2023年2020中考数学考点总动员：专题弧长及扇形的面积.pdf

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1、考点二十七：弧长及扇形的面积 聚焦考点温习理解 1弧长及扇形的面积(1)半径为 r，n的圆心角所对的弧长公式：l n r180；(2)半径为 r，n的圆心角所对的扇形面积公式：Sn r236012lr 2圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 r.(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧 rl；(2)圆锥全面积公式：S 圆锥全 rl r2 3求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法 名师点睛典例分类 考点典例一、弧长公式的应用【例 1】如图，

2、将边长为 1cm的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动（不滑动），点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为（）A 32cm B（2+23）cm C43cm D 3cm【答案】C 考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点 B 两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度 注意熟练掌握弧长的计算公式【举一反三】1(2015.安徽省，第 12 题，5 分)如图，点 A、B、C在半径为 9 的 O上，AB的长为 2，则 ACB 的大小 是【答案】20.【解析】试题分析：连接 OA、OB，由弧长公式的921

3、80n 可求得 AOB=40,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得 ACB=20.个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案 考点：弧长公式；圆周角定理.2.（2015 成都）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距OM 和 BC弧线的长分别为（）A 2，3 B 2 3，C 3，23 D

4、2 3，43【答案】D 考点：1正多边形和圆；2弧长的计算 考点典例二、扇形面积的计算【例 2】（2015 自贡）如图，AB是 O的直径，弦 CD AB，CDB 30，CD 3 2，则阴影部分的面积为（）A 2 B C 3 D 32 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案【答案】D【解析】试题分析：连接 OD CD AB，CE

5、=DE=12CD=3（垂径定理），故 S OCE=S OD E，即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，又 CDB=30，COB=60（圆周角定理），OC=2，故 S扇形 OBD=260 2360=32，即阴影部分的面积为32故选D 考点：1扇形面积的计算；2垂径定理；3圆周角定理；4解直角三角形；5数形结合【举一反三】（2015攀枝花）如图，已知 O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A2 39 B4 39 C29 D49【答案】D【解析】个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面

6、积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案考点：1扇形面积的计算；2勾股定理的逆定理；3圆周角定理；4解直角三角形 考点典例三、扇形面积公式的运用【例 3】（2015达州）如图，直径 AB 为12的半圆，绕 A 点逆时针旋转60，此时点 B 旋转到点B，则图中阴影部分的面积是（）A12 B24 C6 D36【答案】B【解析】试题分析：AB=AB=12，BAB=60，图中阴影部分的面积是：S=S扇形 B AB

7、+S半圆 O S半圆 O=22 260 12 1 16 6360 2 2=24 故选B 考点：1扇形面积的计算；2旋转的性质【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案（2015.河南省，第 14

8、 题，3 分）如图，在扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 为 OA的中点，CE OA交AB于点 E，以点 O为圆心，OC的长为半径作CD交 OB于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为.【答案】32 12p+.考点：利用扇形面积及直角三角形知识求阴影图形面积.考点典例四、圆锥的侧面展开图【例 4】（2015.山东莱芜第 8 题，3 分）已知圆锥的底面半径长为 5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为()A 2.5 B 5 C 10 D 15【答案】C【解析】试题分析：根据侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，因此可设母线长为 x，根据题意得：2 x 2=2 5，解得 x=10 故

9、选 C 考点：圆锥的侧面展开图【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形【举一反三】1.（2015凉山州）将圆心角为90，面

10、积为4 cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A1cm B2cm C3cm D4cm【答案】A【解析】试题分析：设扇形的半径为R，根据题意得2904360r，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r，则122 r4=4，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm故选A 考点：圆锥的计算 2.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为10 cm，高为12 cm 的圆锥的侧面积为【答案】65 cm2【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，r=102=5，a=2 25 12=13，圆锥的侧面积=1210 13=65，故答案为：65 cm2 考点：圆

11、锥的计算 考点典例五、求阴影部分的面积【例 5】（2015辽 宁营口）如图，点 P 是 O 外一点，PA切 O于点 A，AB是 O的直径，连接 OP，过点 B 作 BC OP交 O于点 C，连接 AC交 OP于点 D(1)求证：PC是 O的切线；(2)若 PD=316cm，AC=8cm，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点 E 是 AB的中点，连接 CE，求 CE的长 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经

12、过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案【答案】（1）参见解析；（2）225 48cm2；（3）7 2 cm.试题解析：（1）如图，连接 OC，PA切 O于 A，PAO=90 OP BC，AOP=OBC，COP=OCB OC=OB，OBC=OCB，AOP=COP 又 OA=OC，OP=OP，PAO PCO(SAS)，PAO=PCO=90，又 OC是 O的半径，PC是 O的切线；（2）由（1）得 PA，PC 都为圆的切线，PA=PC，OP 平分 APC，ADO=PAO=90，PAD+DAO=DAO+AOD，PAD=AOD，ADO PDA A

13、 D DOPD A D，2A D PD DO，AC=8，PD=163，AD=12AC=4，OD=3，AO=5，由题意知 OD为 ABC的中位线，BC=2OD=6，AB=10 S阴=S半 O S ACB=221 10 1 25 486 8=cm2 2 2 2 阴影部分的面积为225 48cm2；（3）如图，连接 AE，BE，点 E 是 AB的中点,AB 是直径，则 AEB是等腰直角三角形，过点 B 作 BM CE于点 M CMB=EMB=AEB=90，由同弧所对的圆周角相等，ECB=EAB=45，CBM=45，BC=6，CM=MB=62=3 2，BE=ABcos45=1022=5 2，在 Rt

14、EBM 中，EM=2 2=4 2 BE BM，CE=CM+EM=7 2 cm,CE的长为 7 2 cm 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案 考点：1.圆的有关性质；2.三角形全等与相似的判定；3.解直角三角形.【点睛】本题考查了圆的有关性质、三角形全等与相似的判定、解直角三角形等知识点的综合运用【举一反三】（2015聊城，

15、第12题）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经过圆心O，则阴影部分的面积是O面积的（）A.12 B.13 C.23 D.35【答案】B【解析】试题分析：作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出OAD=30，得到AOB=2AOD=120，进而求得AOC=120，再利用阴影部分的面积=AOCS扇形得出阴影部分的面积是O 面积的13.故选 B 考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长

16、的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案课时作业能力提升 一、选择题 1.(2015 湖北衡阳，17 题，3 分)圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为（结果保留）【答案】3【解析】试题分析：此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式2360n rS=，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为2120 33360S=.考点：扇形面积的计算 2.（2015湖北鄂州，14 题，3 分）圆锥体的底面周长为 6，侧面积为 12，则该圆锥体的高为【答案】7 考点：圆锥的计算 3.（2

17、015山东潍坊，第 10 题，3 分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的 面积是（）A.（164 33）2cm B.（168 33）2cm C.（84 33）2cmD.（42 33）2cm 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如

18、图点在半径为的上的长为则的大小是答案【答案】A【解析】试题分析：如图：过点 O作 ODAB,垂足为 C，连结 OA,OB,则 AC=BC=12AB,OA=OB=OD=4，CD=2，所以在 Rt OAC 中，OC=2，AC=2 3,AOC=60,所以 AB=4 3,AOB=120,所以阴影部分的面积=扇形 AOB 的面积-OAB 的面积=2120 4 1 164 3 2 4 3360 2 3，故选：A.考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.扇形的面积.4.（2014宿迁）若一个圆锥的主视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（）A.15 B.20 C.24 D.30【

19、答案】A 考点：1.简单几何体的三视图；2.圆锥的计算 5.（2015凉山州）将圆心角为90，面积为4 cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A1 cm B2cm C3cm D4cm 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案【答案】A【解析】试题分析：设扇形的半径为R，根据题意得2904360r，解得R=

20、4，设圆锥的底面圆的半径为r，则122 r4=4，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm故选A 考点：圆锥的计算 6.（2015.山东德州第9题，3分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A288 B144 C216 D120【答案】A【解析】试题分析：底面圆的半径与母线长的比是4：5，设底面圆的半径为4 x，则母线长是5 x，设圆心角为 n，则52 4180n xx，解得：n=288，故选A 考点：圆锥的计算 7（2015甘孜州）如图，已知扇形 AOB 的半径为2，圆心角为90，连接 AB，则图中阴影部分的面积是（）A 2

21、 B 4 C4 2 D4 4【答案】A【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形 OAB S OAB=290 2 12 2360 2=2故选A 考 点：扇形面积的计算 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案二、填空题 8(2015.宁夏，第 12 题，3 分)已知扇形的圆心角为120，所对 的弧长为83，则此扇形的面积是【答案】16

22、3.【解析】试题分析：设扇形的半径为 r，根据弧长公式38180120 r可求得 r=4，根据扇形的面积公式可得3164382121 lr S扇形.考点：弧长公式；扇形的面积公式.9（2015湖南常德）一个圆锥的底面半径为 1 厘米，母线长为 2 厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘米（结果保留）。【答案】2【解析】试题分析：此题考的是圆锥侧面积公式,根据公式可直接求解：S=1 12(2 1)22 2lr.故答案为 2.考点：圆锥侧面积 10（2015湖南长沙）圆心角是 60且半径为 2 的扇形的面积为（结果保留）。【答案】23p【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式进行求解.S=2 260 2

23、2360 360 3n r p pp=.考点：扇形的面积计算.11.（2015湖北黄冈，13 题，3 分）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若AOB=120，弧 AB 的长为 12 cm，则该圆锥的侧面积为 _cm2 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案【答案】108 考点：圆锥的计算 12.（2015乐山）如图，已知A

24、（2 3，2）、B（2 3，1），将AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A（2，2 3）的位置，则图中阴影部分的面积为【答案】34【解析】试题分析：A（2 3，2）、B（2 3，1），OA=4，OB=13，由A（2 3，2）使点A旋转到点A（2，2 3），AOA=BOB=90，根据旋转的性质可得，OB C OBCS S，阴影部分的面积等于S扇形AOAS扇形COC=2 21 14(13)4 4=34，故答案为：34 考点：1扇形面积的计算；2坐标与图形变化-旋转 13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径 r=2cm，扇形圆心角 120，则该圆锥母线长 l 为

25、 cm.个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案【答案】6.【解析】试题分析：圆锥底面圆半径 r=2cm，根据圆的周长公式，得圆的周长为 2 r 4 侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，扇形弧长 4.又侧面展开后所得扇形的圆心角为 120，根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为 120 l4 l 6180cm.考点：圆锥

26、和扇形的计算 14.(2015湖北襄阳,16题)如图，P为 O 外一点，PA，PB 是 O 的切线，A，B 为切点，PA=3，P=60，则图中阴影部分的面积为【答案】133【解析】试题分析：连结 AO，连结 PO 交圆于 C PA，PB 是 O 的切线，A，B 为切点，PA=3，P=60，OAP=90，OA=1，S阴影=2（S PAO S扇形 AOC）=21 60 12(1 3)2 360=133 故答案为：133 个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边

27、三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案考点：1扇形面积的计算；2切线的性质 15.（2015.重庆市 A卷，第 16 题，4 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，AB=4 2，以 A为圆心，AC长为半径作弧，交 AB于点 D，则图中阴影部分 的面积是.（结果保留）【答案】2 8.【解析】考点：解直角三角形、扇形面积、割补法.16.（2015.重庆市 B 卷，第 16 题，4 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A为圆心，AD的长为半径画弧，再以 AB边的中点为圆心，

28、AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 _（结果保留）16题图B CA D【答案】2【解析】试题分析：根据题意可得：阴影部分的面积等于半径为 4 的圆的四分之一的面积减去半径为个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案2 的圆的一半的面积.S=24 4 22 2=4 2=2.考点：圆的面积计算.个扇形的半径为扇形的弧长为圆锥侧面积公式圆锥侧圆锥全面积公式圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法公式法割 形沿直线向右翻动不滑动点从开始到结束所经过路径的长度为答案考点弧长的计算等边三角形的性质旋转的性质点睛 出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式举一反三安徽省第题分如图点在半径为的上的长为则的大小是答案