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1、 2016 中考数学专题复习一线三角三等角型 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 “一线三等角”基本图形解决问题 三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注
2、意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。一、知识梳理：（1）四边形 ABCD 是矩形，三角板的直角顶点 M在 BC边上运动，直角边分别与射线 BA、射线 CD交于 E、F，在运动过程中，EBM MCF.（2）如图 1：已知三角形 ABC中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有 ABD DEC.如图 2：已知三角形 ABC中，AB=AC,DEF=B,那么
3、一定存在的相似三角形有DBE ECF.321FEDABMC解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 （图 1）（图 2）二、【例题解析】【例 1】(2014 四川自贡）阅读理解：如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB上任取一点 E（点 E不与点 A、点 B重
4、合），分别连接 ED，EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD 的边 AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD 的边 AB上的强相似点解决问题：（1）如图 1，A=B=DEC=55，试判断点 E是否是四边形 ABCD 的边 AB上的相似点，并说明理由；（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB上的一个强相似点 E；拓展探究：（3）如图 3
5、，将矩形 ABCD 沿 CM折叠，使点 D落在 AB边上的点 E处若点 E恰好是四边形 ABCM 的边 AB上的一个强相似点，试探究 AB和 BC的数量关系 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【练习】1、已知矩形 ABCD 中，AB=3，AD=2，点
6、P是AB上的一个动点，且和点 A,B 不重合，过点 P作PE垂直 DP，交边 BC于点 E,设,PA=x，BE=y，求 y关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围.2、如图，已知正方形 ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与 A重合，并将三角尺绕点旋转，当 M点旋转到 BC的垂直平分线 PQ上时，连接 ON，若ON=8，求 MQ的长.3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=m(m 是大于 0 的常数)，BC=8,E为线段 BC上的动点（不与 BC重合）.连接 DE，作 EFDE，EF与射线 BA交于点 F，设CE=x,BF=y,(1)求 y 关于 x 的函数关系式（2）若 m=8，求
7、x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？（3）若12ym，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？FABCDE解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【例 2】等边ABC边长为 6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F
8、.（1）如图 1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；（2）如图 2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图 3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2 时，求PE的长.图 1 图 2 图3 分析过程：（1）EPF为等边三角形.（2）设 BP=x，则 CP6x.由题意可 BEP的面积为238x.CFP的面积为23(6)2x.ABC的面积为9 3.设四边形 AEPF的面积为 y.9 3y 238x23(6)2x=2536 39 38xx.自变量 x 的取值范围为
9、3x6.（3）可证EBP PCF.BPBECFCP.设 BP=x，解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 则(6)8xx.解得 124,2xx.PE 的长为 4 或2 3.【练习】.如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点
10、B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=y求 y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）当APM为等腰三角形时，求PB的长（4)当点D是BC的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由 【例 3】在ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB上的一点，且52ABAO，点 P是 AC上的一个动点，OPPQ 交线段BC于点 Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求 CQ 【练习】在直角三角形 ABC中，DBCABC,90o是 AB边上的一点，E 是在 AC边上的一个动点，（与 A,C 不重合），DFDEDF,与射线 B
11、C相交于点 F.(1)、当点 D是边 AB的中点时，求证：DFDE (2)、当mDBAD，求DFDE的值 A B P C M 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【例 4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(3，0)，B(1.0)，C(0，3
12、)(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P的坐标；(3)设抛物线的顶点为 D，DE x 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 答案：(1)y=x2+2x 3；(2)S 有最大值827，点 P的坐标为（23，415）；(3)M 的坐标为（0，23）或（0，27）或（0，1）或（0，3）.课后作业：1.已知：如图，在ABC中，5ACAB，6BC，点D在边AB上，ABDE，点E在边BC上又点F在边AC上，且BDEF(1)求证：FCEEBD；(
13、2)当点D在线段AB上运动时，是否有可能使EBDFCESS4 如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由 A B C D E F 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个
14、大小与B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。3.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=1y，PF=2y（1）分别求1y、2y关于 x 的函数关系式（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。4.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC
15、交AC与F，设PC=x，PEF的面积为y C P E A B F C P E A B D C P E A B F 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）若PEF为等
16、腰三角形，求PC的长。5.已知在等腰三角形ABC中，4,6ABBCAC，D是AC的中点，E是BC上的动点（不与B、C重合），连结DE，过点D作射线DF，使EDFA，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.（1）求证：CEDADH；（2）设,ECx BFy.用含x的代数式表示BH；求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.6.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA 求证；ABPDPC 求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 HABCD
17、EF解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长（不必写出解题过程）答案：1.解：（1）AB=AC B=C BED+DEF=C+EFC=90又B
18、DEFBED=EFC FCEEBD（2）BD=x，BE=x35，xEC356 FCEEBD2)(BDECSSBEDFEC若EBDFCESS44)356(2xx1118x 31136356 xBD不存在 2.解：（1）AB=ACB=C C D A B P 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除
19、精品好资料-如有侵权请联系网站删除 DPC=DPE+EPC=B+BDPEPC=BDP ABDDCE（2）DPE=B90 若PDE=90，在 RtABH和 RtPDE中 cos ABH=cosDPE=53PEPDABBH53PCBDPEPD PC=4 512BD 若PED=90在 RtABH和 RtPDE中 cos ABH=cos PED=53PDPEABBH35PCBDPEPD PC=4 5320BD（舍去）综上所述，BD的长为512 3.解：（1）52454)6(541xxy、xy342 （2）FPE=B90 若PFE=90，在 RtABH和 RtPFE中 cos ABH=cos FPE=5
20、3PEPFABBH5312yy535245434 xx1727x 若PEF=90，在 RtABH和 RtPFE中 cos ABH=cos FPE=53PEPFABBH 3512yy355245434 xx3x 4.解：（1）PEBEPC（2）PC=xxPF34，)6(54xPE，)6(251654xEPEH )6(7532)6(2516342121xxxxEHPFy 即xxy256475322)30(x（3）当PE=PF时，EPCPEB，PC=BE=x，536xx49x 当PE=EF时，xPFPH3221，cos EPH=cosB，53)6(5432 xx43108x C P E A B D
21、H C P E A B D H C P E A B F H C P E A B F H C P E A B F G H M 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 当FE=PF时，)6(5221xEPPM，cos FPM=cosB，5334)6(52xx2x
22、 综上所述，PC的长分别为49x、43108、2 5.解：（1）ABBC,AC CDEEDFAH 又EDFA,CDEH CEDADH （2）CEDADH，CECDADAH D是AC的中点，6AC，3ADCD，又,4CEx AB 当H点在线段AB的延长线上时，334xBH，94BHx 当H点在线段AB上时，334xBH，94BHx 过点D作DG AB,交BC于点G 12DGCGCDABBCAC，2,2DGBG 当H点在线段AB的延长线上时，BHBFGDGF，9422yxy18890924xyxx 当H点在线段AB上时，BHBFGDGF，9422yxy 818 94924xyxx 解决问题有化繁为简的效果在近几年的中考题中经常可以看到一线三等角的数学模型所谓一线三等角是指在一条直线了有相等边的条件之后相似就转化为全等了综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式需要大家注目条件的使用条件用完即使题目没有求解完毕也得到相应的分数提高问题解决的能力在这个师生共同探讨的过程中鼓