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1、高等数学第六版上册课后习题答案第一章习 题1-15 .设映射y：x-y,/u x.证明：(1 尸当/是单射时，有尸优4)=/.证明 因为x&A=於)=#/(/)=/3)=丫/1 (/(/),所以 尸伏/)n/.(2)由 知 尸)n4另一方面，对于任意的x e/T优4)=存在片儿4),使 尸&)=x=?/(x)=y.因 为 且/是单射，所以xe 4这就证明了尸(/(m)u 4.因此广(/(/)=/.6.求下列函数的自然定义域：片j 3x+2 ;解 由3x+2 2 0得x 1.函数的定义域为 1,+8).片 占解 由1-？工0得杵 函数的定义域为(一小 一 1)口(_1,1)口(1,+8).(3)
2、y=1 _ J l-x 2；x解 由xM且l-x2 0得函数的定义域=-1,0)5。，1 .(4)y=J;解 由4力2 0得|x|2.函数的定义域为(-2,2).A/4-X2(5)y=sinJ 7;解 由x 2 0得函数的定义。=0,+0 0).(6)=tan(x+l);解 由x+1吟(%=0,土1,2,)得函数的定义域为X#版+1伏=0,1,2,).(7)尸arcsin(x-3);解 由|x-3|=2,4.(8)y=y/3-x+arctan；x解 由3-公0且中0得函数的定义域=(-,0)5。,3).(9)v=l n(x+l);解 由 x+l 0 得函数的定义域。=(-1,+8).1(1 0
3、)片e 解 由xM得函数的定义域0=(-oo,0)5。,+8).7.下列各题中，函数兀0 和 g(x)是否相同？为什么？(1 V W=I g x2,g(x)=2 1 g x;(2)/x)=x,g(x)=用;(3)/()=&43,g(x)=x Wx 1 .(4)/(x)=l,g(x)=sec2x-tan2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 0 时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.|sinx|8.设(x)=(0卜x=*)的图形.解 e()Nsin曾=，欢5)q s i n 5 =*,就?)=|sin(?)|=*
4、，火 一 2)=0.o 0 2 4 4 2 4 429 .试证下列函数在指定区间内的单调性：Y 片 厂 一 ,(-0 0,1);(2)产x+l nx,(0,+0 0).证明 对于任意的X 1,X 2(Y 0,1),有1-X 1 O,l-X 2 0.因为当X 1 X 2时,弘一为X|X2 _ *一工2 01 X 1 1 X(1 X )(l X j)所以函数夕=4在区间(-8,1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的X,x2e(0,+0 0),当Xix2时，有凶-y2-(X +I n X )-(x2+l nx2)=(西-x2)+l n 0,_ _ X2所以函数y=x+n x在区间(0,+oo)内
5、是单调增加的.1 0 .设义x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若人均在(0,/)内单调增加，证明负x)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于V X|,X2e(-/,0)且 Xi-X 2.因为.危)在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以负-X 2 K/(T|),42)-1),.於2)(h)，这就证明了对于WX 1,X 2(-/,0),有加|)g(x).如果左)和g(x)都是偶函数，则产(-X)=/(Tg(-X)=/(X g(X)=X),所以2 x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果火X)和 g(x)都是奇函数，则 F(-x)=-x)-g(-x)=)-g(x)(x)-g(x)=F(x),所
6、以尸口)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果./(X)是偶函数，而 g(x)是奇函数，则尸(一工)=*_ 办8(_ 工)拚)|-8(刈=的)4)=一如)，所以F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2 .下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l x2(l-x2);(2)j=3x2-?;(3)y=4；l+xz(4)=x(x-l)(x+l);(5)尸sinx-cosx+1;(6)y=a.解(1)因为/(-X)=(T)2 l _(T)2 =x 2(l _ f),(x),所以/(X)是偶函数.(2)由./(T)=3(-x)2 _(r)3=3x 2+x 3可见
7、兀0 既非奇函数又非偶函数.(3)因为/(x)=1 一?；=X=/(x),所以兀V)是偶函数.l+(-x)1+x(4)因为 X-x)=(-x)(-x-l)(-x+l)=-x(x+l)(x-l)=J(x),所 以)是奇函数.(5)由y(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1 =-sin x-cos x+i可见外)既非奇函数又非偶函数.(6)因为/()=仁竽空=*Q=/(x),所以=cos(x-2);解是周期函数，周期为1=2TV.(2)尸cos4x;解是周期函数，周期为/=5.(3)尸 1+sin玄；解 是周期函数，周期为1=2.(4)尸 TC OS X；解 不是周期函数.(5)尸siiA.
8、解 是周期函数，周期为1=兀1 4.求下列函数的反函数:尸 必 x+1 ;解 由 片 V x+1 得 x=-l,所 以 片 V x+1 的反函数为尸rL i.尸品；解 由 尸 品 得 户 崇,所 以 片 公 的 反 函 数 为 片 芸.(“3)、y=a-x-+-b-(,ad,-b,cMA);、cx+d解 由 歹=生 空 得 x=9 地，所以y=铛 的 反 函 数 为 y=也 她cx+d cy-a cx+a cx-a(4)y=2s i n 3x;解 由尸2s i n 3丫得=京 侬 1 吟，所以尸2s i n 3x 的反函数为片；a rc s i 吗.尸 l+l n(x+2);解 由y=l+l
9、n(x+2)得 x=e T-2,所以尸l+l n Q+2)的反函数为尸e*-2.解由歹=合7 得x=l g 2吉，所以歹=万|的反函数为歹=1。82直.1 5 .设函数寅x)在数第X上有定义，试证：函数X x)在 X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数兀0 在 X上有界，则存在正数M 使贝x)|4M 即 矶 x)4 M 这就证明了/(x)在 X 上 有 下 界 和 上 界M.再证充分性.设函数_ Ax)在X上有下界心和上界勺，即代矶0 W 4 2.取 正 m a x|K|,K|,则-小 乂 骈)4 局 ,即 炉)区 这 就 证 明 了/(x)在 X上有界.1
10、6 .在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值为和必的函数值：/1、2 兀 兀(l)y=w ,z/=s m x,X =,2=T；o J解 j s i n2x,yx=s i n2-1=()2=-1,y2=s i n2 j=()2=1.(2)片s i n u,u=2x,xi=-,x2=；o 4解 片 s i n 2x,l=s i n(2)=s i n -=-,y2:=s i n(2)=s i n y=l.(3)y=&,z/=l+x2,%|=1,X2=2;解 y=J1+x2,为二V l +12=A/2,y2=V l+22=A/5 .(4)y=e w=x2,x =0,
11、x2=1;解 y=e =1,%=*=c.(5)y=u2,x =1,必=-1 .解 尸e ,y=e2 1=e2,)=?.1 7.设.段)的定义域。=0,1 ,求下列各函数的定义域：(1)於2)；由0仝2勺 得卜区1,所以函数加2)的定义域为 _ 1,1(2)7(s i n x);解 山0 s i nx 得2 胫区(2+1)乃伽=0,1,2)，所以函数./(s i n x)的定义域为 2 兀(2+1)吊(n=0,1,2-).(3)外+0 3 0);解 由0幺+。1得-所 以 函 数 兀r+a)的定义域为 一 夕,1-a.(町外+小一缶。).解 由月.0女-得：当0。3时,。幺0-4；当。；时，无解
12、.因此当时函数的定义域为屹1-旬，当。/时函数无意义.118.设 f(x)=0-1阳|x|=l,g C x)=ev,求/g(x)和g /(x),并作出这两个函数的图形.曲11 冏 l -1x0eg/(x)=e/(x)=,ek-|小11止1，即现/(切=l1 9.己知水渠的横断血为等腰梯形，斜 角 行40。(图1-37).当过水断面/8 CO的面积为定值S o时，求 湿 周 必 印8+8 C+C 0与水深6之间的函数关系式，并指明其定义域.图 1-378 C=田一c o t 40 ,所以hL=COS%h s i n 40自变量h的取值范围应由不等式组h0,-cot 4 0 -/?0h确定，定义域
13、为0 cA J s()cot 4 0 .2 0.收敛音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过1 0 0 台以上的，每多订购1 台，售价就降低1 分，但最低价为每台7 5 元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1 0 0 0 台，厂方可获利润多少？解(1)当 0 0 4 1 0 0 时,p=9 0.令 O.O l(x o-l O O)=9 O-7 5,得劭=1 6 0 0.因此当 X 2 1 6 0 0 时,p=7 5.当 1 0 0 x 1 6 0 0 时，p=90-
14、(x-1 0 0)x 0.0 1=9 1-0.O l x.综合上述结果得到-9 0 0 x 1 0 0p-9 1-0.0 l x 1 0 0 x 1 6 0 0 3 0 x 0 x 1 0 0(2)尸=(p-6 0)x=3 1 x-0.0 1 x2 1 0 0 x 1 6 0 0(3)P=3 1 x 1 0 0 0-0.0 1 x 1 0 0 02=2 1 0 0 0(元).习 题 1-21 .观察一般项与如下的数列 X,的变化趋势，写出它们的极限：解当-8吐 x”=/f0,吧!=0.为=(-1)/；解当 0 0 时，x=(-i r-o,i i m(-i r i=o.n n n(3)X=2H-
15、y;解 当 8时，xn=2H-z-2,l i m(2 d -)=2.，八 t t-1(4)X=-M+1解 当 8 时，x =-4=1-0,l i m -7=1.+1 +1 -8+1解 当8时,X,尸威-1)”没有极限.C0S华2 .设数列%,的一般项xn=2 _.问l im X”=?求出N,使当nN时,x“与其极限之差 一 8的绝对值小于正数凡当=0.0 0 1时,求出数N.解 l i m x =0.W00=竺受叁”0,要使院_0|,只要 N,有 x”-0|00分 析 要 使|y一中 L即4.n/7 yj 证明因为Dq O,m N=,当 N时，有I 4。1 ，所 以l i m 4 二().n-
16、l i mf 83/7+1 32 n+l 2 分 析 要 使I誓|一4=三 占;；，只 须;N时，有|誓|一 家 ,所 以l i m誓X.4 e 2+1 2 -8 2+1 2|i mV Z=1;?00 YI分析要使 贮 N时，有|2+2 _平 ,所 以l i m近 土 贮=1.n8 n(4)l i m 0.9 9 9-9=l.C OX 、个分析 要使 0.9 9 9-1 1=7717T,只须 r r l+l g-.1 07-1 1。证明 因为V Q 0,m N=l +l g 1 ,当V N时，有 1 0.9 9 -9-1 1 8 fOC极限.证明 因为l i m =%所以VQONEN,当 N
17、时，有 -水 ,从 而 一 8 un-a u,-a .这就证明了 l i m|M|=|0 0/7-0 05.设数列x“有界，又 l i m%=0,证明：l i m xQ”=0.T 8 T O O证明因为数列 与 有界，所以存在M使WeZ,有同4 MX l i m y =O,所以V&O,m NeN,当 N 时，有从而当 N 时，有MxnyO=xnynMynoc6.对于数列x,若如-17。(8),X 2A。(左-8),证明:x”f a(8).证明 因为 x2k-x i k Ta(k-c o),所以T 0,明,当 2 b l 2 K T 时，旬 I-水 ；冰 2,当 2k 2抬时，旬X 2*-a|N
18、,就有|x“-水 .因此 x-a(w-o o).习题1-31.根据函数极限的定义证明：(l)l i m(3 x-l)=8;x-3分析因为|(3 x-l)-8|=|3 x-9|=3|x-3|,所以要使|(3 x-l)-8|0,3=9，当 0 卜-3 6时，有|(3X-1)-8|2分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5k-2,所以要使|(5x+2)-12|0,35=2,当 0|x-2|3时，有(5X+2)-12|2 lim -=-4；x+2 x+2分 析 因 为|。一(4)卜|弋卢卜+2小一(一2儿所以要使|左称一(-4)|,只须|X(2)|0,m 5=,当0,-(一2)|6时，有|所
19、以 lim -=4.x+2 x+2?吧亶=2.2分析 因 为|1苦 一 2卜|l-2 x-2|=2|x-(-J)|,所 以 要 使 若一2卜 ,只 须4人I J L 乙 乙 人I A证 明 因 为 女 式7旌 共，当0/一(一4)|3时，有|与 一2|o,m x=，当|x|X时，有I 竽一扑，所 以 典 第 丹分 析 因 为|鬻 一 o卜 臂 七.所 以 要 使|01-.l i m 芈=0.s i n xs/x证明因为V o,m x=7,当x X 时，有|卑 一 o|0,故可设卜-2|1,即 l x 3.要使 J=|x+2|b-2|5A2|0.0 0 1,只要|%-2|缙i=0.0 0 0 2
20、.取应0.0 0 0 2,则当 0 c l x-2|3 时，就有-4|o o 时，歹二 二1fl，问X等于多少，使 当 时,y l 0.0 1?力+3解 要 使 I方P4N+30.0 14-3=7 3 9 7,故.X=y W i.5.证明函数y(x)=k i 当x f o时极限为零.证明 因为 孤 )-0|=|恸-0|=团平-0|,所以要使心)-0|,只须恸.因为对TQO,38=6,使当0 4-0|朝 时有灰)-0|=网-0|07.证明：若 XT R 及x f-8 时，函数兀0 的极限都存在且都等于4则 l i m/(x)=4x 00证明因为 l i m f(x)=A,l i m f(x)=A
21、,所以VeO,x-0 0 X+0C少GO,使当x -X 吐 有麻)Y|0,使当 x 为 时，有取 X=m a xX,X ,则当冲次时，有师)-川008.根据极限的定义证明：函数./(X)当x fo时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设./(x)f/(xf xo),则VQ0,3 0,使当O k-xo|d 吐有火X)T|.因此当 X(J-aX X o 和 X o X X o+3 时都有/(x)-/|0,9 0,使当 0-6力5 吐 有|左)-/0,使当X o X X o+次时，有伏取上m i n%,贝 I I 当 O k-xo|d 吐 有 x()-5i 4
22、xo 及 x()4 xo+%,从而有伏X)-/1 X o).9.试给出X f 8 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解 X 7 8 时函数极限的局部有界性的定理：如果y(x)当X-8 时的极限存在，则存在Q O 及陆 0,使当k|X 时,证明 设段则对于 =1,士0,当|M X 时，有贸工)-川 =1.所以收)|=心)-1+4 区总)T|+H|o 及 心 o,使当|x|x时,其中麻1+14习 题 1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如，当X-0 时,o(x)=2 x,/3U)=3x 都是无穷小，但 l i m 梁=4,梁 不 是x-o p(x)3 p(x)
23、无穷小.2 .根据定义证明：(1).=一?当x-3时为无穷小；x+3(2)y=x si n上当xf0 时为无穷小.x证 明(1)当中3 时|.二|=|X 一 3|,因为辰之当0|x 3|5 时，有3=1:1;卜|1-3|3=,所以当xf3 时为无穷小.(2)当xM时|y|=|x|si nS x O|.因为 益0产 无 叫 当 0 卜 一 0|3时，有x|j|=|x|si n|x-0|i o4?证 明 分 析|歹|=|土 生 卜|2+1 上4 2,要使 y|M 只 须;一 2 ,BU|x|-y.X X XI IXI l r l T z证明因为T 心使当0,一 0 加 A1+2 1 x 1所以当x
24、-0 时，函数丁=上也是无穷大.X取 止 1()4,则6=了.当 0/一 0|品 7时，加 l o tX J I /L J I 乙4 .求下列极限并说明理由：l i m 2 以；(2)x-8 x XT。1-X解(1)因为 区 里=2+!，而当X TO 时工是无穷小，所以lim2.=2.X X X Xf 8 X 因 为 仁 上=1+(/1),而当x-0时x为无穷小，所以1-X X-O-X5.t艮据函数极限或无穷大定义，填写下表：7(x)f 4/(X).8+00段)-一8X V 0历0,使当O|x-x o|N 时，有恒 fx)-A 0,使当O|x-x o|MVM 0,m 氏0,使当0M3 0,使当
25、O|x-xo|M,有恒X f x()+VQO苏0,使当0 r-xo,有恒 fx)-A .历0,使当O x-x o M苏0,使当0 r-x0“.X/M0,三岳0,使当0 r-xo x()VQO T历0,使当O x o-x 例 寸，有恒 fx)-A .V 陆 07苏0,使当O x o-x MV 心 0,m 苏0,使当0 x()rMVM 0,3方0,使当O x o-x o,3A0,使当|x|X时，有恒 fix)-A o,m x o,使当IM x 时，有恒mi MVQ0,3X0,使当冲江时,有恒W 0,止 0,使当|x|X 3寸，有恒X H-00Vs0,3A-0,使当x X时，有恒 fx)-A o,3
26、A0,使当x X 时，有恒mi MVQO,王6 0,使当x X时，有恒AX)M.Wf 0,m X0,使当x X时，有恒治)-0 0V f 0,W 0,使当x -X时，有恒 fx)-A 0,3A0,使当x -X时，有恒VQO T Q O,使当x M.Vf 0,止 0,使当x -X时，有恒Xx)-M6.函数尸XC OS X在(f O,+8)内是否有界？这个函数是否为当X f+00时的无穷大？为什么？解 函 数 y=x c o s x在(-M 例如y(2k )=2k 7r co s 2k =2k 7r(k=0,1,2,),当k充分大时，就 旬 m2 版)|以当X f+0 0 时，函数产;XC OS
27、X不是无穷大.这是因为V%0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有欣x)|M 例如y(2k 7r+y)(2/r-+y)c o s(2 Z r+y)=0(Z r=O,1,2,)对任何大的N,当发充分大时，总有x=2 b r+尹N,但y(x)=O0,在(0,1中总可以找到点融,x x使例如当/=-(6 0,1,2,)时，有y )=2左乃+卷，当k充分大时,2%乃+22y(Xk)M.当x f O,时，函数y=Lsi n!不是无穷大.这是因为VM 0,对所有的扇0,总可以找到这x x样的点xh使0 xt 但M x Q M例如可取4=一 依=0,1,2,),Z.K71当k充分大时,Xk 5,但
28、歹(4)=2攵 然i n2 A7 zH)2 x 3 2 3/r、1 0%2-3 l i m 5-;X V 3 X2+11 粤号=需$=.解物力1M r物备=3=.解哈萨(X+力)2-工2(5)l i m-7-6-0 hHm (x+4*=如一+2与+4-x?=+.0 T o h hi。h ATO(6)l i m (2 -4-);x 7 8 x xl i m(2+4)=2 -l i m -+l i m 二二2.x-8 X xz x-8 x x-o o xzv2 _ i解 l i m -=l i mx tb 2%2 X 1 Xf 81-X一 一 11 2,X X.12*苦1解解 智 奇;胆点匕;解解
29、照号解li m J2：o(分子次数低于分母次数,极限为零).is x-3 xz-l或li mx CC1,1-2 3X X2 1=0.x2 x4叫吧te l解H m x2,6 x+8 =H m(x-2)(x-4)=1 4 1 2 5 1+4 X f4(工 一 )(工-4)X f4 X 1 4 1 3(10)li m (1+)(2-y);XT8 x X解 li m(l+-)(2 V)=li m(l+-)-li m(2 V)=lx2=2.x-oo x XZ x-8 x x-oo xZ八 c、r 1+2+3+(-1)(12)hm-3-;woo 优(w-l)w1+2 +3 4-+(一).2 1 r K
30、l 1解 hm-$-=h m 号 一=li m -=-.一 8 -8 2 HT8 Y I 2(13)li m(附+1)(+?(+3)；解 l i m(n+l)(n+2)(+3)=1 (分子与分母的次数相7700 5 w-oo 5川 5同，极限为最高次项系数之比).或t h.m-(+1)(+2)(+3)1 r Z 1 I、”2 xz i 3、1T2 1-=-h m(l+)(14-)(1+-)=-.T00 5 8 n n n 5(14)1典 L-占);解x 5 -X 1 一炉咻ir1-3x3)=XlTi1m (1-1X+)(1+/X-+3X 2)=f(1-mX)(1l+rX)+(Xx2+)2),X
31、=T_I 1l+加x+%2=-1.2物洛；解 因 为 甄 黑!=*仇 所 以!喘等=8.2 2(2)1!11声;解 li m 三 二=8 (因为分子次数高于分母次数).x-co 2 x+l x-co 2 x+l(3)li m(2 x3-x+l).解li m(2 x3 x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).X 8 X f 83.(1)li m x2s i n;解11111%2 51111=0(当工-0 时,工 2 是无穷小，而s i n 1是有界变量).Z o x o x xx f 8 X而 arctan x 是有界变量).解limXf 00arctanx=iiml.a r c t anx
32、=0(当 xroo时，-是无穷小,Xis%X当o=0时，习题1-6(1)1-llllim-；(2)Il i m id ii;M)Jt,4r-H)JK T3)sin 2JTlim.-(4)lim jrcot x?D S in 5H(5).1 cos 2xum-.；D xsin JC(6)lim2-sin 系 工为不等于零的常数).解(1)当 廿。时,lim 迎0=lim%.迎0)im迎3=皿1 C tK T /ant*T .JT故 不 论 3为 何 值,均 有lim辿 3 =3.M)JT(2)lir nlan 3x=l i r n/3 jr-Q JC =3 lim a：3 H=3j-o ox(，
33、3八).l imsi-n：-2x =t.h m/(s in-2-x-：ox w2 I =-z2-lvi.m-sinz-2-H-,ii m-ox?-一-z2-L osin ox r-o 2J-sin 5x 5/5 r*o 21 4-*osin 5JT 5(4)limrcot jr=lim(cos J-)=lim-limcos JT=1.j-h-o sin JC/j-*osin JC J-(5)limx-*o】一cos 2rrsin JT=小 全 山：=2lim=LOJrsm JT LO X2.(6)lim2sin=lim“C t ar*Xs in方x2.计算下列极限，(1)lim(l-x)-(2
34、)lim(l+2 x)-jr-0J-*O(3)lim(1土彳);(4)lim(1 一(4 为正整数).解(1)lim d x)-=lim l+(-x)J =e-1.j-H)(2)lim(1 +2 x)-=limC(1 2=e r*0(3)lim(1:)=m (l+)=e2.e蚂(】T)匚 幽 D+f ey,3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I.准则 1 如果(D g(x)/(x)0,因 lim g(z)=A,故 曲|0,当 O V l 工一工|时.有|g(z)A|V e,即A eg(x)0,三不 0,当 0 V|z 刈|曷 时，有r.|A(X)-A|,B PA eVA(z)CA+e.(
35、4)取 一 一 min(力,不，“，则当0 V|z H0|V 6时，假设(1)及关系式(3)、(4)同时成立，从而有A Vg(H)&/(H)4/i(z)V A+e,即有I/(x)-A|e.因此lim/(外存在，且等于A.注 对 于 工 *8 的情形，利用极限lim f(z)=A 的定义及假设条件,可以类r*oo似地证明相应的准则I4.利用极限存在准则证明：(2)”(本+;+;4 )=1;(3)数 列 小，2+a/2“2+的极限存在；(4)lim，l+工=1；(5)呵”层=1.证(D 因 l v J T i H v i+工，而=由夹逼准贝 U,V TI n R L 8 n/即得证.2)因叁”(告
36、+z f e+;)备，而细号=1,如吉；=1,由夹逼准贝I,即得证,(3)工1=伍先证数列 z”有 界：n=l 时，1I=2V2；假定”=A 时,M*V 2.当 n=k+l 时,N*+I=V T 7 0即 TEN(，WN+).由单调有界准则，即知limz“存在.记lim _r.=a由工1=/；,得 芸M=.or t f *o u2+上式两端同时取极限：=”*R ir*得 a2=2+a=a2a2=0=a=29a2=1(舍去).即 li.m xw=2.w *o o注 本 题 的 求 解 过 程 分 成 两 步，第一步是证明数列 二 单调有界，从而保证数列的极限存在;第二步是在递推公式两端同时取极限
37、,得出一个含有极限值。的方程，再通过解方程求得极限值公注意:只有在证明数列极限存在的前提下，才能采用第二步的方法求得极限值.否则,直接利用第二步，有时会导出错误的结果.(4)当工 0 时，1V7FGV1+Z;当一IVzVO 时，l+z v/mv i.flffliml=l,lim(l+x)=l,由夹逼准则，即得证.(5)当 x0 时,1一工0十&1.而 lim(1x)=1,lim 1 =1.由夹逼准则，即得证.习 题 1-71.当X fO 时,2X 7?与相比，哪一个是高阶无穷小？因 为 克 I2解=0,所以当X f 0 时,x2-?是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2.当x-l时，
38、无穷小l-x 和(1)1-X3,(2)/(1X2)是否同阶？是否等价?解(1)因为lim -=lim(1Y)1+x+v)=lim(l+x+x2)=3,x-1 1 x x-l 1 x x-l所以当X f 1时，IT和l-d是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.因为lim iXfl l-xi4 1 1 m(1+x)=b2 x-i所以当X f l时，1-x和;(1-7)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当x-0时，有：(1)arctan X T;丫2(2)secx-l-.证明 因为lim胆 胆=1加 上-=1(提示：令尸arctanx,则当x-0时x-o x yfotany所以当x 0吐arc
39、tanrx.2sin2 2si 吟T 2因为心 中-1=2而1；8 5丫=加1 0 1 Y2 X-0 X2COSX ZO2Y2所以当x 0时，secx-1为-.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:lim 3；xro 2x!吧 端h,机为正整数);(3)limt a n x；si n xxfo sin3x(4)limsinx-tanx(Vl+x2-l)(Jl+sinx-1)解 !吧 喑H吧等9鬻崇喇A1000n=mnm.n=lim-一=.xf sinJx x o sin3x-ocosxsin2x-o%2 cosx 2(4)因为sin x-tan x=tan x(cosx-1)=-2 tan x
40、sin2-2x -=-x3(x-0),M+.2-=%/(x-0),/(1+X2)2+V1+X2+1 3Jl+sinx-1 =/-sinx x(x-0),Vl+sinx+11 r3.-X所以 hm sinx-詈nx _ _I；2 _=_5 劭+/l)(Ji+sinx 1)X0LX2.X5.证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1)a a(自反性)；(2)若a1则 夕a(对称性)；若a以后万则加乂传递性).证 明(l)lim2=1,所 以a a;a(2)若a以 则lim,=l,从而lim 2=l.因此分a;p a(3)若 a0,p y,lim-lim-lim-1.因此 c t y.Y Y P习 题1
41、-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：/1 I x0 x1cx1综上所述，函数y(x)在 0,2 上是连续函数.、zv、f x -1 X -rl im f(x)=l im x=-=/(-I),1-1+x f l+所以函数在x=-1处间断，但右连续.在 x=l 处，因为1)=1,并且l im /(x)=l im l im /(x)=l im 1=1=/(1),X fl+X fl+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-0 0,-1)和(-1,+0 0)内连续，在=-1处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定
42、义使它连续：1(1)=-z -,x=l,X=2;-3 x 4-2解 片 .因为函数在X=2 和x=l 处无定义，所以m2和 x=l 是函x2-3x+2(x-2)(x-l)数的间断点.因为二二=o o,所以产2是函数的第二类间断点；1 2，x2-3x+2因为l i m y=l i m*R=-2,所以x=l 是函数的第一类间断点，并且是可去间断点.在x f l x 1 (x 2)x=处，令尸-2,则函数在x=l 处成为连续的.(2)y=-,x=k,x=k兀+1(仁0,1,2,)；ta n x 2解函数在点户版(E Z H x=左 7+长伏e Z)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因 l im
43、=8(后0),故 4 后成后0)是第二类间断点；x Tk?r ta n x因为hm=1,h m =O(A wZ),所以x=0 和工=左乃+=(%2)是第一类间断v-o ta n x x-k；r+-ta n x 2.2点且是可去间断点.令y)=i,则函数在4。处成为连续的；令工=左乃+时，尸0,则函数在工=上乃+长处成为连续的.91(3)y=c o s2-,x=0;x解因为函数歹=3 5 2 工在k0处无定义，所以X=0 是函数J =C O S 2 工的间断点.又因为X Xl im c o s?!不存在，所以x=0 是函数的第二类间断点.x-0 X 片二XX 1+X-l +可去间断点.1 _ v
44、2w3 .讨论函数/(x)=l i m V x 的连续性，若有间断点，判别其类型.8 1+X 解/(x)=l i1m _ Y2n3?x=0M-C O 1+x|X|1亩=1k l-l-x-l+x-l+为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x=l 处，因为 l im /(x)=l im x=l,l im /(x)=l im(-x)=-l,所以 x=l 为函数%-r%-r x-i+x-i+的第一类不可去间断点.4.证明：若函数 x)在点出连续且火刈)工 0,则存在劭的某一邻域伙XO),当x e U(x()时，)M.证明不妨设小。)0.因为兀v)在 X。连续，所 以 l im /(x)=/(x0)0,
45、由极限的局部保号性定理，存在X o 的某一去心邻域U(x(),使当X U(x 0)时/(x)0,从而当x w t/(x o)时,/(x)0.这就是说，则存在X。的某一邻域U(x o),当x e U(Xo)吐5.试分别举出具有以下性质的函数.危)的例子：(l)x=O,1,2,士4，,士 ，土工，一是火x)的所有间断点，且它们都是无穷间断点;2n解 函 数/6)=$：(有)+5：生在点=0,1,2,土!，,士，L 处是间断的x2 n且这些点是函数的无穷间断点.(2)/(x)在R上处处不连续，但1/(X)|在R上处处连续；解 函 数/(x)=j；在R上处处不连续，但/(x)|=l在R上处处连续.(3
46、)/(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解 函 数/(x)=_：在R上处处有定义，它只在x=0处连续.习 题1-91,求函数/。)=上 等 二 受 的连续区间，并求极限l i m/(x),l i m /(x)及Xz+X-6 x-(rl i m/(x).解W 二 手 二3 一 呷)打)察),函数在(_ 0 0,共0)内除点m2和x=-3外是连xz+x-6(x+3)(x-2)续的，所以函数/(x)的连续区间为(v,-3)、(-3,2)、(2,物).在函数的连续点x=0处，l i m/(%)=/(0)=5.在函数的间断点x=2和m-3处，x 7 0 2l i m.f(x)=l i m(+3咚亍1
47、吗+D=,l im/(x)=l i m 3二帖 久 乡.x-2 x 2(X+3)(X 2)x f-3 x-3 X 2 52.设函数y(x)与g a)在点x o连续，证明函数4 x)=m a x *x),g(x),M x)=m i n 伏x),g(x)在点x o也连续.证明已知 l i m/(x)=/(x(),l i m g(x)=g(x().x x0 x-x0可以验证e(x)=；/(x)+g(x)+|/(x)g(x)|,(x)=T(x)+g(x)T/(x)g(x)|.因此夕(Xo)=g /(x()+g(Xo)+|/(x()g(Xo)|,(x0)=1 ./(x0)+g(x0)-|/(x0)-g(
48、x0)|.因为 l i m (x)=l i m 1 /(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|x-x0 X X0 Z=|l i m /(%)+l i m g(x)+|l i m /(x)-l i m g(x)|Z x-xQ x-x0 x x0=；/(Xo)+g(Xo)+l/(x()-g(Xo)l =灰Xo),所以灰X)在点Xo也连续.同理可证明A x)在点Xo也连续.3.求下列极限：(1)l i m/x2-2 x 4-5 ;x-0(2)l i m (s i n 2 x)3；r(3)l i m l n(2 c os 2 x);X餐(4)iim.l-Lx fO Xx X-1(6)l i m Sin
49、x-sin。；x-ax-a(7)l i m (v x2+x-V x2-x).X-+8解因为函数/(x)=J x 2-2 x+5 是 初 等 函 数 在 点 x=0 有定义,所以l i m j 2 x+5=/(0)=A/02-2-0+5 =V 5 .x-0(2)因为函数於)=(s i n 2 x)3 是初等函数,7(x)在点x =孑有定义，所以l i m(s i n 2 x)3=/()=(s i n 2-)3=l.(3)因为函数人x)=l n(2 c os 2 x)是初等函数J(x)在点x =有定义，所以6lim ln(2cos2x)=/()=ln(2cos2-)=0.”于 6 6/八1.Jx+
50、1 1(Jx+1 l)(Jx+l+1)(4)hm -=hm -7=-x-o x i o x(Vx+l+l)=lim 1 =1 xroVTT+i Vo+T+i 2x=lim 7=x(V x+l+l)i-i卢摩无郎器产.4x-4.4 4 c-li m/=r 11 m-i=产 2.I l(x-l)(V5x-4+Vx)-，5x 4+4 j5 l-4+V I(6)limx-asinx sin。x-a=limX42 cos sin 2 2x-a-x-asin=limcosxja-lim-=c o s l=cosa.x a 2 x 6/XCl 24.求下列极限:hmex;Xf 8 lim In血;x-0 X