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1、高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11.设 A=(-oo,-5)u(5,+oo),3),写出 AuB,AcB,及 A(AB)的表达式.解 AuB=(-oo,3)u(5,+oo),Ac8=-10,-5),A B=(-OO9-1 0)U(5,+8),A(AB)=-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律证明因为xe(A cB)C oxA cB ox史A 或 x史8。龙 或 xeBcxeAcJBC,所以(An B)c=AcuBc.3.设映射/:X fY,A u X,8 u X.证明(1 V O=A A)/B);(2)AAn B)qAA)n AB).证明因为使/(x)=yu(因为
2、 x eA 或 xeB)ye/(A)或 y/3)o y e./(A)u),所以(2)因为/4门3)二 土 4门民使.*)=)。(因为 XEA 且 x eB)ye_/(A)且 y ef(B)n ye所以 兀4.设映射/:XTT,若存在一个映射g:A X,使g o/=/x，小=3 其中4、/丫分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个x e X,有/x4X；对于每一个乐匕有lYy y.证明:/是双射，且g是/的逆映射:g=/i证明因为对于任意的y e Y,有4 gU)w X,且/(x)=4g3)=4y=y,即丫中任意元素都是x中某元素的像，所以7为x到y的满射.又因为对于任意的尤仔X 2,必有加1)以
3、无2),否则若/U l)/X 2)=g /U l)=g /U 2)=X1-X2.因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：y-X,因为对每个ye y,有g(y)=x e X,且满足产y,按逆映射的定义,g是/的逆映射.5 .设映射/:X-y,A d.证明：(1 尸(M)=M;(2)当/是单射时，有尸A)斗.证明 因为x e A n/(x)=y/A)=/七)=无尸A),所以 F(/(A)Z DA.由 知/(M)z A.另一方面，对于任意的工/乳4)=存在y/A),使尸。)=%=於)=丁.因为yA)且/是单射，所以x w A.这就证明了尸(M)U4.因此尸(M)=A.6 .求下列函数的自然
4、定义域：(l)y=j 3 x+2;解 由3 x+2 2 0得x -.函数的定义域为-多+孙解 由IT2M得冲1.函数的定义域为(-0 0,-1)5-1,+).(3)y=-V l-x2；X解 由*0且l-x2 0得函数的定义域 H-1,0)o(0,1 .；解 由4-/()得|A-|-t a n(x+l);解 由+1彳3(女=，1，2,-0得函数的定义域为丘+今-1伙=0,1,2,-乙乙,)(7)y=a r c si n(x-3);解 由 卜-3区1得函数的定义域。=2,4 .(8)y=j 3-x+a r c t a P;x解 由3-x 0且xM得函数的定义域D=(-o o,0)0(0,3).(9
5、)y=ln(x+l);解 由x+l 0得函数的定义域历(-1,+8).1(1 0)y=ex.解 由册0得函数的定义域。=(-8,0)5。,+.7.下列各题中，函数负x)和g(x)是否相同？为什么？(l)/(x)=lg x2,g(x)=2 1 g X；(2)x)=x,8()=匠；/0)=狂-1,g(X)=A H .(4)*x)=l,(x)=se c2x-t a n2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x =卢 在 区 间(-8,1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的的,必(。,+0 0),当汨%2时，有乂一乃=(%+%)一(电+1%)=(百一%2)+】也0,X2
6、所以函数y=x+l n x在区间(0,+8)内是单调增加的.10.设.穴x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若火x)在(0,/)内单调增加，证明火x)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于VX1,无2C(T 0)且X1-如因 为 _/(尤)在(。)内单调增加且为奇函数，所以1-*2)勺(-内),Mx2)dX i),加2)/用)，这就证明了对于VX1,X2(T,0),有人由)g(T)4 x)g(X)=F(X),所以尸(X)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果7U)和g(x)都是奇函数，则所以尸(X)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/U)是偶函数，而g(x)是奇函数，则尸(x)4-x)
7、,g(T)M x)-g(x)=/xg(x)=F(x),所以尸(X)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？尸3小 _ 尤3；1 _ v 2 产 修；(4)尸x(x l)(x+l);(5)y=sin x-cos x+1;(6)y=-.解(1)因为X%)=(-幻2 1 (x)2 =九2(1 _#)M幻，所以),所以 是奇函数.(5)由/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sin x-cos x+1可见於)既非奇函数又非偶函数.(6)因为/(一)=小；+)=仁铲,所以八尤)是偶函数.1 3.下列各函数中哪些是周期函数
8、？对于周期函数，指出其周期：产cos(x-2);解是周期函数，周期为/=2万.(2)=cos 4 x;解 是周期函数，周期为/=5.(3)尸 1+sin 玄；解是周期函数，周期为/=2.(4)尸xcos x;解不是周期函数.(5)y=sin2x.解是周期函数，周期为/=%1 4 .求下列函数的反函数：(1)卜=问错误!未指定书签。错误!未指定书签。；解 由y=l/x+l得x=,3-l,所以y=y/x+l的反函数为=x3-l.(2)，=户错误!未指定书签。；1+X解 由 产 与 得 产 口，所 以 厂 户 的反函数为产与.+x +y l+x 1+x 产 也g(a d 历M)；c x+d解 由 产
9、 钙 得 后 也 助，所以尸包里的反函数为产也叨.c x+a c y-a c x+d ex-a(4)y=2 sin3x;解 由 y=2 sin 3x 得 x=1 a rcsin y,所以尸2 sin3x 的反函数为 y=a rcsin-1.(5)y=l+ln(x+2);解 由尸l+ln(x+2)得x=e T-2,所以下l+ln(x+2)的反函数为尸产-2.(6)y=-.2、+1解 由y=a得x=ig，4，所以y=萼1的反函数为y=iog 2产.2+1 l-y 2V+1 1-x1 5 .设函数式x)在数集X上有定义，试证：函数/U)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要
10、性.设函数/U)在X上有界，则存在正数M,使1/U)区M,即这就证明了7 U)在X上有下界-M和上界M.再证充分性.设函数./U)在X上有下界Ki和上界K2,即K *x)K2.取M=ma x|,|均,则-M Kj x)K2 M,即 f(x)M.这就证明了/U)在X上有界.1 6.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值X,和X2的函数值：(1)y=u,u=sin x,%)=,%2 =K；o 3解 y=sin2x,y=sin2 =(1)2,y2=sin2 y=()2(2)产sin w,u=2x,x=;8 4解 y=sin 2x,yi=sin(2q)=s in=，
11、%=sin(2q)=sin=l.o 4 2 4 2(3)y=y/u 9 w=l+x2,XI=1,%2=2;解 y=Jl+q2,=V1+12=y2,/=Jl+22=M.(4)y=eu,u=x1,x=0,%2=1；角 军 y=2,y=e02=l,%=42=.2 Y(5)y=u,u=e,x)=l,X2=i-用右牛以 y=e 2JC,y=e2=4e 2 2(1)29y2=e f=e.17.设4 r)的定义域分 0,1,求下列各函数的定义域：正)；解 由 0幺y 1 得国(1,所以函数兀$的定义域为 _ ,4 sin x);解 由0sin x0);解 由(Kx+a-a x l-a,所以函数,/U+a)的
12、定义域为 a,1 a.(4)/(x+a)忧 x a)(a 0).解 由OVx+aWl且OSc-aAl得：当0aW时,KxW l-a;当a/时，无解.因此当0aW；时函数的定义域为a,1-0,当 时 函 数 无 意 义.-1|A|l作出这两个函数的图形.1|ev|l f 1 xl-1 光 0g(x)=e=e I x Q e|x|=l,即 g(x)=1|x|l ex1冰1khi.kll1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角方40。(图1-3 7).当过水断面A B C D的面积为定值S o时，求湿周L(L=A 5+8C+C 0与水深h之间的函数关系式，并指明Lr_5ho +,2s-iCnO4St
13、4f0 h,自变量h的取值范围应由不等式组/i 0,m-c o t 40 0确定，定义域为0 1 60 0 吐 p=75.当 1 0 0 v 1 60 0 时，p=9Q-(x-1 0 0)x 0.0 1 =91 -0.Ol x.综合上述结果得到90 0 x 1 0 0=9 1-0.0 x 1 0 0 c x l 6 0 03 Ox P=(p-60)x=1 3 1 x-O.OL?5x0 x 1 0 01 0 0 x 1 60 0(3)尸 =3 1 x 1 0 0 0-0.0 1 x 1 0 0 02=2 1 0 0 0(元).习题1-21 .观察一般项尤“如下的数列 与 的变化趋势，写出它们的极
14、限：解当-8 时，尤“=*-0,屈 或=0.(2)x“=(T)/;解当-8时，x“=(i y J-0,l i m(1)L=().n n s n(3)%=2+-V；YT解当38 时，尤=2+4-2,l i m(2+y)=2.vv rr”得；解 当-8 时，X =卫 二*=1 0,l i m 卫 二1=1.+1 +1 8+1 X*(-1).解 当71-0 0时,为?=(一 1 )没有极限.c o s-2 .设数列 九 的一般项x=.-.问l i m x=?求出N,使当N时,为与其n 一 8极限之差的绝对值小于正数,当=0.0 0 1时，求出数N.解 limx=O.|c。竽 1*。，要 使 。1，只
15、要*，也 就 是 吃.取N=山，则W N,有几一0|00 乙分 析 要 使 四 一 0=-V O CN(2)lim 誓|=条分 析 要使停号 弄不 ;，只须4 小 即 心;.2+1 2 2(2+1)4 4 4e证 明 因为VQON=H-,当N时，有|抖4-京 ,所 以5誓4=24e 2+1 2 2 l i mV E+Z=i 一 8 n分析要使 近五L“=而 靛-=后 _ 尤 N时，有I近 豆!_“,所以 nlim 反 1.一00(4)典誓出4 个分析 要使|0.99-9只 须 焉 r l+lgL(y i io7-1 证明因为X/O N=l+lg与，当V”N时，有|0.99 9 1100 一 8
16、/未必有极限.证明 因为l一im 8“=a,所以VGO,mNeN,当 N 时,有|“-水,从而这就证明了数列 品1 有极限,但数列%”未必有极限.例如lim|（-l）|=l,但 lim（-l）不00 一 8存在.5.设数列/有界，又 limy”=0,证明：limxy=0.一 8 T 8证明因为数列 4 有界，所以存在M,使 /6 4 有IxMM.又limy”=0,所以V60,M e N,当 N 时，有|为|N 时，有8ylxnyn-O H/%M yn 86.对于数列 尤”,若。（女 一 8）,如：一。（左 一 8）,证明：X”纵 一 8）.证明 因为 X2i-a（A-8）,光（左 一8）,所以
17、VQO,加,当2bl2K|-1时，有|侬-1-水 ；3Ar2,当24 2K2时，有即-水.取 心 0 ;2垢 1,2K2,只要“N,就有k a|3分析因为|(3 x-l)-8|H 3 x-9|=3 p c-3|,所以要使|(3 x-l)-8|O,m b=g ,当0|x-3|M寸，有|(3 x-1)8|3(2)li m(5 x+2)=1 2;XT 2分析因为|(5 x+2)-1 2|=|5 x-1 0|=5|x-2|,所以要使|(5 x+2)-1 2|05=,当0|x-2|加 寸，有1(5 尤+2)口2(3)H mx-2 x+2分析因为温(-4)卜|壁 黔H-i,所以要使|W4)|,只须|X-(
18、-2)|2 冗+2(匕 吗 需=2.X 2分析因为|J -2|=|l-2 x-2 k 2 k-(-l)|,1 2x+l 1 2所以要使卜；一 2卜,只须|x(-g)l；.证明 因为/05=；,当0|X一(一 g)|b时，有所以 lim 4=2.XT 2x+l22.根据函数极限的定义证明:lim =;XT8 2x3 2分析因为11=|1+-l.J _I 2x3 2 2*3 I 2|x|3所以要使I罢-十3|，只须装百 念，一 乙|人I V Lb证明因为V o x=v=,当|x|X 时，有里 一 扑 所以 lim*V=Lx-o 2x 2c、1-sin x 八(2)lim 7=0.Z+8 y/X分析
19、因为智-。卜需木所以要使|哭-0 卜 ,只 须 亡 X时，有|*七,所 以lim 笔=0.a”y/x3.当x-2时，产$-4问（5等于多少，使当值 2KM寸,|y-4|0.001?解 由于当尤 2时,-2|-0,故可设|%-2|1,即lr3.要使|?-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001,只要|x 2|气S=（）.o（）（）2.取应0.0002,贝IJ 当 0|x 2|附，就有*4|1,问x等于多少，使当枚|X时,|广1|0.01?x2+3解 要 使|马 T 卜/0时极限为零.证 明 因为l/（x）-0|=|x|-0|=W=|x-0|,所以要使/（X）-0|,只须|x|0T应，使当0
20、|x-0|石时有 一0|=|国 一0|O-x O_ X A O-lim f(x)=lim=lim 1=1,X+x-O+X%+Jim/(x)=n m/(x),所以极限lim/（x）存在.XT 0因为lim 奴x)=lim=lim =-l,x9-x J C-O-xlim 奴x)=lim=lim =1,x-0+x-0+X x-0+Xlim 夕(幻 工 lim(x),X f 0-X f 0+所以极限lime(x)不存在.X f 07.证 明：若 1+00及 X f-8 时，函数孔0 的极限都存在且都等于A,则lim f(x)=A.JC-00证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以V
21、0,X-00 X-Hmx o,使当 x-X|时，有欣X)-A|0,使当 xX2 时，有A|X 时，有 网 4|,B P lim f(x)=A.XT88.根据极限的定义证明：函数x)当 x fx o 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设於)fA(xfxo),则V 0,3 0,使 当 0|4的|3 时,有f(x)-A.因此当 x()-5xxo 和 x()xr()+时都有f(x)-A 0,使当司-6 令。()时，有|於)-A；塾 0,使当沏4/+时，有|於)-川 .取乐min H,，贝！J当0|x-x()|S时，有x()-在rx()及必%。()+石，从而有1
22、 危)-用A(x-x().9.试给出x f 8 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解 x f 8 时函数极限的局部有界性的定理：如果凡r)当x-8时的极限存在，则存在 X0 及 M 0,使当|x|X 时,fx)A(x-8),则对于=1,mX0,当|x|X时，有曲 用=1.所以Ax)|=|/(x)-A+A|/(x)-A|+|A|0及M0,使当|x|X吐 心)|0时为无穷小.x证明 当心3时|、|=|左?|=|-3 .因为V O,m,当0|x-3|附，有lyl=|小-3|5=,所以当x f 3时y=T为无穷小.冗+3(2)当行0 时|)，|=|x|sinS x-O|.因为VoO应,当 0|
23、x 0|附，有X|y|=|川|sin!留 工 一 0|0时y=x sin!为无穷小.3.根据定义证明：函数y=为当x-0时的无穷大,问x应满足什么条件,X能使仅|1。4?证明分析3=|=|2+4 2八一2,要 使 只 须 一2，即X X|X|I-X|证明因为，使当0 X因为F=1+XQ*1）,而当尤f 0时X为无穷小，所以lim F=l.l-xXf 0l-x5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表：於)-8./U)f+ooXx)-coVQO,眸0,使当 O|x-xo|M寸，有恒|/(x)-A|%0-X-COVo,3X0,使当|x|X 时，有恒师)|MX-+8X-0 0解危)-Ayu)-8於)-+
24、8Xx)-00X-沏历0,使当0氏-沏|加寸，有恒欣幻-川&VMO,m&O,使当 0cb-x（）|M.VM 0T&0,使当 0|x-Xo|O,m 办0,使当0,-沏|洲 寸，有恒於）O,2O,使当0-项）加寸，有恒贝x）-A|0,三方0,使当 0 x-x（）M.VM0&0,使当0。:-400&0,使当01-入00苏0,使当 0T（）T 刷，有恒风力一川0,3苏0,使当OXoTM.VM0苏0,使当 0 x（）-xM.VM0T 苏0,使当0%0-犬 加 寸，有恒 fi x)00vo,axo,使当blx时，有恒阿-A|X时，有恒m i.Vox o,使当wx时，有恒於）M.0 7 X 0,使当|x|X
25、时，有恒AX)+0 0 0X0,使当xX时，有恒心）一4|ox o,使当xX时，有恒）IMVQO,mX0,使当龙X时，有恒段）M.O,m x o,使当xX时，有恒危）-M.九一一 8VQOXO,使当x0,使当x 0,使当x-X时，有恒vo,mxo,使当x-X时，有恒f x)-A+0 0时的无穷大？为什么？解 函数尸X C O S X在(-8,伊)内无界.这是因为V M 0,在(-o o,+o o)内总能找到这样的x,使得仅A M例如y(2k 7r)=2k 7r c o s 2k 7v=2k!T(k=0,1,2,),当k充分大时，就有|y(2 A砌M.当X-+8时，函数)=X C O S X不是
26、无穷大.这是因为V M 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的尤，都有|y(x)|M.例如y(2,k 7r+-)=(2J c 7r+-)c o s(2k 7r+-)0 k Q,1,2,),对任何大的N,当女充分大时，总有x=2 b r+分N,但I M x)l=0 0,在(0,1中总可以找到点以 使例如当4=-(k=0,1,2,)2k/r+2时，有y(xk)=2k 7v+,当k充分大时,y(Xk)M.当x-0+时，函数)，=L d n _ L不是无穷大.这是因为X XV A/0,对所有的苏0,总可以找到这样的点，使0 M a但)(x*)M.例如可当女充分大时,4但y S)=2 A 7 K i
27、 n 2%g O 2%3解N+5lim,x-2 X-3.22+5-2-3=-9.解x粤 制=辑 三 二 .四X2-2X+1x2-l解lim吃药!=lim 1尸=1而 曰=9=0X-1 x2-l XT1(x-l)(x+l)X flx+l 2 4X3-2X2+X3x2+2x解琮*%智瓷4域(x+A)2-x2h(X+)2-X.：2=lim2 0 x1+2hx+h2-x1解&=lim(2x+/z)=2x.hh(6)lim(2-;解 lim(2+-)=2-lim-+lim 4 r=2.x-oo X X2 x oo X X-XX)xz(7)lim 厂 ；%-8 2%,一 1一1解 lim-f-1-XT8
28、2x x1l-l i t n-=1XT8 oz-1-1 2X xz(8)lim 产芹;工 00工4 3廿一2解lim J：尸0(分子次数低于分母次数,极限为零).18%,一3%”一1或圾 3X11 ,1lim A x-XT8 _2_1_=0.云 6x+8.一 5x+4 lim与 巫 地=1而 生 辿=扁 白 二 七,14%2 5X+4 xf4(元 一 )(1_4)x f4 x-1 4-1 3(10)lim(l+i)(2-4)；X X解 lim(l+-)(2lim(l+-)-lim(2-)=lx 2=2.x 00 X XZ x-o o X x-8(11)lim(l+l+l+.+J_);一8 2
29、4 2解 lim(l+2d-F)=lim-4 =2.“f o e 2 4 2 -o o 1一1-2.1+2+3+,+(-I)(l2)hfm 8-死-;(n-l)n解痴 lim.-1-+-2-+-3-+-,z,-+-(-I-)=h.m 气?二 支I hv YmI I.T8 Yl/700 YT 2 ft 2(I3)lim(+】)(飞)(+3)；解H m(H+l)(+2)(n+3)=|(分子与分母的次数相同，极限为8 5n J最高次项系数之比).或 lim(竺1)(+；)(+3)=/iim(i+l)(i+2)(1+2)=l.8 5 3 5 -8 YI n n 5(1 4)lim(-Xfl 1 X 1
30、解！呼匚丁-3-11+x+x 3T)=hm z-1-x3(l-x)(l+x+x2).(1 x)(x+2)=-lim-X-1(l-x)(l+x+x2)x+2=-1 i m-oxT 1+X+X22 .计算下列极限:/i X3+2 x2(1)l i m-z-(X-2)2解 因 为l i m与 雪=3=0,所以l i m/穹=oo.X-2X3+2X2 1 6 12 (X 2)2(2)l i m 工；X f oo 2 x4-1v2解l i m=00(因为分子次数高于分母次数).X T8 2 X +1(3)l i m(2 x3-x+l).X f oo解l i m(2/-x+l)=8(因为分子次数高于分母次
31、数).X T 83 .计算下列极限：(l)l i mx2s i n-;x-0 x解l i mx2 s i nL=0(当x-0时,f是无穷小，而s i n，是有界变量).x-o x x(2)l i m 胆 空.解l i m更红圆好=l i mL arc t an=O(当x-8时，,是无穷小，xfoo X x x而arc t an x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限:X f 2 x-3解 蚂x-3X2+5 22+52-3=-9.上联M解x噜 妄1=暮3.物 不 厂解 四 咛 竽 书 教 苫 舒 书 与 曷=?=o-或(4)1加4/二2/+.%-*。3X2+2X
32、解 l i m 驾二2(+wx1 o 3X2+2X 域(x+/z)2-x2h-l i m4X2-2X+1 1x-6 3x+22,解 iim 9*Llim/z-0 h hf。(6)l i m(2+J);x c c x xX2+2/ZX+/22-X2h=l i m(2 x+)=2 x.h fO解 l i m(2-+-)=2-l i m-+l i m 4 r=2.X f 8 X X2 x oc X x oo xz(7)l i m：T；%-8 2x-x-l解幽科l i mXf 001 Lx2 _ i91 1 2,乙-z-X X1(8)l i m 4 f-；2解l i m J：0(分子次数低于分母次数,
33、极限为零)._ L+_ Ll i m.4匚+；=l i m其：=0.X T8 x4-3 x2-l X T 8 2 11 2 ZXL JC（9）期 营 6 x+8 ,一 5x+4 H m x：-6 x+8=加.(七 四 匚4=而 乂=七X2-5X+4 x j(X-1)(X-4)X-4 X-1 4-1 3(1 0)l i m(l+-)(2-4)；x-oo x X解 l i m(l+-)(2 4)=I i m(l+L l i m(2-)=l x2=2.x oo X XT x x x x oo(l1)lim(1+l+l+.+J_);一 8 2 4 2解l i m(l+!+d-F )=l i mn x
34、2 4 2 w o o=2.1+2+3+,1)(1 2)h m-1 一-;M-00展(n-l)n解ATJ hr m-1-+-2-+-3-+(-1).2 1 i-H-1 15-=h m 舍一=-h m-=-.八 一 8 ，一 8 ，2 一 8 H 2(1 3)l i m(+D(+?+3)；8 5屐解 i m(+D(：+?(+3)Y (分子与分母的次数相同，极限为-8 5 J最高次项系数之比).t .(+1)(+2)(+3)1 ./I 12、/1 3、1或 h m -=3-=-hm(l+-)(l+-)(l+-)=7 .n oo 5户 5-oo n 5(1 4)1 呻 甘X-1 1 X 1 解 厕
35、上 一 金）则二常二广所!瑞缶x+2=-1 i m-7x T l+x+炉=一1.2.计算下列极限:八、1.x3+2x2(1)h m-x-2 (x-2)2解 因 为 晒 案&脸 肛 所 以 则 焉 翁=以r2 l i m-;Xf 002 x4-1丫 2解l im-=oo（因为分子次数高于分母次数）.x-*8 2x4-1x 00解l i mQx3-x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).X f 83 .计算下列极限：(1)l i mx2s i n;v-0 x解l i md s i nL u C X当尤f0时 是 无 穷 小，而s i n，是有界变量).x-o x x(2)X B X解 l i m
36、 arctan x=H mL arc t anv=O(当 x oo时,是无穷小，xf 8 x xxxi x x而arc t an x是有界变量).4 .证明本节定理3中的(2).习 题1-71 .当Xf0时,2 x-f与相比，哪一个是高阶无穷小？2 3 2解 因为l i m手二三=l i m守=0,x-0 2 x-x2 xf O 2-X所以当x-0时,x2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-?).2 .当x fl时，无穷小1-%和(1)1-V(2)：(1-N)是否同阶？是否等价?解 因 为 i m =l i m(l_x)”x+x)=i m(l+x+x2)=3,x5 1 X 1 X x-
37、l所以当Xfl时，1-X和1-/是同阶的无穷小，但不是等价无穷小(1-X2)1(2)因为 1而4-=glim(l+x)=l,x 1 1-x 2%所以当x f 1 时，1 T 和-N)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当x-0 时，有：(1)arctan x-x;九2(2)sec%-.证 明 因 为 项 型 呼 更=虫 焉=1(提示：令 尸 3 a nx,则当z 0时,y-。)，所以当 x-0 时,arctan x-x.2sin 2sin Q)因为 HmSe：x T=2Hml；cosx=Hm 而(一 )2:1,x-0 1 2 xOxCOSX x-Q x1 X2 T 2v2所以当光一0时
38、，s e c c-l.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:tan 3x.2x 5黜(,m 为正整数);小tan x sin x.(3)hm；sin x场sin x-tan x(Vl+x2-1)(Vl+sin x-1)解 须 嗤H晦V 颂*000n=mnmnm.sin x(-1)1(3)Hn?an x 二 sin x=Hm平=而 上 等-=lim 0cosxsin2x IOXCOSX 2(4)因为s i rr-t a n r=t a H(c cus-l)=-2t a n s i-2x-(-)2 x3(x 0),%+N _=-i i N(x-0),匹漉+陀 7+1 3Jl+s i tr-1 =/
39、s 丁-s i a-x(x 0),Vl+sia+1所以lim,sin x-tan xz-10(1+%2-l)(V l+sia-l)5.证明无穷小的等价关系具有下列性质：a a(自反性)；(2)若。以则上(对称性)；(3)若a 以 上%则。乂传递性).证 明(l)lim 2=l,所以。0;a(2)若a p,则 lim焉=1,从而 lim g=l.因此/7a;(3)若。夕,夕%lim=lim-lim-=l.因此a/Y Y P习题1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：小，/、fN oxi2-x lxr A-1+Xfl+所以lim/(x)=l,从而函数/(x)在4 1处是连续的.x-l综上
40、所述，函数./U)在 0,2 上是连续函数.=：解只需考察函数在4-1和m l处的连续性.在=-1处，因为4 1)=1,并且lim/(x)=lim 1=1 可(-1),1一 1一1lim f(x)=lim x=-l=/(-l),.3-1+X-l+所以函数在4-1处间断，但右连续.在4 1处，因为1 1)=1,并且lim/(x)=lim lim/(x)=lim 1=1 1),X f X f l+x-l+所以函数在m l处连续.综合上述讨论，函数在(-%-1)和(-1,+8)内连续，在4-1处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数
41、的定义使它连续：Y2-1(1)y=Q m 1,4 2；产一3无+2解 尸2 二=.因为函数在X=2和4 1处无定义，所以4 2和x2-3x+2(x-2)(x-l)x=是函数的间断点.因为limy=l i m-=i-=o o,所以m 2是函数的第二类间断点；%-2 1 2 廿 一 3 x +2因为limy=lim段2=-2,所以m l是函数的第一类间断点，并且是可去间断X i X 1 (工 一2)点.在x=l处，令尸-2,则函数在a 1处成为连续的.(2)y=-,x k,x=k i+?(Z=0,1,2,-);t a nx 2解函数在点m WeZ)和x=b r+.Z e Z)处无定义，因而这些点都
42、是函数的间断点.因lim =0 0(0),故户左网8 0)是第二类间断点;i k 冗 t a nx因为 lim-=O(e Z),所以 x=0 和 x=b r+W伏e Z)是第一x-o t a a x (F A 乃+匹 t a nx 22类间断点且是可去间断点.令y k o=L则函数在m O处成为连续的；令工=攵乃+子时,.y=0,则函数在工=攵1+子处成为连续的.(3)y=c o -9x=0;x解因为函数产c os2工在m O处无定义，所以m O是函数尸c os21的间断点.X X又因为limc os2!不存在，所以m O是函数的第二类间断点.x f O X(4)y=X X l解 因为 lim
43、/(x)=lim(l)=0 lim f(x)=lim(3-x)=2,所以 x=l 是函数的x f l+x l+第一类不可去间断点.3.讨论函数/。)=lim 闫、的连续性，若有间断点，判别其类型.一 8 1 +廿 1?w X 1亦10 I止LX|x|-i-x-i+x-rx=-l为函数的第一类不可去间断点.在分段点4 1 处，因为 lim/(x)=lim x=l,lim/(x)=lim(-x)=-l,所以 =1X f l+X f|+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数 x)在点沏连续且巩咐双)，则存在的的某一邻域。(沏)，当x G U(x()时,在分段点4-1处，因为证明不妨设火沏)0.
44、因为/(X)在X 0连续，所以lim/(x)=/(X o)O,由极限的局部保号性定理，存在X0的某一去心邻域灰与)，使当x e。(而)时段)0,从而当xeU(xO)时，/)0.这就是说，则存在刈的某一邻域U(xo),当xe UQ)时,/U)M.5.试分别举出具有以下性质的函数段)的例子：(l)x=0,l,2,1 n,土 上，一 是/U)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=csc(；w)+cscM 在点 1=0,1,2,-,-n,L 处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2次v)在R上处处不连续，但|/(x)|在R上处处连续；解函数/(的=口 在R上处处不连续，但贝
45、幻|=1在R上处处连续.(3VU)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解 函 数/(x)=:二 在R上处处有定义，它只在X=O处连续.习题1-91.求函数/(尤)=，；:；二；一3 的连续区间,并求极限|吧/(x),、史3，*)及解/(%)=x3+3x2-x-3 X2+X-6(x+3)(x-l)(x+l)(x+3)(x-2),函数在(-8,+8)内除点x=2和x=-3外是连续的，所以函数x)的连续区间为(-0,-3)、(-3,2)、(2,+00).在函数的连续点后0处，lim/-(%)=/(0)=!.x-*o 2在函数的间断点入=2和4-3处，(x+3)(xT)(x+l)(x+3)(x 2)(x
46、-l)(x+l)x 285=0 0 ,/=幽2.设函数.*x)与g(x)在点的连续，证明函数dx)=max 伏x),g(x),Mx)=min伏x),g(x)在点的也连续.证明已知 lim/(幻=/(殉)，lim g(x)=g(演).x x0 x xQ可以验证奴 x)=W(x)+g(x)+l/(x)-g(x)|,(x)=g/(x)+g(XH/(x)-g(x)|.因此 奴与)=夕/(与)+8(与)+1/(与)8(尾)|,(凤)=；(%)+ga)-l/(闻)-g(闻)1 1 .因为1 i 侬 )=1 i 拈/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|x-与 XXQ Z=lim f(x)+lim g(x
47、)+|lim/(x)-lim g(x)|Z X-XQ xXf与 x=j/(Xo)+g(崩)+|/(XO)-g(x)l=须 0),所以奴x)在点司也连续.同理可证明Mx)在点X0也连续.3.求下列极限:(1)lim J%2-2X+5；x-0(2)lim(sin 2x)3;N T4(3)lim ln(2cos 2x);李；(5)lim离三乌(6)lim-A s i n。.Xfa x-a(7)lim(Vx2+x-Vx2-x).X-+00解(1)因为函数/(x)=7五音是初等函数，危)在点x=0有定义，所以limylx2-2x+5=/(0)=V02-2-0+5=75.X TO(2)因为函数1 x)=(
48、sin 2x)3是初等函数,/U)在点x=孑有定义，所以Iir4si2w)3=/()=(si2t)3X-4=1.(3)因为函数/U)=ln(2cos2x)是初等函数，4x)在点x=J有定义，所以Olim 1 n c o 2x)=f()=n 2Jc o 3)=0.f 6 6/.XI-y/x+l i 1 -(A/X+1 1)(A/X+1+1).x(4)lim-=lim-r =-=limT=x-o x 工 劣 XV+1+1)XV+1+1)1 .1 1 1xf。Jx+1+1 Jo+l+1 2_.3 5x-4-6)Q 5x-4+6)e 1 1 (x-l)(V5x-4+Vx)I A-x-4 i,4 4 c
49、=lim-i =11 my.=7=2.(x l)(v5x 4+v)x y/5x 4+yx J5,l-4 limSin x-s i nj hmX-4 X C L A-i72 3岁sin于x-as i速=lim co slim-=c ox-a 2 x a X C ll=c o(s.lim(际一庐9lim(际-3三)(产+环)(Vx2+X+Vx2-X)lim=lim2x4.求下列极限:1(1)mex;X-OO(2)limln ;X TO X1 3 lim(l+与2 ；X(4)lim(l+3 ta n2 1严一；x-0充-)x2-;Hm J l+ta rty-J l+sinx1。xJ l+sirP x
50、-x解 l i m/=e f x=e=LX 00(2)limln列江=ln(lim皿)=lnl=O.x-0 x Xx.1(3)lim(l+与=lim(l+与 寸=五.Xf 8 X X-0 0L X(4)lim(l+3 ta n2x)c ot2 x=lim(l+3 ta n2x)3tan2 j=e3.x f 0 x-0L a 1 v xT 6+x.3 x-1(5)(炉)2=(1+片)-3 6+x 26+x 6+x.因为Q 6+xlin$l+-尸=e,6+xlimx 00-3 x 16+x 232所以O翳 I v kX l i_3 H m J l+ta+x-J l+sinxxJ l+siM x-x