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1、1 / 7 经济数学基础积分学部分教案要求与综合练习大家好！现在是经济数学基础本学期第二次学习辅导活动，欢迎大家参加！第一次辅导活动给出了微分学部分的学习要求和综合练习，应该说它们对您的学习会有很大的帮助的 , 希望大家重视。本次活动的主要内容安排了三个，一是对本课程的期末考试作一些说明，二是对第二部分积分学提出一些学习要求，最后给出积分学部分的综合练习，希望大家按照这些要求和练习进行复习。考核说明考核对象：本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生考核依据：以本课程的教案大纲和指定的参考教材为依据制定的本课程指定的参考教材是由李林曙、黎诣远主编
2、的、高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程经济数学基础网络课程”的配套文字教材：经济数学基础网络课程学习指南经济数学基础微积分经济数学基础线性代数考核方式：本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占考核成绩的 30% ，期末考试成绩占考核成绩的70% 课程考核成绩满分100分，60分以上为合格，可以获得课程学分考核要求：本课程的考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层
3、次试卷类型及结构：试卷类型分为单项选择题、填空题和解答题三种题型分数的百分比为：单项选择题15% ，填空题 15，解答题 70考核形式：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100 分考试时间： 90分钟积分学部分学习要求第 1 章不定积分1理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？若函数)(xF的导数等于)(xf，即)()(xfxF，则称函数)(xF是)(xf的原函数。（2）原函数不是唯一的。由于常数的导数是0，故cxF)(都是)(xf的原函数（其中c是任意常数）。（3）什么是不定积分？原函数的全体cxF)(（其中c是任意常数）称为)(xf的不定积分，记为xxfd)
4、(=cxF)(。（4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 / 7 不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即)d)(xxf=)(xf,)d)(d(xxf=xxfd)(, cxfxxf)(d)(，cxfxf)()(d2熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函
5、数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；第 2 章定积分 1了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：若f x( )是奇函数，则有fxxaa( )d0若f x( )是偶函数，则有f xxf xxfxxaaaa( )( )( )ddd22002熟练掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）（3）分部积分法，主要掌握被
6、积函数是以下类型的定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；3知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。第 3 章积分应用 1掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般步骤：(1) 画出所围平面图形的草图；(2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3) 利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分。2熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 3了解微分
7、方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解。综合练习一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A）Ay = x2 + 3By = x2 + 4Cy = 2x + 2Dy = 4x正确答案： A 2下列等式不成立的是（）A)d(edexxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx正确答案： A3若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）. A.2ex B.2e21xC.2e41xD.2e41x正确答案： D4下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）Axxc
8、1)dos(2Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd12正确答案： C5. 若cxxfxx11ede)(，则 f (x) =（）Ax1B-x1C21xD-21x正确答案： C6. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba正确答案： B7下列定积分中积分值为0 的是（）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd)sin(2正确答案： A8下列定积分计算正确的是（）A2d211xxB15d161x精选学习资料 - - -
9、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 C0dsin22xxD0dsinxx正确答案： D9下列无穷积分中收敛的是（）A1dlnxx B0dexx C12d1xx D13d1xx正确答案： C10无穷限积分13d1xx=（）A0 B21 C21 D. 正确答案： C二、填空题1xxded2应该填写：xxde22函数xxf2sin)(的原函数是应该填写： -21cos2x + c ( c是任意常数 ) 3若)(xf存在且连续，则 )(dxf应该填写：)(xf4若cxxxf2)1(d)(，则)(xf.应该填写：)1(2 x5若cxFxxf
10、)(d)(，则xfxx)de(e=.应该填写：cFx)e(6e12dx) 1ln(ddxx. 应该填写： 07积分1122d)1(xxx应该填写： 08无穷积分02d)1(1xx是（判别其敛散性）应该填写：收敛的9设边际收入函数为R (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为应该填写： 2 + q23三、计算题1xxxd242精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 解xxxd242=(2)dxx=2122xxc2计算xxxd1sin2解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin23
11、计算xxxd2解cxxxxxx22ln2)(d22d24计算xxxdsin解cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin5计算xxxd1)ln(解xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122 =cxxxxx4)ln2(21226计算xxxde2121解xxxde2121=21211211eee)1(dexxx72e11d1lnxxx解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=)13(28xxxd2cos20解：xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120 =202cos41x=219xxd) 1ln(1e0解法一
12、xxxxxxxd1) 1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd )111 (1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 解法二令1xu，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 uuuuuuuxxd1lndlnd) 1ln(e1e1e11e0=11eeee1u四、应用题1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元/百台). 试求产量由 4百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解当产量由 4百台增至 6百台时，总成本的增量为64d)
13、402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC， 解得6x.x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小.2已知某产品的边际成本C (x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益 R (x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解因为边际利润)()()(xCxRxL=12- 0.02x 2 = 10-0.02x令)(xL= 0，得 x = 500 x = 500是惟一驻点，
14、而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500件时，利润最大. 当产量由 500件增加至 550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少 25元. 3生产某产品的边际成本为C (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 R (x)=100- 2x（万元 /百台），其中 x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解L (x) = R (x) - C (x) = (100 2x) 8x =100 10 x令 L (x)=0, 得 x = 10（百台）又 x
15、 = 10是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是 L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大 .又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20 万元.4已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元/百台)， q为产量(百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本 . 解：因为总成本函数为qqqCd) 34()(=cqq322精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 当 q= 0时，C(0)
16、= 18，得 c =18 即C( q)=18322qq又平均成本函数为qqqqCqA1832)()(令0182)(2qqA， 解得 q= 3(百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 q = 3时，平均成本最低 . 最底平均成本为9318332)3(A(万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元)，其中 x为产量，单位：百吨销售 x百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得 x= 7 由该题实际意义可知， x= 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7百吨时利润最大 .(2) 当产量由 7百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少 1万元.今天的活动到此结束，谢谢大家的参与。再见！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页