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1、高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11.设/=(8,-5)u(5,+8),5=-10,3),写出 A uB,A o B,A B 及4(NW)的表达式.解 Nu 8=(-oo,3)u(5,+oo),公8=-10,-5),N3=(8,-10)u(5,+oo),小(/S)=10,5).2.设/、8是任意两个集合，证明对偶律:(/C8)C=KU3C.证明因为xe(c 8)c=xw/c 8=x A 或 x e B o xeJc xe5c B)c=AcuBc.3.设映射/:Xfy,/u X,8 d.证明/(人8)L 的；(2Y(ACB)$A)M B 证明因为使./(x)可0(因为 xe4 或 x
2、e8)ye/(/)或 y 4 5)所以 4 4uB)或 4)5(B).(2)因为使4 x)=yo(因为 xeN 且 xeB)ye_X Z)月./G )，所以 火ACB)U(A)MB).4 .设映射/:4工若存在一个映射g:Y f X,使g /=G，f0g=I y，其中A、/y分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个x e X,有/xx=x;对于每一个y e V,有lYy=y.证明:/是双射，且g是/的逆映射:g=/L证明因为对于任意的y e Y,有x=g(y)eX,且/(x)=/g(y)=%y=y,即V中任意元素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满射又因为对于任意的xy物 必 有/8)可但)，
3、否则若/S)=/(X 2)n g S)=g /(X 2)=%1=%2因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：y f x,因为对每个及匕有g(y)=X X,且满足X x)R g S)=4尸乂按逆映射的定义,g是7的逆映射.5.设 映 射/uM.证明：(1 厂(/Q 4;(2)当/是单射时，有尸)=4 .证明 因 为=/)可 曰 =/七)=女 尸(/)，所以 尸(/(4)=4(2)由知尸 4)户4另一方面，对于任意的xw/(/(Z)=存在ye44),使尸(y)=x=Mx)=y.因为丁守且/是单射，所以XG4这就证明了尸(/(4)U4.因此尸(/(/)=4.6.求下列函数的自然定义域：(l
4、)y=j3x+2;解t t 13x+2 0 Wx-|.函数的定义域为-,+8).(2)片占；1-x2解 由1-fM得存1.函数的定义域为(-8,-1)5 -1,1)5 1,+8).(3)片L-J1-X?；X解 由x M 1.l-x2 0得函数的定义域D=-l,0)u(0,1.(4)片 卷 解 由4-0得|X|0得 函 数 的 定 义 域1,+8).1(10)y=e*.解 由x M得函数的定义域0=(-叫0)5。,+8).7.下列各题中，函数/(X)和%)是否相同？为什么？(l)/(x)=lg x2,g(x)=21g x;(2)4 x)=x,g(x)=&;(3)f(x)=Vx4-x3,g(x)=
5、xVx-l.(4)/(x)=1,g(x)=s ec2x-t an2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设0(x)=I s imXo4-3万-3-RX-2),并作出函数产*)的图形.解。弓用s i吟|=J,9 G)0 s i吟|=,(一 给=|s i n(-9|=,以 一2)=0.6 6 24 4 2 4 4 29.试证下列函数在指定区间内的单调性：(l)y=y-,(-8,1);1-x(2)y=x+ln x,(0,+oo).证 明(1)对于任意的孙必(-8,1),W 1
6、-%1 0,l-X 2 0.因为当X i X 2时,v弘 _v 乃_12-x _-(l-_x_O a巧-x,)o5所以函数歹=已在区间(-8,1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的X 1,X 2W(O,+8),当X 1 X 2时，有y-y2=(%i +I n$)一(工2+I n 勺)=(为 -工2)+I n%0,巧所以函数尸+ln x在区间。+8)内是单调增加的.i o.设y(x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若人打在(0,/)内单调增加，证明人幻在(-/,o)内也单调增加.证明 对于Wxi,X 2 e(-l,0)且 X 1 X 2,有-X i,-X 2W(0,/)且-X 1 一X 2.
7、因为/(x)在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以2)-修),),),这就证明了对于V xi,X2G(-Z,0),有/(X1)g(x).如果7(x)和g(x)都是偶函数，则尸(T)=/(x).g(x)=/(x).g(x)=E(x),所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果/(X)和g(x)都是奇函数，则尸(_ x)=/(_ xg(_ x)=/x)_ g(x)=A x)-g(x)=A(x),所以F(x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果人X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(-x)y-x).g(-x)=/(x)-g(x)=d xg(x)=-E(x),所以F(x)为奇函数，即偶
8、函数与奇函数的积是奇函数.1 2 .下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(1)12(12)；(2)y=3x2-x3;(3)产正；1+力(4)尸(x-l)(x+l);(5)y=sinx-c osx+l;万c i.解 因为/(X)=(-X)2l-(4=/(1-/)=/)，所以/(X)是偶函数.(2)由/-X)=3(-X)2-(-X)3=3X2+X3可见火x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为/(T)=+3=g=/(x),所以段)是偶函数.l+(-x)1+x(4)因为/-x)=(x)(x l)(x+l)=x(x+l)(x l)=d x)，所以於)是奇函数.由/(-x)=si
9、n(-x)-c os(-x)+l=-sinx-c os x+1可见/(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为/(T)=W=gj(x),所以,段)是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=c os(x-2);解是周期函数，周期为/=2笈(2)j=c os 4x;解是周期函数，周期为/=.(3)y=l+sin TIX解是周期函数，周期为1=2.(4)y=xc os x;解不是周期函数.(5)=sin2x.解 是周期函数，周期为/=不14.求下列函数的反函数：(1)丁=向 错 误！未指定书签。错误！未指定书签。；解 由.=也+1得%=户4,所以y=V7TT的反函数
10、为尸xL i.(2 4=手 错 误！未指定书签。；解 由 片 户 得X=?,所 以 户 户 的 反 函 数 为 片 户.1+x 1+y 1+x 1+x 片 4(心6分0)；c x+d解 由 片 处4得4出 业，所以片色鸟的反函数为片区也.c x+a c y-a c x+a c x-a(4)产2 s i n 3 x;解 由尸2 s i n 3 x得x=g a r c s i吟，所以产2 s i n 3 x的反函数为y=g a r c s i吟.尸l+l n(x+2);解 由尸l+l n(x+2)得2,所以尸l+l n(x+2)的反函数为产产1-2.尸 篇 解 由 歹=三 得X=1 0 g，4,所
11、以丁=三的反函数为y =l g 2 丁匚.2V+1 1-y 2X+1 1-x1 5 .设函数/(x)在数集X上有定义，试证：函数./(X)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数寅x)在X上有界，则存在正数M使/U)区M即这就证明了/(x)在X上有下界-A/和上界M再证充分性.设函数外)在X上有下界Ki和上界K2,即Ki软x)W K2.取止m a x|K|,|&|,则-M K J x)K2 M,即 fx M.这就证明了/(x)在X上有界.1 6 .在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值制和X2的函数值：2 .兀 兀(1)y=
12、u,w=s i n x,X=,%2=至；解 尸i d,y1=s i n2-=(1)2,y2=s i n2y=()2=1.(2)尸s i n ，=2 x,X=J,X2=9；o 4解 尸s i n 2 x,y=s i n(2 )=s i n =,y2=s i n(2 )=s i n -=l.o 4 2 4 2(3)y=u,=1+V xi=l,X 2=2;解 y=y/i+x2,yi=dl+12=6,y2=yll+22=y/5.(4)y=e1 1,u x x=0,X2=l;解 y=ex：,弘=?02=1,j/2=el2 =e-2(5)y=u,u=e,X|=l,X2=-l.解 y=e2 yi=e21=e
13、2,y2=e2(l)=e2.17.设作)的定义域。=0,1,求下列各函数的定义域：(1)府);解 由O q&i得恸所以函数九淄的定义域为-I,Xsinx);解 由0sinx0);解 由0金;+。4 1得4,所以函数y(X+。)的定乂域为 4 1一。.(4)/(1+4)+/一a)30).解 由0女+夕1且0 x-a时，无解 因此当 时 函 数 的 定 义 域 为&1-0,当 时 函 数 无 意 义.1|x|1作出这两个函数的图形.1 1 f 1 x1 -1 x0gf(x)=ef(x)=e|x|lx=l,即g/(x)=l1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角方40。(图1-37).当过水断面AB
14、CD的 面 积 为 定 值S o时，求湿周L(L=Z8+8C+CD)与水深力之间的函数关系式，并指明其定义域.b图 1-3 7解 A B=D C=,又 从 /?SC+(5 C+2 c o t 4 0/?)=50 得s i n 4 0 28C=学-c o t 4 0。%,所以hzV2-coS4 0 h s i n 4 0自变量的取值范围应由不等式组 0,辛-c o t 4 0.0确定，定义域为0%3 c o t 4 0.2 0.收敛音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过1 00台以上的，每多订购1 台，售价就降低1 分，但最低价为每台75 元.(
15、1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1 000台，厂方可获利润多少？解(1)当 0L 1 00 时,p=9 0.令 0.01(超 一 1 00)=9 0-75,得刈=1 6 00.因此当众1 6 00 时,p=75.当 1 00 x 1 6 00 时，p=9 0-(x-1 00)x 0.01=9 1-0.O lx.综合上述结果得到9 0 0 x 1 00p-9 1-0.O lx 1 00 x 1 6 003 O x 0 x 1 00(2)尸=(p-6 0)x=3 lx-0.0lx2 1 00 x 1 6 00(3)尸=
16、3 1 x 1 000-0.01 x 1 0002=2 1 000(元).习题1-21 .观察一般项x”如 下 的 数 列 的变化趋势，写出它们的极限：为=/；解 当 8时，X=0,li m =0.n 2n 8 2n(2)%=(i)J；n解 当7 8 时,%=(-l)i-0,li m(-l)n-=0.n 一 8 n(3)X=2+4；解 当”-8 时，x,=2+f 2,li m(2+3)=2.片 一 8“修解 当.8 时，x =-1=1 0,li m .+1 +1 T8 +1(5)B?(1).解 当-8 时,为=(_1)没有极限.c o s-2 .设数歹!j x 的 般项x=-.问li m x=
17、?求出N,使当 时，为与其7 7 w o o极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时，求出数M解 li m x =0./?00|c o s 4-|1 1 so,要 使 际 ，只 要 卜，也就是?取川=山，则V N,旬x“-0|00分析 要使-0|=4 4.n n yjc证明 因为 V0N=J=,当N 时，旬-V-0|,所以 lim-V=0.yjs n 一 lim然今-8 2+1 2分 析 要 使I洌 一 片=不;，只须 ；2/7+1 2 2(2+1)4/7 4 4E证 明 因 为VQO T N Y；,当N时，有|誓|一 京 ,所 以 所 普|=462+1 2 -8 2+1 2(3)lim 近
18、三 1;一 8 7 7分 析 要 使p 5 Z _ i|=V -=/尤 2.(J 2+/+)n 证 明 因 为V Q 0 7 N=,当V N时，有I耳Lg,所以Z 7 f 8 (4)limO.999 9=1./700-个分 析 要使0.99-9-1|=h ,只须77 才l+lgL证明 因为WON=l+lg 当V N时，有|0.99 9 1|00&未必有极限.证明 因为lim%=a,所以VQ 0,mVeN,当N时,有|”-水 ,从 而co|t/|-|o|w-a|oo数列%|有极限，但数列未必有极限.例如但不8 H 00存在.5.设数列 与 有界，又 li m y=0,证明：li m x/”=0.
19、00 oo证明因为数列*”有界，所以存在M 使V eZ,有战区 M又 l i m%=0,所以VGO NGN,当 N时，有|为|.从而当 N时，有8Mxyn-OxnynMyn006.对于数列 x“,若秘-1-。(攵-),X 2*fz(左 f o o),证明:。(-8).证明 因为 X 24-1-a(b 8),X2k Ta(k-00),所以 V o,3 K i,当 2b l 2K i-l 时，有|的-1-水 ；3K2,当 2 4 2 K 2 时，有 a&N,就有-a|3分析因为|(3x-l)-8|=|3x-9|=3l x-3|,所以要使|(3x-l)-8|,只须|x-3|0 3=$,当 0|x 3
20、|3时，有|(3x-l)-8|f,所以 l i m(3x-1)=8.x f 3(2)l i m(5x+2)=12;x f 2分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5pc-2|,所以要使|(5x+2)-1 2|,只须|X-2|9.证明 因为V 0,m 3=$,当0|x-2|3时，有|(5X+2)-12|-2 x+2=-4;分析因为|暮 _(_ 4)卜|勺 卢 卜 2小一(一2)|,所以要使|今称(-4)|,只须|X(2)|.证明 因为V 0 T 5=,当0 A(-2)|-2 x+2(4)lim 与 苦=2.X f_l 2x4-12分析因为|L -2|i-2 x-2|=2|x-(-i)|
21、,所以要使|喘，2|,只须|x一(一去|上.证明因为V 0,m b=3,当0令一(一乡|5时，有1-4 x 3-2|_1 2x4-12=2.2.根据函数极限的定义证明:(1)X-8 2x 2分析因为I 1 +X3 1|_|1+工3一 工3 I JI 2x3 2 I 2x3 2|x|3所以要使|蒙4|o,m x=,当恸次时，有1+x3 12x3 2001+x3 12(2)lim 平=0.1+0工=1,当xX时，有|牛-0卜,1 y/x 1所 以lim理2=0.1+=X3.当x-2时，尸4.问3等于多少，使当|x 2|3时,炉4|0,故可设|x-2|l,BP lx3.要使|X2-4|=|X+2|X
22、-2|5|X-2|0.001,只要以-2|幽LO.0002.取员0.0002,则当 0小一2|3时，就有I?48时，尸 与 二 旬，问X等于多少，使当|x|X时,61|0.01?x+3解要使|烹|一1卜号只要冲/1 =屈 7故工=回工5.证明函数兀v)=(x|当x-O 时极限为零.证明因为j/(x)-O|=|x|-O|=W=|x-O|,所以要使距)-0|,只须因o,m&,使当o|x-o|a时有心)-0|=|叶 0|06.求/(月=工 0(x)=区 当 x-0时的左、右极限，并说明它们在x-0时的极X X限是否存在.证明因为lim/(x)=lim 壬=lim 1=1,X T。-X 0-X X T
23、。-lim f(x)=lim=lim 1=1,x f o+x f o+x X T O+Hm/(x)=xlim/(x),所以极限lim/(x)存在.x-0因为lim e(x)=lim=lim =-l,x-0-x-0-X x-0 Xlim(p(x)=lim=lim-=1,x f o+o+x x-0+xlim(x)w lim(p(x),x-0-x f 0+所以极限lim(x)不存在.x-07.证明：若 Xf+oo及 x f-8 时，函数作)的极限都存在且都等于A,则lim f(x)=A.X f 8证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以VE0,X f-0 0 X T+83X|0,
24、使当x-X 时，有如)-*0,使当X为 时，有次X)-Z|X时，有次x)-Z|008 .根据极限的定义证明：函数/(x)当 x fx o 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证 明 先 证明必要性.设 危)f/(x fx(),则VO 0,三 济0,使 当0|x-x o|b时,有fix)-As.因此当X o 庆X X o和X o X X o+S时 者B有阿一如0,使当沏-在4 血时，有|/(x)-Z 0,使当X o X X o+时，有|加)-4|.取 应m i n 5j,6 ,则当 0|x-x()|6 时，有 x()-a x x o及 x o v 4o+龙，从而有|加)-川
25、?i(x x o).9 .试给出x f 8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解Xf 8时函数极限的局部有界性的定理：如果/(X)当Xf 8时的极限存在，则存在A 0及 M0,使当仅|X时,fxZ(x-8),则对于=1,少 、0,当|x|X时，有/(X)4|=1.所以贝x)|=|Ax)Z+Z 区阿T|+|Z|0及加乂)，使当 x|X时,火X)|M 其中止1+.习题1 41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解 不一定.例如，当x f 0时,o(x)=2x,仇x)=3x都是无穷小，但l i m架=看,察!不是无.i o p(x)3 p(x)穷小.2.根据定义证明：(1)y=一:当
26、xf 3时为无穷小；x+3(2)y=x s i n!当xf0时为无穷小.x证明 当杵3时|7|=|正?卜 -3|.因为VQ0 T ,当0 A 3|b时，有1 1=|=x-30岳,当 0|x 0|3 时，有X|y|=|x|s i n-|x-O|0时y=x s i n为无穷小.X3.根据定义证明：函 数 歹=为 当x-0时的无穷大.问x应满足什么条件,X能使明 1。4?证明分析3=|必 卜|2+4 八-2,要使心M只须土-2M,即X X|X|X证明 因为V忙03=弁 二，使当0 W 0 b时，有|1区卜A/+2 1 x 1所以当xfO时，函数=0 是无穷大.X取 代1 0)则 旌 而 当0 10
27、tk J I 乙 J L )I/(4.求下列极限并说明理由：XT8 X1_r2x-0 1-x解(1)因为2=2+!，而当x f o o时工是无穷小，所以Iim2=2.X X X XT8 X(2)因为手e=l+x(x w l),而当X fO时X为无穷小，所以1曲/已=1.l-x Xf Ol-x5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:於)一工於)7 8Xx)-+0 0 Xx)-c oX 工0苏0,使当 O|x-xo|t,有恒贝X)-/|x()+x Xo-解X-00玲0,使当恸 X 时，有恒xf+00/(x)f4/(X)f8/(X)f+8,/(x)-ooX XoV o O 苏0,使当 O|x-x o
28、|W,有恒，(x)|.V A O,3 0,使当 0 ,一 汨)|MV A O,3 0,使当 O A x o|附，有 恒 MV 区 o,m 苏0,使当 0 ._ 刈 册，有恒 Ax)-M.X f X()十VQO 心0,使当 0 x-x()H 寸，有恒火x)T|0$0,使当有恒/(x)|MV A O,3c x 0,使当有 恒 M/MQ,3 0,使当 O x-x o H 寸，有恒加)0,三办0,使当 0 x(y-x 5 H 寸，有恒V 心 0,眸 0,使当 O r o-x 以V A O,3 0,使当 O A fV A O,3 0,使当 O r o-x (5 H 寸，有恒/(x)0 0V 6),止0,
29、使当恸 X 时，有恒VQO,3 0,使当恸 X 时，有恒l/(x)|MVGO,WO,使当h|X时，有恒VQO心 0,使当Mx时，有恒x 4-0 0V o,3A i 0,使当x X 时，有恒fx-A X 时，有恒阿 1 加VQO,王b O,使当 x X 时，有恒共 x)M.VQO,止0,使当 x X 时，有恒X -0 0V f i 0,3A 0,使当x -X 时，有恒fx)-A o,少 0,使当x MVQO,WO,使当x M.V 0 X 0,使当x +0 0 时的无穷大？为什么？解 函 数 产 N C O S X 在(-0 0,+0 0)内无界.这是因为V A f O,在(-0 0,+8)内总能
30、找到这样的X,使得y(x)|A 例如y(2 左 力=2 左%c os 2 左 e2左 左%=0,1,2,),当“充分大时，就旬兴2 人砌当X-+0 0 时，函数尸XC O SX不是无穷大.这是因为V M 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的 X,都有伏x)|M.例如武2 左 万+5)=(2 4%+10 c os(2 上 左+5)=0%=0,1,2,),对任何大的N,当人充分大时，总有x=2 版+分N,但(x)|=0 “.例如当4=1 （0,1,2,）2时，有N（x&）=2左l+叁，当人充分大时,当x-0+时，函数y=L s i n，不是无穷大.这是因为X XV M 0,对所有的8 0,总
31、可以找到这样的点/，使0 M 4但例如可取4=.优=，1，2，.一），ZK7 T当k充分大时,X k 3,但夕（x%）=2左;zs i n2左 乃=0 2 x-3 2-3盟M丫2 _鼻；解.喃寻嚅亲”/、-2.x+1 崛 下 厂解l i mq x+Li i m 0二y 而 口=?=0XT1 x2-l X-1(x-l)(x +l)x-l x+l 2（4）4工3一2，+工3X2+2X解lim4 -2 +x=lim-2 x+l=lx-o 3X2+2X a。3x+2 2修(X+/z)2-x 2h解 lim(x+*=jm/些x+/?2 _ x 2=2x+t)=2x.2。h。-0 h 力 TO lim(2
32、+J);XT8 x x解 lim(2-+-V)=2-lim-+lim 4 r=2.x c o x XZ xf o o X xfg x2 lim f-1;X-8 2xz-x121-L解 lim c ：T，=lim x-=-Xf 0 0 2x 一X 1 x o o 0 1 1 2Z-yX xz（8）lim/；xf8 x4-3x2-l2解lim，=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.X 0 0 x,-3 x/-l或limXT8x2+xx4-3x2-l=limx-0 01-+I-1-X2 X3i_ 2 _ _ LX2 X4=0.(9)lim 4xf 4 x 6x+8,-5x+4 解imX，6 x+8
33、 =Hm(x _ 2)(x _ 4)=Hm凸上2=2.X 4 X2-5X+4 Xf 4(X-1)(X-4)X-4 X-4-1 3(10)lim(l+l)(2-4)；XT8 X X解 lim(l+-)(2-?)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.Xf 0 0 X xz XT8 X x-0 0 xZ(11)lim(l+oo 2 4=l i mw-00丁/1一I，1+2+3H-F(W1)(12)l i m-5-；w-c o 乙Whjj l1.i m-1-+-2-+-3-+z-+(-1)=1l.i m 7%=：1 l1-i m TI1 二g1.rt-oo/?-oo 42 2 8 2(1
34、3)l i m(+D(+2)(+3)-5/解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为-0 5n 5最高次项系数之比).l x 1.(+1)(+2)(+3)1 v Z1 1、八 2/i 3、I-00 5疗 5 co 7 7 n Y l 5Xf l l-x l-x3解！呼士一l-x3.)=i im l+x+x2-3 U m(l-x)(x+2)I(l-x)(l+x+x2)(l-x)(l+x+x2)=-l i m-”+2 Y=-l2.计算下列极限:啊浮解 因 为 咽*19用 犯 所 以!需？箓 9r2(2)XT8 2X+1y2解lim-=o o (因为分子次数高于分
35、母次数).Xf 8 2x 4-1(3)l i m(2x3-x+l).X-8解l i m（2x 3一x+l）=oo（因为分子次数高于分母次数）.Xf 83.计 算下列极限：(1)l i m x2 si n-;x-0 x解l i m/si nL。(当x-O时 是 无 穷 小，而si n是有界变量).x f o x x(2)l i m 电 皿.X T 8 X解l i m *侬 门 工=jm J_.a r c t a nx=O(当x oo时,1是无穷小，X f 8 x x f 8 x x而a r c t a n x是有界变量).4,证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限：x-2 x-3解
36、1加 当=奖=-9.x-2 x-3 2-3v2/曷;解x粤 方|=翳 胃=5哂X2 2X+1x2-ll i m 叱2 x+lXfl x2-l(Xl)(x+l)x-1工+1 2=0解呵433一2/+工3X2+2X解h图或解 盘(X+/?)2 一 天h-=lim 工+2似；二J-=lim(2x+/?)=2x.h 20(6)lim(2-+-);Xf8 x x解 lim(2 4 -)=2 lim+lim -z-=2.XT0 X X2 x fo o xz(7)l i m-;X-Q O 2xz-x-lY2 _1解 lim =limX-8 2XZ-X XT81-X2.19Z-1-1y 2,X X2(8)li
37、m/;x-8 x-3xz-l2解 lim=0(分子次数低于分母次数,极限为零).xfoo x-3xz-lv2 v3lim J =0.XT8 _ 2 _ 11 2 4XZ叫叫左 翳;l i m X2_6 x+8 =1.m(x-2)(A-4)=limxz2=4z1xf4x2 5x+4 x-4(x-l/x 4)Xf4 X 1 4 1 3(10)lim(l+i)(2-4)；XTB x X解 lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-)=lx2=2.X-00 X xz XT0 X x-8 xZ(11)lim(l+J+/);mg 2 4 2解 圾叫+*+/)=煦 中-=2-1-2(12)
38、lim81+2+3+(-1)./(n-X)n用布车丑 li.m-1-+-2-+-3-H-z-1-(-/7-1)乙=l.i m 2 1 v n1 1A=h m-=.8 W-0 0 2 8 2(13)l i m(+D(+2)(+3)；解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为0 0 5 5最高次项系数之比).t .(+1)(+2)(+3)1 .I、八 2/1 3 1或 l i m-L=y l i m(l+-)(l+-)(14-)=-.-0 5 -n n n 5(14)l i m(-L-);Xf l l-x 1解！呼 占 一 占）=!5l+x+x2-3(l-x)(
39、l+x+x2)=-l i m(l r)(x+2)Xf l (l-x)(l+x+x2)=-l i m-x+2=-ix-i l+x+x-2.计 算下列极限：则 事;x f 2(x-2)解 因 为l i m 4=0,所以l i m、+碧a1 2/+2 X 2 16 1 2(工_2)2r2(2)Xf 8 2x+lv2解l i m 9 7=0 0 (因为分子次数高于分母次数).x f 8 2x 4-1(3)l i m(2x3-x+l).X-8解1而(23一*+1)=0 0(因为分子次数高于分母次数).X f 83.计算下列极限：(1)l i m x2 si n;X f o X解l i m si nL。(
40、当x-0吐f是无穷小，而si n1是有界变量).1 0 X X(2)l i m好当些.X-8 X解 lim型=lim Larc tanx=O(当x 8时，是无穷小,X-8 X Xf 8 x x而 arc tan x 是有界变量).4.证明本节定理3 中的(2).习 题 1-71.当x f 0 时,2X T2与相比，哪一个是高阶无穷小？解 因为lim f二1=1加手二=0，2 x-x1 2 10 2-x1 1 2sin2M 2sin 吏(2)因为 lims.x T=2lim.8 s x =lim 口=lim(2_)2=1,X TO _ 2 xrOx2 c os X X TO X2 xfO X2
41、2 2Y2所以当x 0时，sec x-1.所以当x f 0 时,x2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2.当x f 1 时，无穷小1-X和(1)1-x3,(2)/(i/)是否同阶？是否等价?解(1)因为 lim：=1而-.)，+1+工)=1加(1+工+小)=3,x-1-x 4fl 1-x x-r所以当X f 1时，1-x和 1-?是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为 lim-=lim(l+x)=l,x 1 1-X 2 xf 1所以当X f 1时，1-X和 是 同 阶 的 无 穷 小，而且是等价无穷小.3,证明：当x-0 时，有：(1)arc tan工 同v-2(2)s
42、 e cx-,证 明(1)因为 lim a r c t a nx =Hm =1(提示:令尸arc tanx,则当 x f0 时,i o x tan y。)，所以当 x f 0 时,arc tanx-x.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:顾 联 号(,加为正整数);tanx-sinxsin3xC Sinx一 警)一,D 劭+12-i)(Ji+sinx-l)解 lim粤 红x-*0 2X=lim 孕-3x-o 2x 2 啊 黑 蚓 h1000n=mnm.nm.sinx(-1).(3)ii mtanx-sinx=l i m一埠=.上平=.o sinx x-o sinx lOc osxsinx X
43、TOXCOSX 2(4)因为sinx-tanx=tanx(c osx-l)=-2tanxsin2y-2x-(y)2=-x3(x0),11+.2_1=/X,/-X2(X-O),/(1+X2)2+y/l+X2+1 3Jl+sinx-1=/sinx=-sjn xx(%0),Vl+sinx+1_1_3所以 周 a sinx-曾 x _ 2.3(Vl+x2-l)(Vl+sinx-l)X lx2.x5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)a a(自反性)；(2)若 a 1 则代M对称性)；若 a 以 后%则 a*传递性).证 明(l)lim区=1,所以a a;(2)若 a/?,则从而lim 2=l.因
44、此后a;p a(3)若 a 伏 lim.因此 Or-y.Y Y P习题1 81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:(l)/(x)=x2 0 xl2-x lxr x f i+x-i*所以lim/(x)=l,从而函数Xx)在x=l处是连续的.X-1综上所述，函数 X)在 0,2 上是连续函数.(2)/(%)=x-1Xl解 只需考察函数在X=-1和X=1处的连续性.在x=1处，因为4 1)=7,并且lim/(x)=lim l=U/(-l),lim f(x)=lim x=-l=/(-I),X T T+X f-1+所以函数在x=-1处间断，但右连续.在4 1 处,因为1)=1,并且lim/(x)=
45、lim x=l=/(l),lim f(x)=lim 1=1x-l*x-l+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-00,-1)和(-1,+00)内连续，在=-1处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪 类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：尸,二,x=1,x=2;xz-3x+2解 片2工 丁 c =因为函数在=2和x=l处无定义，所以=2和x2-3x+2(x-2)(x-l)x=l是函数的间断点.因为l im尸l im 紧二=0 0,所以x=2是函数的第二类间断点；x-2 x-2 x2-3 x+2因为l i m y=l i m*R=-2,所以是
46、函数的第一类间断点，并且是可去间断X-1 xf 1(X 2)点.在x=l处，令尸-2,则函数在x=l处成为连续的.y=7 ,x=x=k兀吟(左=0,1,2,)；tanx 2解 函数在点m痴(止Z)和x=Q r+小*Z)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因l im x=oo(0),故=左 碗。0)是第二类间断点；X*4 tan x因为l im=1,l im =O(Z:e Z),所以x=0和x=左 乃+4(任Z)是第一,x-o tan x xTk冗+工 匕n x 22类间断点且是可去间断点.令加=0=1,则函数在x=0处成为连续的；令=左乃+等时，片0,则函数在%=左乃+处成为连续的.(3)j
47、=cos2,x=0;x解 因为函数片cos 2 在x=0处无定义，所以x=0是函数y=cos 2 _l的间断点.X X又因为l imcos 2,不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.1 0 X/人 x-1 X rx=L解 因为 l im/(x)=l im(x-l)=0,l im f x)=l im(3-x)=2,所以 x=l 是函数的第x-i-x-i-x-r x-i+一类不可去间断点.3.讨论函数/(x)=l im上 空x的连续性，若有间断点，判别其类型.n-col 4-X入 1 v2w解/(叫吧巾-x|x|l0|x|=l.X|x|-r x-ix=-l为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x
48、=l 处，因为 l im/(x)=l im x=l,l im f(x)=l im(-x)=-l,所以 x=lx-r x-i+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数人或在点均连续且处刈，则存在刈的某一邻域。(xo),当X G。(工0)时证明不妨设y(xo)O.因为(x)在xo连续，所以l im f(x)=/(x0)0,由极限的局部保号性定理，存在xo的某一去心邻域0(x0),使当xe O(x0)时/(x)0,从而当xe U(xo)时,/(x)0.这就是说，则存在的的某一一邻域U(x0),当xe U(x0)时5.试分别举出具有以下性质的函数x)的例子：(l)x=0,l,2,，如，1，是/(x
49、)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=cs c(zr)+cs c工在点=0,1,2,一,士 ，工，处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2)/(x)在R上处处不连续，但/(x)|在R上处处连续；解函数/(x)=H“eg在R上处处不连续，但批x)|=l在R上处处连续.(3)/(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解函数/(x)=x x%在R上处处有定义，它只在40处连续.习题1-91.求函数二:一3 的连续区间,并求极限嚼/(X),、1蚂/(力及解/(x)=x3+3x2 X 3(x+3)(x l)(x+l),函数在（-叫+8）内除点x=2和x=-3X2+X-6(X
50、+3)(X-2)外是连续的，所以函数/（X）的连续区间为（-8,-3）、（-3,2）、（2,内）.在函数的连续点x=0处，lim f （x）=八0）=5.X T 0 2在函数的间断点x=2和x=-3处，lim/(x)=l i mCv3)(x-lXx+l)=o o,H m/(x)=l i m。二1)=a.x-2 x 2(X+3)(X_ 2)x-3 x-3 X2 52.设函数段)与g(x)在点xo连续，证明函数dx)=max/(x),g(x),/x)=min/(x),g(x)在点xo也连续.证明已知 lim/(x)=/(x0),lim g(x)=g(x0).XT%X X0可以验证x)=g/(x)+