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1、08春经济数学基础微积分部分第一部微分学第1章函数1.理解函数概念。理解函数概念时，要掌握函数的两要素定义域和相应关系,这要解决下面四个方面 的问题:(1)掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值。要掌握常见函数的自变量的变化范围,如分式的分母不为0,对数的真数大于0,偶次根式下表达式大于0o例1求函数y =华二2的定义域。 y/2-x解：ln(x-1)的定义域是xl,逝二的定义域是x +00eAdx D.o+oo I-j=Ax1五所以对的的选项是B。第3章积分应用1.纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例1生产某产品的边际成本为C(x) =
2、8x (万元/百台)，边际收入为R(x) = 100-2x (万元/百台)，其中x为产量，若固定成本为10万元，问(1)产量为多少时，利润最大?( 2 )从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：(1 )边际利润 Lx) = R(x) C(x) = (100 2x) 8x = 100 lOx令Z/(x) = 0 ,得 x = 10(百台)又x = 10是L(x)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(x)存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为1 0(百台)时，利润最大。rl2r12r ”利润的变化 L= Z/(x)dx= (100 10x)dx =(100x 51)
3、篇=20即从利润 *1()*1()最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。例2已知某产品的边际成本为C(x) = 4x 3 (万元/百台),x为产量(百台)，固定成本为1 8 (万元)，求最低平均成本.解：由于总成本函数为 C(x) = f(4x-3)dx = 2x2-3x + c当 x = 0 时,C (0) = 18,得 c = 18,即 C(x)= 2x2 3x +18又平均成本函数为C(x) = C2= 2x-3 + XX18令C(x) = 2-7 = 0,解得x=3 (百台)。该题的确存在使平均成本最低的产量.当工= x-183时，平均成本最低.最底平均成本为。(3) = 2x
4、3 3 +7=9 (万元/百台)2. 了解微分方程的几个概念:微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等。C. /(x) = ax -ax b D. f(x) = x2 sinx解： 根据偶函数的定义以及奇函数x奇函数是偶函数的原则，可以验证A中1和sin、 都是奇函数,故它们的乘积/(x) =/sin1是偶函数，因此a对的。既然是单选题，A已经 对的，那么其它的选项一定是错误的。故对的选项是A。第2章极限，导数与微分1 .掌握求简朴极限的常用方法。求极限的常用方法有：(1)运用极限的四则运算法则；(2)运用两个重要极限；(3)运用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)；2 .知道一
5、些与极限有关的概念(1)知道函数在某点极限存在的充足必要条件是该点左右极限都存在且相等；(2) 了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；(3)会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。例1下列变量中，是无穷小量的为()-A. xsin (x - 0) B. lnx(x +oo) C. e(x O) I).xx 2x2-4x 2x2-4(12)解：A中：由于x f0时，是无穷小量，sin，是有界变量，由定理，xsinL(x -0)是无 XX穷小量；B中：由于x f+oo时，Inx f+oo,故In x(x -+oo)不是无穷小量；1 1c 中：由于 x f(Tei寸，一00,故。”0；但是 x
6、 - 0一时， +go ,故XXe x f +oo ,因此e 当x f 0时不是无穷小量。x-21x-21x-2D中：由于-二一故x -2时丁士，不是无穷小量。x2-4 x + 2x2-44 x2-4因此对的的选项是B。x+1 xQ例2当上=()时，/(%) =(在x = 0处连续。x2+k xQA. 0A. 0。B. 一1C. 2bD. 1解：函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。由于/(0) = 0 + 1=1,f (x)在x = 0处连续。,f (x)在x = 0处连续。而左连续/(0一)=山11(炉+幻=左=/(0)。故当左=1时, .D 一对的的选项是D。3.理解导数定义。理解
7、导数定义时，要解决下面几个问题：(1)牢记导数定义的极限表达式；(2)会求曲线的切线方程；(3)知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)。例3曲线 = /不在点(1,0)处的切线是()A. y = 2x-2。 B. y - -2x + 2 C. y = 2x +2 D. y = -2x-2解：根据导数的几何意义可知，/=(x3-x)z= (3x13所以，在点(1,2)处的切线方程为y 2 = (x 1),即 y = x + 。 224.纯熟掌握求导数或微分的方法。具体方法有：(1 )运用导数(或微分)的基本公式(2)运用导数(或微分)的四则运算法则(3)运用复合函数微分
8、法例5求下列导数或微分：(1)设求 y； (2)设丁 = cos五一已一,求尸； y/3x 5 -1)=2xTx=是曲线y = / 一 %在点色 0)处的切线斜率,故切线方程是y 0 = 2(x 1),即y = 2x 2；故对的的选项是A。例4求曲线/(x) = JI +1在点(1,2)处的切线方程。解：由于尸(x)=(6+1)，=尸，/=；=:(3)设y = x4x + - 21，求 dy o2dx 2jx= 2解：(1 )这是一个复合函数y = 2= 3x-5运用复合函数求导数y = 2(315)，= Q 3Q3_m2=_(3x-5)2(2) y=(cosVx) 一 (e-r)二一 sin
9、 Vx(Vx) - e” (-x2)r- 1_ 2_ sin Jx - e (2x) 2xe A 2jxsin vx2a/x(3)y =(%Vx h-y -2x-l3 J 2 2QI)?dy = yx =3 |22(2x I-dx5,知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。77例6已知y=xsinx,则丁(耳)=(A. 1 B. -1 C. 1 D. - j解： yf sinx + xcosx, y = 2cosx-xsinxnity() = 2cosx-xsinx万=。故对的的选项是D。2a 2第3章导数的应用1 .掌握函数单调性的判别方法，掌握极值点的判别方法,会求函数的极值。通常的方法是运
10、用一阶导数的符号判断单调性，也可以运用已知的基本初等函数的单 调性判断。例1在指定区间 10,10内，函数=()是单调增长的。A. sinx 。 B. e-v。 。 C. J 。 。 d. ln(x + 20)解：这个题目重要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简朴的函数,从图形上就比较容易看出它们的单调性。A中sinx是正弦函数，它的图形在指定区间 10, 1 0内是波浪形的，因此不是单 调增长函数。B中。一1 是指数函数，(er)r=-e-x 1 ,则函数的单调增长区间应当填写(1,+8)o了解一些基本概念。(1) 了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件,知道函数
11、的极值点与驻点的区别 与联系；例3 函数y = 3。一 I)2的驻点是.解：根据驻点定义，令V = 6(x 1) = 0,得=1。应当填写x = l(2) 了解边际概念和需求价格弹性概念；例4已知需求函数为9 = 3 2J，则需求弹性()=.解： 由于 q = 1= ,M E(p) = q = .(产)= Jpq 3-2jp Jp 3-2jp所以应当填写3-2后例5已知需求函数q(p) = 100 x 2一4,当p = 10时，需求弹性为().A.4x21n2B.41n2 C. -41n2 D. -4x2-4pln2解：由于 qp) = (100 x 24/7)r = 100 x (-0.4)
12、In 2x 24/7 = -40 In 2x 2-04,?,且E(p) = S= p (401n2x24)= 0.41n2P q1 (Ju x 乙故对的选项是C故对的选项是C(10) = -0.4h 2xl0 = -41n2;3.纯熟掌握求经济分析中的问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等)。掌握求边 际函数的方法，会计算需求弹性。例6 设生产某种产品q台时的成本。)= 100+0.25+69 (万元)，试求(1)当q = 10时的总成本，平均成本和边际成本；(2 )当产量q为多少时,平均成本最小。解：(1)当q = 10时的总成本0(10) = 100+0.25x(10)2+6x10 =
13、 185 (万元)当9 = 10时的平均成本C（l（） =红屹0 = 18.5 （万元/台）10当q = 10时的边际成本当=0& + 6 ;C(10) = 0.5x10 + 6 = 11(2)为)= =/ + 0.254 + 6 , C (幻=-+ 0.25 q qq令心）= 0,求得4 = 20。由于故意义的驻点唯一，且平均成本存在着最小大值，所以当产量为2 0台时,可使平均成本达成最小大。例7设某产品的成本函数为C）=0.01/+49 + 20 （元）,其中q是产量，单位：件。单位销售价格为 =14-0.00 （元/件）问产量为多少时可使利润达成最大。最大利润是多少？解：由于 L = R
14、 C ,且A =9 = （14。.01/4 = 144 0.01q2所以 = R C = 14q 0.01q2 一o.oiq2 49 20 =10-0.02-20Z/ = 10 0.04q,令 / = 0,解得 q = 250 (件)因唯一驻点唯一，故夕=2 50件是所求的最大值点。当产量为2 5 0件时，利润最大。最大利 润为 (250) = 10 x 250 0.02x(250)2 20 = 1230 (元)例8生产某种产品的固定费用是100 0万元，每多生产1台该种产品，其成本增长10万元，又知对该产品的需求为，=120-2夕（其中夕是产销量，单位:台；p是价格，单位:万元）.求（1）使
15、该产品利润最大的产量；（2）该产品的边际收入.解:（1）设总成本函数为C（q）,收入函数为R0）,利润函数为L（。），于是C(q)=l 0 q+1000(万元),C(q)=l 0 q+1000(万元),12 一R (q)=qp=6bqq (万兀),L （ o）=R（。）-C（夕尸504 q2 一iooo（万元），（） = 50。= 0得到行50（台）, 由于驻点唯一，故。=5 0台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获最大利润。 因H（q） =60q-q2,故边际收入R（q） =60-q（万元/台）。第二部一元函数积分学第1章不定积分1 .理解原函数与不定积分概念。什么是原函数?若函数b(
16、x)的导数等于/(x),即F(x) = /(x),则称函数歹(x)是 /(x)的原函数。(2)什么是不定积分？原函数的全体/(x) + c (其中c是任意常数)称为,f(x)的不定积 分，记为J/(x)ck=/(x) + c。(3)知道不定积分与导数(微分)之间的关系。不定积分与导数(微分)之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它自身；先求导，再 积分，等于函数加上一个任意常数，即d(J f(x)ck) = /(x)ck,f (x) = f(x) + c例1 假如歹(x)是大X)的一个原函数，。为任意常数，则下式成立的是()。A. 尸(x) + c= f(x) 8汜. F(x)dx + c =
17、 /(%)dx。C. (F(x) + c)f = f(x) 。D.尸(x) = /(x) + c解：假如尸(x)是f (x)的一个原函数，则尸(x) +c都是f(x)的原函数，故有 (2x) + c) = .f(x),即对的的选项是C。例 2 假如 J/(x)dx = sin2x + c,则/(*)=()A . 2sin2 xB. 2cos2 x. 2 s i n 2x D. 2cos 2 x解：火 x)= (j /(x)d)r = (sin2x + c) = 2cos2x.对的的选项是D o例3设b(x)是函数,f(x)的一个原函数，则，川二(o ) o A. 尸(1 ) + c。B.一/(
18、1 C. /(l %2) + c D. /(l x2) + c解：由于/(x)是函数/(x)的一个原函数，即有J/(x)dx = F(x) + c,故J #(1 用=俏/(_/温=；J/(_/刈)= ( 一 号 +c故对的的选项C。例4 设/(x)的一个原函数是e-2。则/(%)=()。A. e-2x oB. -2e-2xC - 4e_2x4e-2x解：由于.f(x)的一个原函数是。，故/(尢)=(匕小)，=2小故对的的选项B。例 5 已知 j4(x)dx=s i nx+c,则犬 *)=()sin xcosx4. B. xsiwcC. D. x c os xXX解： 对Jf(x)dx=sinx
19、+。两端求导，得知*(x)cosxcosx,故 f (x)=X对的的选项是c。2.纯熟掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有(1)运用积分基本公式直接进行积分；(2)第一换元积分法(凑微分法)；分部积分法，重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：基函数与指数函数相乘;幕函数与对数函数相乘；基函数与正(余)弦函数相乘;例6.In 2x j-OX = 3) o xA.ln2(2x) B. ln2(2x) + cC. 21n2(2x) + c D .解：两种方法，其一是凑微分直接计算：j I 2网=j 2匕(21)=jIn 2xd(ln2x) = ln2(2x) + c jc2x2其二是求导计算:四
20、个备选答案中都具有11?(2切项，对它求导ln2(2x) + c 4八 2/c 、，、221n(2x)(ln2(2x)z = 2 ln(2x) 一 二- 2x x与被积函数比较可知，,ln2(2x) + c是蚂生的原函数。2对的的选项是B。例7计算下列积分。.1sin x解：(1 )由于一ydr 二 d(L) XX,1sin 所以J工dr二JC,1sin 所以J工dr二JCsin (一-)dx = -f sin d() = cos+ cJ x 厂 J xx(2)设=In= x2,运用分部积分公式,2xnxdx = -x2nx-22dx =lx2lnx-x2+c(3)设 = x + l,v =
21、$山羽以 = 一8$二运用分部积分公式,= -(x + l)cosx+ sinx + c= -(x + l)cosx+ sinx + cj ( +1) sin xdx=- (x +1) cosx + jcosxdx第2章定积分1. 了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:-a/(x)dx = 2j0/(x)ck = 2| f(x)ck例1若/(X)是/(X)的一个原函数，则下列等式成立的是().A./ (x)dx = F(x) aB. xf(x)dx = F(x)- F(a) aC.D. bF(%)dx = f(b) f(a) a、bf(x)dx=F(b)-F(a) a解:J：/(x)dx = b(x)|：=尸(力尸可知，对的的选项是B。Q ra r例 2 In(产 + 1)由=( dx