2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明.pdf

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1、2023年中考数学高频考点突破圆的切线的证明1.如图，A B为。的直径，C,D 为上不同于A,B的两点，B D =2 4 B A C,连 接CD,过 点C作CE 1 D B,垂足为E,直 径A B与C E的延长线相交于F点.(1)求证：C F是。的切线;(2)当 BD=g,sinF=1 时，求 OF 的长.2.已知：如图，在4 A B C中，NB=N C.以A B为 直 径 的。交B C于 点D,过 点D作DE 1 AC 于点 E.(1)求证：O E与。相切；(2)延 长D E交B A的延长线于点F,若4B=8,sinB=求线段F A的长.3.如图，4 B为。的直径，A C为弦，点。为 命 中

2、点，过 点D作D E 1直线4 C,垂足为E,交A B的延长线于点F.(1)求证：E F是。的切线；(2)若 EF=4,sinzF=|,求。的半径.4.如图，在AABC中，AB=A C,以A B为直径的。交在C P上截取CF=C D,连 接BF.边 于 点D,过 点C作CP/AB,求证：直 线 B F是。的切线；若 4B=5,BC=2 V 5,求线段C D和B F的长.5.如图，A A B C 内接于。，Z B=6 0 ,C D 是。的直径,A P A C.P 是 C D 延长线上的一点，且H(1)求证：PA 是 O。的切线.(2)若 AB=4+W，BC=2 V 3,求。的半径.6 .如图，4

3、 8 是。的直径，C 是 0。上一点，Z.ACD=Z B,AD 1 CD.(1)求证：C C 是。的切线.(2)若 40 =1,0 A=2,求 AC 的值.7.如图，在。中，点 C为 卷 的中点，乙4c B=1 2 0。.OCZ D=Z F.的延长线与A D交 于 点 D,且求证：A O 与。0 相切.(2)若 CE=4,求 弦A B的长.8.如图，C是 以A B为直径的。上一点，过。作。E J.4 C 于 点E,过 点 4 作。的切线交0E的延长线于点F,连 接C F并延长交B A的延长线于点P.求证：P C 是。的切线；(2)若 AF=1,0 A=2 V 2,求 PC 的长.9.已知，。的

4、半径为1,直 线C D经过圆心。，交。与 C,D 两点，直 径AB 1 C D,点M是 直 线C D上 异 于C,D,0的一个动点，直 线 A M 交。0 于 点N,点P是 直 线C D上另一点，且P M =PN.(1)如 图 1,点 M 在。的内部，求证：P N 是。的切线；如 图 2,点 M 在。的外部，且/.AMO=3 0 ,求O P的长.10.如图，A B 是。0 的直径,点 C 是。上一点，/.BAC的平分线4。交于点D,过点。作 D E 1 A C 交A C的延长线于点E.(1)求证：D E 是。的切线；(2)如果 Z.BAC=60,AE=4/3,求 AC 长.1 1 .已 知 4

5、 B 是。的直径，点P是直径A B上任意一点，过 点P作 弦 C D 14 B,垂足为点P,过B点的直线与线段A D的延长线交于点F,且 NF =N4BC.(1)如 图 1,求证：直 线 B F是 0。的切线；(2)如 图 2,当 点P与 点。重合时，过 点 A 作。的切线交线段B C的延长线于点E,在其它条件不变的情况下，判断四边形A E B F是什么特殊的四边形？证明你的结论.1 2 .如图，在 R t A B C 中，乙4c B=90。，B D是/.ABC的平分线，点。在 4B 上，点。在 AC上，。经 过B,D两点，交B C于 点E.(1)求证：4 c是。的切线；(2)若 48=6,s

6、 i n/B4C=|,求 BE 的长.1 3.如图，在 4 A B e 中，Z.ABC=90 ,AB=8,BC=6.以 BC 为直径的 0。交 AC 于 D,E是A B的中点，连 接E D并延长交B C的延长线于点F.(1)求证：O E 是。的切线;(2)求D B的长.1 4.如图，4 B 是。的直径，C 为。上一点，DCA=z B.求证：C D 是。的切线.(2)若DE 1 A B,垂足为E,D E交A C于 点 F,求证：4 D C F是等腰三角形.1 5.如图，在 R t A B C 中，乙4c B=90。，B E平 分/.ABC,D是 边A B上一点，以B D为直径的。经过点E,且 交

7、B C于 点F.求证：4 C 是 O 0 的切线；若 BF=6,O 0的半径为5,求C E的长.1 6 .已知，A B 为。的直径，0 C J.4 B,弦D C与O B相交于点F,在 直 线A B上有一点E,连 接E D,且 有ED=EF.(1)如图，求证：E D 为。0的切线；如图，直 线E D与切线A G相交于点G,且。尸=1,0 的半径为3,求A G的长.17.如图，点。为O。上一点，点C在直径B A的延长线上，且/.CDA=/.CBD.(1)判断直线C D和。的位置关系，并说明理由.(2)过 点B作的切线B E交 直 线C D于 点E,若4 c=2,Q 0的半径是3,求BE的长.18.

8、如图，己 知A B 为的直径，为。的切线，连 接C。，过B作B D/O C交。于D,连 接A D交0C于G,延 长AB,C D交于点E.(1)求证：C D是O 0的切线.(2)若 BE=4,DE=8,求 CD 的长.19.如图，等腰三角形A B C中，AC=BC=10,AB=1 2,以B C为直径作。交A B于 点D,交A C于 点G,DF 1 A C,垂足为F,交C B的延长线于点E.A(1)求证：直 线E F是。的切线;(2)求cosE的值.20.如图，A B是。的直径，4 F是。切线，C D是垂直于A B的弦，垂 足 为E,过 点C作D A的平行线与A F相交于点F,CD=4 5 BE=

9、2.求证：四边形F A D C是菱形;(2)F C是。的切线.答案1 .【答案】(1)连 接0 c.,CB CB,Z.B0C=2/.BACfv 乙ABD=2/-BACf Z-BOC=Z.ABD,BD/0C,CE 1 DB,CE 1 0Cf，C F是。的切线.(2)连 接AD.-A B为。的直径，BD 1AD.v CE 1 DB,:.AD/CF.Z.F=Z-BADf在 R t ABD 中,sinF=sinZ-BAD=AB 518T 3,AB 5.AB=6,.0C=3,在 R t COF 中,一3=3O F 5 OF=5,另解：过 点。作O G，D B于 点G.2.【答案】连 接0 D.v OB=

10、0D,Z-B=z.1.又 v 乙B=Z.C,Z-C z l.0D/AC.DE 1 AC 于 E,：.乙DEC=90=4 EDO.DE 1 OD.点。在 o。上，D E与。相切.连 接AD.4 8为0。的直径，乙ADB=90.4B=8,sinB=g,AD=AB-sinB=.5v z H-z 2 =z3+z2=90,z l=z3.乙B=z3.在 A E D中，乙4。=90。.sinB=sinz3=,AD 5“3 V5 8 Vs 8 AE=AD=x =-.55 5 5又 0D/AE,F AE FOD.FA _ AE.FO OD AB 8,OD=AO=4.FA 2 ,*-=.FA+4 53.【答案】(

11、1)证 法1：如图，连 接OC,0D.点。为 我 中 点,z l=Z.2=-Z.BOC.2v 0A=0C,，Z-A=z.3=-Z-BOC.2 z l=z3,.OD/AE.,:EF L AE,EF 1 OD.又 。是O。的半径，E F是。的切线.(2)在 Rt AEF 中，Z.AEF=90,EF=4,sinzF=|,AE=3,AF=5.0D/AE,ODFs AEFf.丝=竺.AE AF设 0。的半径为 r,则 OD=r,OF=A F-A O =5-r,.三，解 得r=?3 5 o.o o的半径为多【解析】(1)证 法2：如图，连 接BC,0D.,.Y B是。的直径，Z.ACB=90.又 EF L

12、AE,：.BC/EF.点。为 公 中点，OD 1 BC,OD 1 EF.又 。是O。的半径，E F是。的切线.4.【答案】连接BD,-A B是直径，乙4DB=90,乙BDC=90,AB=AC,乙ABC=Z.ACB,CP/AB,乙ABC=乙BCF,Z,ACB=乙BCF,由 CF=CD,BC=BC,MBCD沿 ABCF,Z.BDC=乙BFC=90,CP/AB,/,ABC=90,B F是。的切线.(2)设 CD=x,则 AD=5-xf根据勾股定理，BD2=AB2-AD2=BC2-CD2,即 52 (5 x)2=(2/5)%2,解得 x=2,CD 2,BD 4,由(1)知 ABCD义 ABCF,.BD

13、=BF=4.5.【答案】(1)连接。4 乙B=60,Z.AOC=2乙B=120,又 V OA=OC,/.Z.OAC=Z.OCA=30,又-AP=AC,乙P=Z.ACP=30,Z.OAP=AAOC-Z.P =90,OA 1 PA.又 .点4在。上，P A是。的切线.(2)过 点C作C E J.4 B于 点E,在 Rt BCE 中，48=60。，BC=2 a,：.B E=B C =y3,CE=3,AB=4+V3,AE=AB-BE=4.在 Rt ACE 中，AC=y/AE2+CE2=5.-.AP=AC=5.在 Rt PAO 中，。力=铝.-O o的半径为竽.6.【答案】(1)连 接O C,如图所示：

14、4 8是。0直径，C B =90,v OB=OC,乙B=乙BCO,又 乙ACD=LB,乙 OCD=LOCA+Z.ACD=/.OCA+乙 BCO=LACB=90,即 OC 1 CD,C D是O。的切线.(2)AD 1 CD,匕 ADC=/.ACB=90,又 v Z-ACD=乙B,A ACB ADC,AC2=AD AB=1 x 4 =AC=2.7.【答案】(1)如图，连 接。4CA=CB,CA=CB,又 v 乙4cB=120,Z,B=30,2。=2 L B=60,Z.D=Z.B=30,Z.OAD=180-(乙。+4 0)=90,A D与。相切.(2)4 0 =60,OA=OC,O A C是等边三角

15、形，Z-ACO=60,Z-ACB=120,Z-ACB=2乙ACO,AC=BC,OC 1 AB,AB=2BE,v CE=4,4 8 =30,.BC=2CE=8,BE=y/BC2-CE2=V82-42=4V3,AB=2BE=8V3,弦A B的长为8V3.8.【答案】(1)如图，连 接OC.,:OE 1 AC,AE CE,FA=FC,乙FAC=Z.FCA.OA=OC,Z.OAC=Z.OCAf AOAC+Z.FAC=乙OCA+M C A,gp 乙FAO=乙FCO.凡4与0 0相切，且4 8是。的直径，FA 1 AB,乙FCO=乙FAO=90,-.P C是。的切线.(2)P C是。的切线，L.PCO=9

16、 0 ,而 Z.FPA=Z.OPC,Z.PAF=90,P 4 F s p co.PA AF 一=一.PC coV CO=OA=2V2,A F=1,PC=2y/2PA.2 2 2设 PA=x,则 PC=2 V 2 x,在 Rt A PCO 中，由勾股定理得(2&x)+(2/2)=(x +2&),解得x=,PC=2V2 x 丝=竺.7 7 79.【答案】(1)连 接O N,如 图1,则乙ONA=LOAN,v PM=PN,乙 PNM=(PMN,乙4Mo=乙PMN,乙PNM=44M。，/.Z.PNO=Z-PNM+AO NA=Z-AMO+ONA=9 0 ,即 PN 与 O 0 相切.(2)连 接O N,

17、如 图2.v/-AMO=30,PM=PN,4PNM=Z-AMO=30,LOAN=60,A 乙NPO=60,OA=ON,.A O N是等边三角形，乙AON=60,Z,NOP=30,Z-PNO=90,.OP=4=*COS30 V3 31 0.【答案】(1)连 接O D,如图，V B A C的平分线A D交o o于 点O,乙 BAD=Z.DAC；v OA=OD,Z.OAD=Z-ODAf Z.ODA=Z.DAC；OD/AE；v DE 1 AE,.D E I。，OD 为半径；-.D E是O O的切线.(2)作。尸 J.4。于 F,v ABAC=60,.Z.DAE=300；在 Rt ADE 中，DE=AE

18、-tan30=4；四 边 形 ODEF为矩形，.OF=DE=4；在 Rt OAF 中，Z.OAF=60,AF=OF _ 4x3V=A AC=2AF83311.【答案】(1)如 图1中，Z.A=zC,Z.F=乙ABC,.Z,ABF=乙CPB.CD 1 AB,乙ABF=乙CPB=90.直 线B F是O。的切线.(2)四 边 形 A E B F 是平行四边形.证明：如I图2中，连 接 AC,BD.OA=OB,OC=OD.四 边 形 AC BD 是平行四边形.-.AD/BC.即 AF/BE,A E 切。于 点 A,AE LAB.同 理 BF LAB,AE/BF.四 边 形 A E B F 是平行四边形

19、.12.【答案】(1)连 接 D O,如图所示因 为 B D 是 乙4B C的平分线，所 以Zl=Z2,因 为 OB=0D,所 以42=43,所 以Zl=43,所以 DO/BC,因为 NC=90。，所以 44。=90。，即 AC 1 OD,所 以4 c是。的切线.(2)设。的半径为 R,在 R t ABC 中，乙4c B=90。，s i n/BAC=第=|,所以 BC=|x 6 =4.由(1)知，ODBC,所以/A O D A B C.所 以：=4 6解得：R=2.4,过。作O F1B C于F,如图所示:则 BE=2BF,OF/AC,所以 4BOF=/.BAC.所以 处=s i n/BOF =

20、2.OB 3所以 BF =|x 2.4=1.6.所以 BE=2 BF =3.2.13.【答案】(1)连接 BD,DO.B C 是O。的直径，Z 71 DB=90.Z.CDB=90 ,又 E为 A B 的中点，.DE=EB=EAf二 .乙EDB=乙EBD.v OD-OB,Z.ODB=乙OBD.4 ABC=90 ,A Z.EDB+Z.OBD=90.即 OD 1 DE.D E 是O。的切线.(2)在 R t ABC 中，AB=8,BC=6,AC=y/AB2+BC2=V 82+62=1 0,Sh A B C=A B B C=A C-B D,1 4.【答案】(1)连 接0C.-A B是0。的直径，Z.B

21、CA=90,OC=OB,乙B=乙BCO,v Z.DCA=乙B,Z.BCO=Z.DCAf 乙 BCO+Z.ACO=/.DCA+Z-ACO,Z.ACB=Z.DCO=9 0 ,即 OC 1 CD,v OC 过。，C D是。的切线.(2)-DE LAB,Z.FEA=90,+Z.EFA=90,同 理 乙4+8=90,:.乙B=乙EFA,v Z.DCA=Z.B,乙DFC=LEFA,:、乙DCF=乙DFC,:.DC=OF,即D C F是等腰三角形.1 5.【答案】(1)如 图1,连 接。.OE=OB,:.B E =乙OEB,B E平 分匕ABC,乙OBE=乙EBC,乙EBC=乙OEB,OE/BC,:.Z.O

22、EA=Z.C,v Z.ACB=90,Z.OEA=90,A C是。的切线.(2)如 图2,连 接OE,O F,过 点。作。H 1 B F交B F于H,由题意可知四边形OECH为矩形，OH=CE,BF=6,BH=3,在 R t BHO 中，OB=5,OH=V 52-32=4,CE=4.1 6 .【答案】(1)连 接 OD.因 为 ED=EF,所 以z l =z 2.因 为 CO LAB,所以 z 3 +z C=90 .又因为OD=OC,所以 Z C=Z.ODC,所以 Z 1 +/.ODC=90,所 以 E D为。0 的切线；(2)连 接 OD.因 为 A G 为 圆。的切线，所以 Z.GAE=90

23、 ,又 由(1)知，E D为0。的切线，所以 AG=G D,乙EDO=4G AE=90 .设 ED=X,在 R t EDO 中，(x +I)2=%2+32,解 得 x=4.在 R t EAG 中，(4+)G)2 =g +82,解 得 AG=6.1 7.【答案】(1)如图,连 接 OD,-A B 为。0的直径，Z.ADB=90 ,Z.ADO+Z.ODB=90 ,.OD=OB,(ODB=乙CBD,又 v Z.CDA=乙CBD,/.ADO 4-Z-CDA=90 ,即 Z.ODC=90 ,.OD 1 CD,：.C D与O O相切.(2)-B E是。的切线，D C =乙EBC=90,又 v Z,C=ZC,O DCs EBC,.OD _ CD,商一而-AC=2,Q O的半径为3,:,CB=AC+AB=2 4-3 x 2 =8,OD=3,OC=OA+4C=3+2=5,CD=.Z.FAC+Z.OAC=Z.FCA+z.OCAf即 乙OCF=Z.OAF=90,即 OC LF C,点 c在。上，.FC是。的切线.