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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流“一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、 解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。 所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形， 当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。 本文将重点对这一基本图形进行探讨。 通过对题目的有效分
2、解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。一、知识梳理：（1）四边形ABCD 是矩形，三角板的直角顶点M在 BC边上运动，直角边分别与射线BA 、射线 CD交于 E、F，在运动过程中，EBM MCF.（2）如图 1：已知三角形ABC中， AB=AC, ADE= B,那么一定存在的相似三角形有ABD DEC.如图 2： 已知三角形ABC中，AB=AC,DEF= B,那么一定存在的相似三角形有DBE ECF.（图 1）（图 2
3、）二、 【例题解析】【例 1】(2014 四川自贡）阅读理解：如图 1，在四边形ABCD 的边 AB上任取一点E （点 E不与点 A、点 B重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边 AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边 AB上的强相似点解决问题：（1）如图 1， A=B=DEC=55 ，试判断点E是否是四边形ABCD的边 AB上的相似点，并说明理由；（2）如图 2，在矩形ABCD中， AB=5 ，BC=2 ，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长
4、为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边 AB上的一个强相似点E；321FEDABMC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流拓展探究：（3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM折叠，使点 D落在 AB边上的点E处若点 E恰好是四边形ABCM 的边 AB上的一个强相似点，试探究AB和 BC的数量关系【练习】1、 已知矩形 ABCD 中
5、， AB=3，AD=2，点 P是 AB上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点 P 作 PE垂直 DP，交边 BC于点 E,设,PA=x，BE=y，求 y关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围 . 2、如图，已知正方形ABCD ，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON ，若 ON=8 ，求 MQ 的长 . 3. 如图，在矩形ABCD 中，AB=m(m 是大于 0 的常数 ) ，BC=8,E 为线段 BC上的动点（不与BC重合） . 连接 DE ，作 EFDE ，EF与射线 BA交于点 F，设 CE=x,BF=y, (1)
6、 求 y 关于 x 的函数关系式（2）若 m=8 ，求 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？（3）若12ym，要使 DEF为等腰三角形，m的值应为多少？FABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 2】等边ABC边长为 6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. （ 1）如图 1，当点P为BC的三等分点，且
7、PEAB时，判断EPF的形状；（ 2）如图 2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（ 3）如图 3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2 时，求PE的长 . 图 1 图 2 图 3 分析过程 ： （1） EPF为等边三角形 . （2）设 BP=x ，则 CP 6x. 由题意可 BEP的面积为238x. CFP的面积为23(6)2x. ABC的面积为9 3. 设四边形AEPF的面积为 y. 9 3y238x23(6)2x=2536 39 38xx. 自变量 x 的取值范围为3x6. （3
8、）可证 EBP PCF.BPBECFCP. 设 BP=x，则(6)8xx. 解得124,2xx. PE 的长为 4 或2 3. 【练习】 . 如图，在ABC中，AB=AC=5cm ，BC=8，点P为BC边上一动点 （不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=y求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）当APM为等腰三角形时，求PB的长（4) 当点D是BC的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由A B P C M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
9、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 3】在ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB上的一点，且52ABAO，点 P是 AC上的一个动点，OPPQ交线段 BC于点 Q， （不与点 B,C 重合），已知 AP=2 ，求 CQ 【练习 】在直角三角形ABC中，DBCABC,90o是 AB边上的一点， E是在 AC边上的一个动点，（与 A,C 不重合），DFDEDF,与射线 BC相交于点 F. (1) 、当点 D是边 AB的中点时，求证：DFDE(2)
10、 、当mDBAD，求DFDE的值【例 4】如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A(3，0)，B(1.0) ，C(0， 3) (1) 求抛物线的解析式；(2) 若点 P为第三象限内抛物线上的一点，设 PAC的面积为 S，求 S的最大值并求出此时点P的坐标；(3) 设抛物线的顶点为D，DE x 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点M ，使得 ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由答案： (1)y=x2+2x 3；(2)S 有最大值827，点 P的坐标为（23，415） ；(3)M 的坐标为（ 0，23）或（ 0，27）或（ 0， 1）或（ 0， 3）. 名师资
11、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流课后作业：1.已知：如图，在ABC中，5ACAB，6BC，点D在边AB上，ABDE，点E在边BC上又点F在边AC上，且BDEF(1) 求证：FCEEBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使EBDFCESS4如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由2.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且
12、BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动， 使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。3.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点( 与B、C 不重合 ) ，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=1y，PF=2y（1）分别求1y、2y关于 x 的函数关系式（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。4.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点( 与B、C不重合
13、 ) ，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，PEF的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）若PEF为等腰三角形，求PC的长。C P E A B F C P E A B D C P E A B F A B C D E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5.已知在等腰三角形ABC中，4,
14、6ABBCAC，D是AC的中点，E是BC上的动点（不与B、C重合） ，连结DE，过点D作射线DF，使EDFA，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H. （ 1）求证：CEDADH；（ 2）设,ECx BFy. 用含x的代数式表示BH；求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域 . 6.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x
15、的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长（不必写出解题过程）HABCDEFC D A B P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流答案：1.解： （1）AB=AC B=CBED+DEF=C+EFC=90又BDEFBED=EFCFCEEBD（2）BD=x，BE=x35，xEC356FCEEBD2)(BDECSSBEDFEC若EBDFCESS4
16、4)356(2xx1118x31136356xBD不存在2.解： （1）AB=ACB=CDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC = BDPABDDCE（2）DPE=B90若PDE=90 ，在RtABH和 RtPDE中cosABH=cosDPE=53PEPDABBH53PCBDPEPDPC=4 512BD若PED=90 在 RtABH和 RtPDE中cosABH=cosPED=53PDPEABBH35PCBDPEPDPC=4 5320BD（舍去）综上所述， BD的长为5123.解： （1）52454)6(541xxy、xy342（2）FPE=B90若PFE=90，在 RtABH和 RtPFE中
17、cosABH=cosFPE=53PEPFABBH5312yy535245434xx1727x若PEF=90，在 RtABH和 RtPFE中cosABH=cosFPE=53PEPFABBH3512yy355245434xx3x4.解： （1）PEBEPC（2）PC=xxPF34，)6(54xPE，)6(251654xEPEHC P E A B D H C P E A B D H C P E A B F H C P E A B F H C E A B F H M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
18、- - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流)6(7532)6(2516342121xxxxEHPFy即xxy256475322)30(x（3）当PE=PF时，EPCPEB，PC=BE=x，536xx49x当PE=EF时，xPFPH3221，cosEPH=cosB，53)6(5432xx43108x当FE=PF时，)6(5221xEPPM， cos FPM=cosB，5334)6(52xx2x综上所述，PC的长分别为49x、43108、25.解： （1）ABBC, ACCDEEDFAH又EDFA, C
19、DEHCEDADH（2）CEDADH，CECDADAHD是AC的中点，6AC，3ADCD，又 ,4CEx AB当H点在线段AB的延长线上时，334xBH，94BHx当H点在线段AB上时，334xBH，94BHx过点D作DG AB, 交BC于点G12DGCGCDABBCAC，2,2DGBG 当H点 在 线 段AB的 延 长 线 上 时 ， BHBFGDGF， 9422yxy18890924xyxx当H点 在 线 段AB上 时 ， BHBFGDGF， 9422yxy81894924xyxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -