乙做 84 个所用时间相等，列出方程即可得解；试题解析：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：x843x96解得 x=21，经检验 x=21 是方程的解，x+3=24.答：甲乙两人每小时各做 24 和 21 个零件.考点：分式方程的应用.18.(2015.宁夏，第 17 题，6 分)
23、解方程：221111xxxx【答案】2x.【解析】试题分析：方程两边同乘以2(1)x，化分式方程为整式方程，解这个整式方程即可.(注：解分式方程一定验根).试题解析：解：方程两边同乘以2(1)x，得 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般2(1)(21)1x xxx 解得 2x 经检验2x 是原方程的根.考点：分式方程的解法.19
24、.(2015.北京市，第 21 题，5 分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到 2013 年底，全市已有公租自行车 25000 辆，租赁点 600个.预计到 2015 年底，全市将有公租自行车 50000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年成平均每个租赁点的公租自行车数量的 1.2 倍.预计 2015 年底，全市将租赁点多少个?【答案】1000 考点：分式方程的应用 的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改分式方程的一般方法解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程它的一般解法是去分母方程两边都乘以最简公分方程的特殊解法换元法换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛当分式方程具有某种特殊形式一般