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1、08春经济数学基础微积分部分第一部微分学第 1 章 函 数1.理解函数概念。理解函数概念时，要掌握函数的两要素定义域和相应关系,这要解决下面四个方面的问题：(1)掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值。要掌握常见函数的自变量的变化范围,如分式的分母不为0,对数的真数大于0,偶次根式下表达式大于0。例 1求 函 数 丁=华 的定义域。解：l n(x-l)的定义域是x l,万三的定义域是x W 2,但 由 于 万 三 在 分 母 上，因此x#2。故函数y 籍2 的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即 1。D.f(x)=x2 s i n x解：根据偶函数的定义以及奇函数x奇函数是偶函
2、数的原则，可以验证A中Y 和s M x都是奇函数,故它们的乘积/(x)=Y s i n X是偶函数，因此A对的。既然是单选题，A已经对的，那么其它的选项一定是错误的。故对的选项是A。第 2 章 极 限，导数与微分1.掌握求简朴极限的常用方法。求极限的常用方法有：(1)运用极限的四则运算法则；(2)运用两个重要极限；(3)运用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)：2.知道一些与极限有关的概念(1)知道函数在某点极限存在的充足必要条件是该点左右极限都存在且相等；(2)了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；(3)会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。例1下列变量中，是无穷小量的
3、为()1 八A.xs i n (x 0)B.l n x(xf+oo)C .e A(x 0)D.xx 2x2-4(x f 2)解：A中：由 于x f 0时，是无穷小量，s i n，是有界变量，由定理，xs i n a f O)是无X X穷小量;B中：由于x f+o o时，I n x f+8,故I n x(x-+oo)不是无穷小量;工1 1C 中：由于 x 。+时，-c o，故 e，一 0；但是 x 0 时，-4-00，故X XeKf+co,因此e *当x f0时不是无穷小量。1x+2D中：由于X2-4故x-2时，X2-4 4不是无穷小量。厂一 4因此对的的选项是B。例2当左=()时，/(%)=x
4、+1x2x 0在x=0处连续。x 0A.0。B.-1C.2。D.1解：函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。由于/(0)=0+1 =1,而左连续f(T)=l i m(f+%)=左=/(0)。故当攵=1 时，/(X)在 x=0 处连续。XT。-对的的选项是D。3.理解导数定义。理解导数定义时，要解决下面几个问题：(1)牢记导数定义的极限表达式：(2)会求曲线的切线方程；(3)知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)。例 3曲线y=/-尤在点(1,0)处的切线是()A.y=2 x-2 e B.y=2x+2 C.y=2 x+2 D.y=-2 x-2解：根据导数的几何意义
5、可知，y(i)=(x3-xy|=(3 2-I)|=2是曲线y=在点(I,。)处的切线斜率，故切线方程是y-0 =2(x-l),即 y=2x-2；故对的的选项是A。例 4求曲线f(x)=G +1 在点(1,2)处的切线方程。解：由于广瓮)=(五+1)=；=：=12、x 2Vx*=21 1 3所以，在点(1,2)处的切线方程为 y 2 =(x l),即 y =+4.纯熟掌握求导数或微分的方法。具体方法有：(1 )运用导数(或微分)的基本公式(2)运用导数(或微分)的四则运算法 则(3)运用复合函数微分法例 5 求下列导数或微分：(1)设求y ;(2)设丁=c os-e 一 ，求v 3 x-5(3)
6、设 y =x6+-，求d y。2 x-l解：(1 )这是一个复合函数y-u 5,”=3 x-5i _2 7-3-运用复合函数求导数y =2(3尤5)=一一 2=一一(3九一5)22 2 2(2)V=(co s V x)r-(e-v)二 一 s i n V x(V x)r-e-r(-x2)(3)y，=(x V x +-)，=x -2 x-l 2 (2 x-l)2dy=y(i r=x22(2 1)2dr5.知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。例6已知y=尤s i n X,则 (耳)=()71 71A.1 B.1 C.D.-2 2解：y=s i n x +x co s x,=2 co s x x
7、s i n xy(5)=2 co s x-x s i n Xx=：=-W。故对的的选项是 D。第3章 导 数 的 应 用1.掌握函数单调性的判别方法，掌握极值点的判别方法,会求函数的极值。通常的方法是运用一阶导数的符号判断单调性，也可以运用已知的基本初等函数的单调性判断。例1在指定区间 1 0,1 0 内，函数y =()是单调增长的。A.s i n x B.e-r C.x2。D.l n(x +2 0)解：这个题目重要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简朴的函数,从图形上就比较容易看出它们的单调性。A中s i n x是正弦函数，它的图形在指定区间-1 0,1 0 内是波浪形的
8、，因此不是单调增长函数。B中e：是指数函数，(e-x)=-e 0 x +2 0故y =l n(x +2 0)是单调增长函数。对的的选项是D。例2 函数/(x)=x In x的单调增长区间是 o解：用求导数的方法，由于/(x)=(x l n x)=l LX令f(x)=1 工 0,则X 1,则函数的单调增长区间应当填写(1,+O O)oX2.了解一些基本概念。(1)了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件,知道函数的极值点与驻点的区别与联系；例3 函数y =3(x -I)2的驻点是.解：根据驻点定义，令9=6(-1)=0,得=1。应 当 填 写 为=1(2)了解边际概念和需求价格弹性概念；例
9、4已知需求函数为q =3-2 7万，则需求弹性E(p)=.解：由于 q ，且E(p)=q =(=-J p q 3-1 p所以应当填写3-2 7 7例5已知需求函数4 5)=1 0 0*2 4,当=1 0时濡求弹性为().A.4x2 In 2 B.4 1 n 2 C.-4 1 n 2 D.-4 x 2 pl n 2解：由于 0(p)=(l O O x 2 4 4，y =i 0 0 x(-0.4)l n 2 x 2 4。=_ 4 0 1 n 2 x 2-4。，且E(P)=?/=一 (T O In 2 x 2-)=-0.4 In 2 PC i 1 ,A 7 X 乙E(1 0)=-0.4 1 n 2
10、x l 0 =4 1 n 2；故对的选项是 C3.纯熟掌握求经济分析中的问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等)。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。例6 设生产某种产品q台时的成本C(q)=1 0 0 +0.2 5/+6 g (万 元)，试 求(1)当9 =1 0时的总成本，平均成本和边际成本;(2)当产量q为多少时,平均成本最小。解:(1)当q =1 0时的总成本。(1 0)=1 0 0 +0.2 5 x(1 0)2 +6 x 1 0 =1 8 5 (万元)当q=10时的平均成本 e(10)=型8()=18.5(万元/台)10当q=10时的边际成本 C(q)=0.5q+6;(7(10
11、)=0.5x10+6=11(2)C()=-=+0.25+6,e(4 e解：由于/(x)的一个原函数是e-2，故/(x)=(e _ 2，y =_ 2e-2*故对的的选项B o例 5 已知J山:=s i n x+c,则式 x)=()D.xc os x解：对,Jn、(x)d x=s i n x+c 两端求导，得 4 (x)=c o s x,故 f (x)=,对的的选项是C。2.纯熟掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有(1)运用积分基本公式直接进行积分；(2)第一换元积分法(凑微分法)；(3)分部积分法，重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：基函数与指数函数相乘;幕函数与对数函数相乘；基函数与正(
12、余)弦函数相乘；例 6.J 凡：=(。，)。A.ln2(2x)o B.；lrj 2(2x)+c C.21 n?(2x)+c D.；ln?(2x)+c解：两种方法，其一是凑微分直接计算：j I0 2 由；=j M 2x(j(2x)=j i n 2A d(ln 2x)=ln2(2x)+c其二是求导计算:四个备选答案中都具有1 1?(2幻 项，对它求导(I n 之(2x)，=2 ln(2x).2=2 l n(2 x)2x x与被积函数比较可知，L n 2(2x)+c 是 蚂 过 的 原 函 数。2x对的的选项是B。例 7 计算下列积分.1sin 。J一(2)jxlnxdr(3)j(x+l)sinxd
13、x解：(1)由于一7(ix=d()X Xsinl所以 f-dx=-sin(-)dr=-sin d()=cos+cJ x J x x J x x x(2)设 =lnx,M=x#=x 2,运用分部积分公式，2f t 1 2 1 C X.1 2 i 1 2xlnxdx=x Inx 一dx=x Inx x+cJ 2 21 x 2 4(3)设 =x+1,/=sin x,u=-cosx，运用分部积分公式，J(x+l)sinxdx=-(%+l)cos%+Jcosxdx=-(%+l)cosx+sinx+c第2章 定 积 分1.了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.奇偶函数在对称区间上的积分有以
14、下结果：若 丁(x)是奇函数，则有J：/(x)dx=0若/(%)是偶函数，则有(x)dx=2j(x)dx=2/J(x)dx例1若F(x)是/(幻 的一个原函数，则下列等式成立的是().A.f f(x)dx=F(x)B.f(x)dx=F(x)F(a)J aJ aC.尸(x)dr=/(b)-/(a)D.J 7 v)ir=m-F(a)J aJ a解：(x)dx=E(x)|：=厂(份尸可知，对的的选项是B。例 2 C ln(z2+l)dr=()oA.-1 n(x2+l)B.1 n(x2+1 )C.ln(x2+l)2x。D.1 n(x+1)2 x解：r ln(z2+l)dr=-f ln(r2+l)dz=
15、-ln(x 2+l),故对的的选项是d x Jx dx JaAo/,I,例 3 J J sin-xdx=。解：由于/(x)=xsin2x是奇函数，故fjsiM x d rn O。应当填写：02.纯熟掌握定积分的计算方法。例4计算下列定积分解：(1)运用工 必=1(111幻=(1(1+111%),于是X/1 dx=/1 d(l+Inx)=2 jl+lnx|=2(4 -Vl)=2Jl x jl+lnx Ji J l+Inx 1 1注意 Ine?=31ne=3,lnl=0=2e&22(e-e)(3)用分部积分法jf e-2 5 =_,屁 寸；_ j e 2 d r =-+g e a J；=_(3晓
16、1)(4)用分部积分法n7t居 r r 1 *1 A -f 1*1|2xcos2Adx=xsin2x|2sin2Mr=cos2x=Jo 2 Io 2 J。4 0 23.知道无穷限积分的收敛概念,会求简朴的无穷限积分。例5 广义积分f(，e2vdx=_J 00解：由于*&=随夕1)=配3 j 2b)g 应当填写：I例6下列无穷积分中收敛的是().广+00A.InxdxB.+00 1解：由于f+8%1 匕=一1:=L所以对的的选项是B。第3章 积 分 应 用1.纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例1 生产某产品的边际成本为C (x)=8 x(万元/百台)，边
17、际收入为R(x)=1 0 0-2 x(万元/百台)，其中x为产量，若固定成本为1 0万元，问(1)产量为多少时，利润最大?(2 )从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：(1)边际利润 L,(x)=/?r(x)-C(x)=(1 0 0-2 x)-8 x=1 0 0-1 0%令(x)=0 ,得 x=1 0(百台)又x=1 0是L(x)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(x)存在最大值，故x=1 0是L(x)的最大值点，即当产量为1 0(百台)时，利润最大。利润的变化 L=d x=(1 0 0-1 0)dx=(1 0 0X-5X2)|；*=一2 0 即从利润最大时的产量再生产2百台，
18、利润将减少2 0万元。例2已知某产品的边际成本为C (x)=4 x-3 (万元/百台),x为产量(百台)，固定成本为1 8 (万元)，求最低平均成本.解：由于总成本函数为 C(x)=J(4 x-3)d x=2 x2-3 x+c当x=0时,C (0)=1 8,得c=1 8,即 C(x)=2x2-3 x+1 8又平均成本函数为 C(x)=-=2 x-3 +X X令e (x)=2-与=0,解得x=3 (百台)。该题的确存在使平均成本最低的产量.当x：X_ 1 o3时，平均成本最低.最底平均成本为6(3)=2乂3-3 +=9 (万元/百台)32.了解微分方程的几个概念:微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等。