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1、大招14第三定义与点差法大招总结圆锥曲线第三定义：平面内动点到两定点4（一。,0）和A（,o）的斜率乘积等于常 数e2-l的 点 的 轨 迹 为 植 圆 或 双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0 e2 l时为双曲线.工2 2在 椭 圆C:1?+r=l（a/?0）中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于 A、B 的一点，若 kpA、kPB 存在,则有：kP A-kPB=e2-l=-CT2 2x y i在 双 曲 线。：/一 宣=1中，A、B是关于原点对称的两点，P是双曲线上异于4 B 的一点，若 kpA、kpB 存在，则 有:kP A-kP B=er-i=a抛物线结论：已 知 直
2、线I与抛物线相交于A,B两点，点M为A B的中点，O.p为原点，贝IJ怎8=一%7 21一 V 证明：已 知P B是 椭 圆/+万=1（。匕0）一条弦，M是P B的中点，O为椭圆的中心.若kpB、k0M存 在，先证明：kP B-k0 M=-r证 明:设 尸（西方）,川 ,%）且 不2 2 2 22 2 2 2Q）H ）得：号=一宁,.M -y（X +工2）.,=，|一）?=/内+）一玉一 2（j i +y2）*玉-巧 片（必+%）又*=*,：.kpB PBOM=2玉+a-kO M a此方法称之为点差法，设点作差，设而不求.再 证 明 第 三 定 义，延 长BO交 椭 圆 于A,.P A B的P
3、A边 所 对 的 中 位 线M O,kPA=kM 0,由点差法结论：kM 0-kPB=e-1=-知 kP A-kPB=e-1 =一 一个成QQ立.双曲线第三定义的证明：只需将椭圆中的b2全 部 换 成 即 可 抛物线结论证明：设人（西方）,8 0 2，%），抛 物 线 方 程V=2 p xy；=2 p x，=2 p x 2（y+M（x72）=2M%if）（.）_ 2 j，（玉一z）2%垂径定理如图，已知直线/与椭圆相交于A,8两点，点 为的中点，。为原点，则如图，已知直线/与双曲线相交于AB两点，点M为A B的中点，。为原点，则（注：直线/与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立
4、）周角定理（第三定义）如图，已知点A 3椭圆长轴端点（短 轴 端 点），P是椭圆上异于的一点，如图，已知点A,6双曲线实轴端点,P是双曲线上异于A,B的一点，推广：如图，已知点A,8是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆 上 异 于 的 一 点，若直线P A,P B的斜率存在且不为零，推广：如图，已 知 点 是 双 曲 线上关于原点对称的两点，P是双曲线 上 异 于 的 一 点，若直线P A,P B的斜率存在且不为零，【中点弦 思维引导11已知AB是 圆/+丁=1的一条弦，点p是AB中点，当AB和OP斜率存在时.思考：是否为定值？解：点P是A 6中点，所以AB_LOP（垂径定理），所以自X心8=
5、一1【中点弦思维引导2已知A 3是椭圆二+V=1的一条弦，点尸是A 3中点，当和4-。产斜率存在时.思考：左”球 是否为定值？解：设（孙），则4 土/，然%点A和点8在椭圆上，则有作差得：；（M+%2）（%-/）+（x+%）（y _%）=0所以二%,=即上加-（此方法名为“点差法”，即设点+作差）（玉+龙2）（%尤2）4 4【第三定义推广思维引导1已知A 8是圆V+y2=l的直径，点p是圆上一点，当PA.P8斜率存在时.思考：后4即8是否为定值？解：AB是直径，所以Q4_LPB,所以人.即B=T-【第三定义推广思维引导2】1.已知A、B是 椭 圆 上+上=1上关于原点对称的两点，点P是椭圆上一
6、点.当PA、P B4 3斜率存在时，思考：kpkkpB是否为定值?解：设A a，y),P(w，%),取AP中点G,则G 士 玉,迎 上 之点A和点P在椭圆上，则有9五+42逗+1411-22132%一3作差得:+/)(%)+；(x+%)(,_%)=0所以?：1(R45(办+八须一马)343即43点。和G分别是A3和AP的中点，所以O G/P B,所以勺屋即8=一3 2.已知A、8在椭圆y2 x2力+*=l（ab0）上，点P是A 8的中点，当A8和0尸斜率存在时.求证：阳8 为定值.解：设Mwji KM，则p（告，汉&点A和点B在椭圆上，则有a2y4-=1=1所吸I X二r索 蓝=即依“X?H
7、X|X9 I U+x V3.已知A、B在双曲线一 一 二=1（。0,力 0）上，点P是AB的中点，当A8和O尸斜a b率存在时.求证：Mg为定值.解：设 A（x,y）,3（w，%），则 P 工，汉&点A和 点8在 双 曲 线 上，狈J有 2%2a,a22A-）A作 差 得，（内 +%）（%一%）-5（x +%）（y -乂）=。，卿WB吟所以（苗+。2心-%）J（%+%2）（%一 工2）（4.已知A、8在双曲线与一，=1 3 0,万0）上，点P是AB的中点，当A8和0P斜a b率存在时.求证：心屋&。尸 为定值.解：设A&y）,3（孙 必），则 尸 值 守，笔&点A和 点B在 双 曲 线 上，狈
8、 有.-芍F2一K作差得，%+%2）（%-动=。所以（M+%）（）%）=（x,+x2）（x,-x2）b-a2卿生 区B =.（5.已知A、6在抛物线y 2=2 p x（0 O）上，点P是AB的中点，当A6斜率存在时，求证:心屋力为定值.解：设4（百/）,8（9,必），则汽&点A和点B在抛物线上，则有，；=2Pxiy2=2 p%2作差得（乂 +%）（x%）=2 p（x -w）所以上二即.心s =p.xx-x2 26.已知A、B在抛物线f=2 p y（p 0）上，点尸是A 8的中点，当 不 与y轴垂直时,求证：孑 为 定 值.*解：设4（不 乂）,8（孙 必），则p（后 上，五点A和点8在抛物线上
9、，则有J%,=2 p x 2 =2 7%作差得（+电）（%w）=2 p（y -）X1+九2所 以 一=P,?B|旦*止 当 kAB玉一工27 .已知A、3是椭圆+与=l（a 0,b 0）上关于原点对称的两个点，点 P在椭圆上.当矿b94和斜率存在时，求证：ZP APB为定值.解：设 P（X ,y J,4（马,月），则 8（-孙-2）,%凶一打,kpB=+%点 A和点P在椭%1 X2 X,+X2作差得，（+%2）（玉 _ ）+，（）1 +）2）（X _%）=0 所以=_，即Kk kPAKPBb2V2%28 .已知A、8是椭圆J +a =l（a O,b O）上关于原点对称的两个点，点 P在椭圆上.
10、当PA.P8斜率存在时，求证：即A 即B 为定值.解：设 P&,y ）,4（和%），则 B（-，一%）=之，即B=点 4和点尸在椭X-y I X 圆上，则有2 2上+9=1a2 b22 2L互2+三b2=12作差得，（*+%）（%-%）+/（%+%2）（玉 一/）=0 所以 上 当 资=一 1，即9.已知A、B是双曲线=多=1（。0）0）上关于原点对称的两个点，点 P在双曲线CT b上.当 24和 P3斜率存在时，求证：kpA，kpB为定恒.解：设 P（X 1,y）,人 孙 必），则 3（-X 2，-%），Z k p B =+点 A和点P在双.1 I X l?曲线上，则有2 2i-=i“2 b
11、22 2生 一%=1/b2作 差 得，（与+）（玉一工2），（乂 +%）（y%）=所以x-x2 xt+x2 a1即1 0.已知A、3是双曲线2r-=1（。0 力0）上关于原点对称的两个点，点 在双曲线a b上.当 R 4、P3斜率存在时，求证：即内原8 为定值.解:设PM，A（4%）,则8（一2）,如=4/=亲点A和点P在椭圆上，则有，与1矿b-作差得，（必 +%）（,一%），（+电）（2一 工2）=02 2所以近二区.九5=今，即原八 即8=今.X）x2 x+x2 o b典型例题例1.椭圆c：5+（=i的左、右顶点分别为A，4,点p在。上 且 直 线 的 斜 率 的 取值范围是-2,-1 ,
12、那么直线PA斜率的取值范围是解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为4 （2,0）、A,（2,0）,设点尸（a （aw2）,则/b2一十一4 31，kp、b.b，kp=-a+2-2 a-2bQ+2则 与,kpA b b2a-2 6-43将式代入得攵P A|M p 二一:，M e-2,-1,.3 3kp、故选D.例2.已知4、8是椭圆a2=1（。方0）长轴的两个端点，M,N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线A ,8 N的斜率分别为人,，且K&wO.若%|+|七|的最小值为1，则椭圆的离心率1A.-2,V2D.-c县2D,在32解：设”（%,%）,，（鹏,一天）,4（-。,0）,8（。,0）x+a
13、a-同+网=3+当且仅当一比一=%一，即升=0,%=。时等号成立=2b又因为 =/?2+c2.c =a2.e_ca 2故选C.X2 y2例3.已知4 8分 别 为 椭 圆 一+会=1（0。3）的左、右顶点，P、Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP、的斜率分别为,%，若点A到直线y=Jl 的距离为1,则该椭圆的离心率为1 V2 1 V2A.-B.-C.-D.-2 4 3 2口、,2解：由椭圆一+六=1（0。3）,设 0（瓦，）。），则。（玉），一%），2 2 2 1 2；.9+与=1,则 与 上49 b2 片-9 9M-AP 一上 q，一 般。一_玉）+J*0 7；b2mn=一,一 二
14、一,片-9 9/.直线y=Jl 机工化为y=J1-得 A(3,0),3(3,0),3,x-x,即,9-6 2%-3y=0.由点A到直线y=y/l-mnx的距离为1,-3yl9-b2得/J9+9=1,解 得 廿=色8J9则,=乎则_ V2丁 工故选B.例4.已知双曲线f 一;y 2=,过3（1,1）能否作直线/,使/与双曲线交于P,Q两点，且6是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解：假设这样的直线存在，设P,Q的坐标分别为（毛,x）,（,必），则 玉+=2,）1+%=2,又玉2-：弁=1,（1封）=1，一得：（%+%2）（%2）g（y+%）（y -%）=。,
15、）-（乂-%）=。：.P Q 的斜率 k=X _）2=2玉一 马又直线/过P,Q,8三点，的方程为y l =2（x l）,即y =2 x-l.但若将y =2 x l代 入-；丁=1整理得方程2必 一 以+3 =0,而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.r2例5.已知椭圆匕+V=1,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.2解：设弦的两个端点分别为。（百,必）,。（,%），。0的中点为“（乂丁）则*犬=1,(1)”=1,一得：与 工+(犬-团=0,.号+咛K y +%)3/Z Xi K?又玉+x2=2 x,y +y2=2y,=2,：.x+4y=0.MF 弦中点轨迹在已知椭圆内，二所求弦中点的轨迹
16、方程为x+4y=0（在已知椭圆内）.例 6.直线/:以一）一（。+5）=0（。是参数）与抛物线/:y =（x+l）2的相交弦是A B,则弦A B 的 中 点 轨 迹 方 程 是.解：设 A（X,yJ、3（%2，%），4 3 中点M（x,y）,则玉+尤2 =2 x./：4（%1）-&+5）=0,；./过定点7（1,-5）,二阳8=KMN=5 .X 1又,=a+i）2,%=（/+1）2,（2）一得：X%=（%+1）（W+1）=（X*2）（4+工2 +2），kAB=%=7+2西一于是 =2 x+2,即 y=2 f 7.x-1弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为y=2/7（在已知抛物线内）
17、.x2例 7.（2021陕西咸阳市高三一模（理）已知双曲线C：。矿,2=1（。0力0）上存在两点A,3 关于直线y=x-6 对称，且线段A B 的中点坐标为“（2,-4）,则双曲线。的离心率为A.72 B.V3C.2D.V5解：方 法1：设Aa，y J,5（孙 必），且线段A 3的中点坐标为M（2,-4）,则 xt+x2=4,必 +%=-8,又A,5关于直线y =x-6对称，所以 2 1二&x l =-l,玉一/且A5在双曲线上,2 2 2 2X _&二 1%/下一 丁7相减可得与一与=。，即区*野2。,a b Q-b故:乌=0,即 乂 =2,a2 b2 a2离心率为e=/+4=6,故选B.、
18、b方法2：直接用结论，由于4,8关于直线丁=%一6对称，B P kAfi=-,kAB-k0M=-l x-4-0 b2 I 庐 r =丁 =2即离心率为e=l +=石，故选B.例8.（2 0 2 1.西藏昌都市第一高级中学高三期末（文）已知椭圆M+*=l（a b 0）,。（2,1）是椭圆M的一条弦A8的中点，点 尸（4,一 1）在直线上，求椭圆M的离心率,6A.-3B.23C.2变2解：方 法1 ：设则 2 2-+T T-1”,两 式 相 减 可 得2 2互+比=1故a2b20（内 尤2）（须+）_ （y-必）（乂 +必）a2b2（内+毛）；（x-%）（八4（凶+%）。（2,1）是 椭 圆 的
19、一 条 弦AB的中点故 西+=4,弘+必=2，代入（1）式中可得b2 _ yl-y2_k=2+La2 2 x1-x2 A B 2-4故有 6?=2 0 2=2（/c?）则。=&。，则=也a 2故选。方 法 2直接用结论，由于A,B,P,M 四点共线，即AB=kpM，kAB-kOD-1-1 1-0 14-2 2-0 21 b2 i二 k n =一 即 离 心 率 为2 a2 a2 2e-Jl-l,故选 Dx v例9.(2 0 2 1 .河南驻马店市高三期末(文)已知双曲线C:F-4=1(6 7 0/0)的离心率a b为直线/与C交于A,5两点，若线段A3的中点为P(4,3),则直线/的方程为A.
20、5x+3 y-2 9 =0B.5x 3y 1 1 =0C.3 x-5y+3 =0D.3 x+5y 2 8 02 2 2 2解：方 法1 ：设A(x，y),B(w，%)，则 乌 一 斗=1,乌-2=1，两 式 相 减 可 得a b a b(y y 2 y+%)=o 因 为 线 段45以 点P(4,3)为中点，所以o r 匚 匚1“%必 办+/”2 4 Z r e 不CR、缶.3 匚 匚%+工2=8,y+%=6,所以2=一7，因为C的离心率为一，所以x-x2 y+y2 cr 3a 2与=1 =，故 直 线/的 斜 率 为9,所 以 直 线/的 方 程 为y-3 =9(x-4),即a2 a2 4 3
21、 3、,5x-3 y-l l =0,经检验成立.故选B方 法2直 接 用 结 论即也5 3-0=1=须B=:，所以直线/的方程为y-3 =g(x 4),即5 x-3 y l l =0,经检验成立.故选8例 1 0.（2 0 2 1 江苏苏州市高三期末）已知双曲线C:2r的上、下顶点3分别为4，点 p在双曲线c 上（异于顶点），直线PA，P4的斜率乘积为3,则双曲线 c 的渐近线方程为y=x2D.y=2x解：方 法 1：设点（毛,）,又 4（0,。）,4（）,。），则即A =生 二 q,须&=迎幺所以/X。kP.-kPA=止 .及 =位 =3,又因为点p在双曲线0上得再一”=i,所以 x0 xG
22、 x0 4 cC b应 F=耳，故 应 F=g _=3,所以q=a2 b 片/4 b 2则双曲线。的渐近线方程为y=x=x.故选B方 法 2：直接用结论=二=。，所 以 =则 双 曲 线 C 的渐近线方程为处1%b2 4 b 2故选8例11.（2021贵州贵阳市.高三期末（理）过抛物线 2=4光的焦点的直线与抛物线交于A,5两点，若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于A.4 B.6 C.8 D.10解：方 法1：抛物线 2=4x的焦点坐标户（1,0）,准线方程:x=1,设AB的中点为M,过A,8,M作准线/的垂线，垂足分别为C,Q,N,则M N为梯形A8DC的中位线，I的=|AF|+|J3F
23、|=|AC|+B D =2|M N=2（x0+1）,直线A B过抛物线的焦点.可设直线A B的方程为：x=m y +1（m为常数），代入抛物线的方程消去x并整理得：丁 一4my-4 =0,设A 5的纵坐标分别为,当，线段4 5中点M（毛,%），则及）-=2 m =2,:.m=,直线 A B 的方程为 x=y+1,:.%=%+1 =2+1 =3,./阴=2（3+1）=8,故选C.方法2：直接用结论如,=2=1 =1211。即。=45,|/1网=3-=7=8.故券 2 sin2a（夜 丫选C27例 1 2.（2 0 2 1 上海杨浦区复旦附中高二期末）已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆：x2 v2
24、y +y=l ,设 它 的 三 条 边 AC的中点分别为O,E,例，且三条边所在线的斜率分别为4,修，&，且占#2，质均不为0 。为坐标原点，若直线的斜率之和为 L 贝 +；+V j rv2 3A-4B 3 C 1 8D,J C.-13D.-1解：方法 1:设 4（4,b）,8（孙 ），。（不，%），。（5 1），后（5 2/2），加（5 3/3），因为A,6在椭圆上，2 2所 以 五+五=1,4 32 2%+y2 T4 3两式相减得:内 一%2 4 x+为 44即 二3。同理可得-=，k2 3S2 k3 3s3所以1 1 1 _ 4口k后%31sl 2 S 3)因为直线。、OE、OM 的料率
25、之和为1,所以 I-1kx k2 43一。3 3故选A.方 法 2：直 接 用k2 k3111 4 41 即+=xl=一一.故选Ak k2 k3 3 3+一+一例13.（2021.福建龙岩市.高二期末）过点P（l,l）的直线/与双曲线三-2=1交于两点，且点P恰好是线段M N的中点，则 直 线/的 方 程 为.解：方 法1：过点P（l,l）的直线/与该双曲线交于M,N两点，两式相减可得：（玉 _ ）（玉+马）=万（苗+%）（y -%）因为P为皿N的中点,/.玉 +%=2,必 +%=2,:.2（xl-x2）=yl-y2,则所以直线/的方程为y 1 =2（%一1）,即为2x y 1=0.故答案为：
26、2x y-1=0.方法2：直接用结论号自0=*=勺=2 得勺=2,点斜式得答案一1 =2（%-1）即 2%y-l =O .、X V 1例1 4.（20 21河南高三月考（文）已知双曲线 与=1（。0/0）,斜率为一的直线/矿 h2 2交双曲线于M、M。为坐标原点，P为M N的中点，若OP的斜率为2,则双曲线的离心率为A.V 2 B.7 5 C.2 G D.4解：方 法 1 ：设 点”（ay）、N（,%），则 小巧 产,工 产 ，由题意，得滔耳=1,每 一 再=1,两式相减，得 生&一 式 W=o,整理得 4 二 号=4b a tr a b 右一x：ay+%所以“k-2%-M _%_ y _ b
27、 _ 夕 r 以 KOP KMN-r 一 r i，+-x2-X j x2-%j a2因此，双曲线的离心率为e =a拉，故选A.方 法 2:用结论一步到位勺.G=：ngx2 =:得 e =Jl +=VL故 选 A.2 2例 1 5.（20 20-天津高考真题）已知椭圆方+方=1（。方0）的一个顶点为4（0,-3）,右焦点为F,且|。4|=|0 ,0 为坐标原点.（1）求椭圆方程；（2）已知点C满足3OC=O F,点B在椭圆上（B异于椭圆的定点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段A6的中点，求直线AB的方程.2 2解 精 圆*+2 =1（。8 0）的一个顶点为4（0,-3）,:.b=
28、3,由|Q 4|=|O F|,得c =Z?=3,又由 a?=Z?2+c2,得2=3?+3?=1 8,2 2所以,椭圆的方程为工+匕=1;1 8 9方法1:（1 1）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以C P_ L A 5,根据题意可知，直线A B和直线C P的斜率均存在，设直线A B的斜率为k,则直线A B的方程为y+3=kx,y =kx-3,y=kx 3 =一3,得y =h -3=二，所以，点B的坐标为2k2+1k2+2 公+112k 6/3）、2宗+1 2左2十|因为P为线段AB的中点，点A的坐标为（0,-3）,所以点P的坐标为6k-32k2+1 2k2+1-02r+16k2%2+I
29、由3OC=OE得点C的坐标为（1,0）,所以,直线C P的斜率为32-一6 2+13,又因为C P_ L A B,所以左一 =-1,整理得2 K 6攵 +12-一3攵+1=0,解得攵 或左=1.2所以，直线AB的方程为y=；x-3或y=x-3.方法2:(H)直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以CP_L4S,根据题意可知,直线A B和直线C P的斜率均存在,设直线A B的斜率为k,则直线A B的方程为 y=Ax-3,设AB直线为y=-3,尸(.y),点差法结论(注意写出证明过程)易得%2=b 0）相交于A,8,若 是 线 段A B的中点，则椭圆C的离心率Q-b2为.2 2 2 2解 方 法
30、1：设A（2）,B（wM，则+今=1,2+条=1 ，M 是线段A B 的中点，=.直线A B 的方程是y=；（一 1）+1,乂一%=-；（%），过点加（1，1）作斜率为-；的直线与椭圆。：+2=1（a b 0）相交于A,B两点，M是线段A B 的中点，二（1）（2）两式相减可得肛 或+肛 或=0,即m=0.“=&.c.ea b2 a2 2)b2c _/2a 2方法2:直接用结论4=4.则与 即离心率为a 2 1-0 a a 2自我检测1.已知中心在原点，一焦点为尸（0,回）的椭圆被直线/:y=3 x-2截得的弦的中点的横坐标为L求椭圆的方程.22 2解:设椭圆的方程为2r+=1,则/一/=5
31、0 （1）a b设弦端点尸（%,必）、Q（孙 必），弦尸。的中点A1（x（），N o），则毛=,%=3 x0 _ 2 =_/工+工2=2/=1,y+%=2 yo=-1 又+i=i i+i=ia2*4 b2 b22 22.已知椭圆工+工=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4 x+/“，椭圆上4 3总有不同的两点关于该直线对称.解:设片（5,乂）,（工2，%）为椭圆上关于直线丁=4*+机的对称两点，P（x,y）为弦耳鸟的中点，则,3 x；+4 y；=1 2,3 x；+4 y；=1 2两式相减得（y+%）（X _%）+（玉+七）（百一巧）=0即电2（y _%）+，/（玉 _/）=02 2再_%
32、2 b b V2 2联 立（2）解得a2=15,b2=2 5所求椭圆的方程是/+卷=1两式相减得,3（片一名）+4（寸一）=0即3a+W）（X -W）+4（X +%）（X -8）=。翦 +&=2 x,y+y,=2y,X j -x2 4y=3 x这就是弦6A中点尸轨迹方程.它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内联立口=3、，得|y=4x+mm则必须满足/3-y=-3m 4即（3 m）2 3-?m 2,解得2V13 2V13-m-13133.若抛物线C：V=x上存在不同的两点关于直线/力二加G 3）对称，求实数，的取值范围.解：当机=0时，显然满足.当加工0时，设抛物线C上关于直线/:y=a（x-
33、3）对称的两点分别为产（入，乂）、。（孙），且尸。的中点为M（尤,%）,则犬=%，货=孙（2）（1）-（2）得：y：-=玉 _，,kpQ =大 一 y+%2%中点 M 伉,%）在直线/:y=/n（x-3）上，y0-/n（x0-3）,于 是%=g.中点在抛物线V=x区域内M/.y；XQ,即 1-,解得-J 10 m 0。0）被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为a b（2,1）,则 双曲线E的离心率为（）A.V 2 B.6 C.2 D.y5方法1:设A&,%）,8（孙必）代入双曲线方程作差有：（内 r JU +）=（X -3）（X +必）有=（凹一%）（%+%）=2,a2（%一%2）（%+）2所
34、以:=3,e =故选B.方法2:设A8中点为P用结论一步到位心8 j 8 =4 x合=2得e-J 1+=G.故选 B.5.（2 0 2 1-湖北武汉市-高考模拟（文）过点P（4,2）作一直线AB与双曲线r2。:三一丁句相交于人、B两点，若P为AB中点，则|知=（）A.2 x/2 B.2 6 C.3 6 D.4G方法1:易知直线A B不与y 轴平行,设其方程为y-2 =攵卜-4）2代入双曲线C:二 y2=i,整理得（I一 2左 2b2+8女（2攵 1）%-3222+32攵 10=（）设此方程两实根为和，则王+,巴又P（4,2）为AB的中点，所 以 拿 共8,解得k=l当左=1时,直线与双曲线相交
35、，即上述二次方程的（）,所求直线A B的方程为y-2=x-4 化成一般式为%y 2=0.%+/=8,玉 w=10/A却=血 I%,-,=叵 7 G-4（）=4/3.故选 D.方法2：设A8中点为P 用结论一步到位心8小。/）=心82/=4=!得心8=1.即直线1 7/t D A z/C /1 O4-0 a 2AB:y=x-2,与双曲线联立得X2-8X+10=0,|AB|=11+/,-X2|=Jl+肚避；42=4右.故选 I）.v-26.（2013-北京）已知A,3,C是椭圆W：+V=l 上的三个点，。是坐标原点.4当点8 是W的右顶点，且四边形Q4BC为菱形时，求此菱形的面积；（II）当点B不
36、是W的顶点时，判断四边形。钻C是否可能为菱形,并说明理由.解：（/）四边形。钻C 为菱形，B是椭圆的右顶点（2,0）直线AC是B O的垂直平分线,可得AC方程为x=1设A（l,r），得）+产=1,解之得”卓（舍负）一 乙.A的坐标为1,上，同理可得C的坐标为1,因此|A C|=6,可得菱形。3c的面积为S =(|4。卜 忸0|=6;(H)方法1:四边形O A 5 C为菱形，设|OA|=OC=r(r 1),得A、C两点是圆x2+y2=r2v-2%2与椭圆W：2+y2=l的公共点，解之得竺 =i4 4设A、C两点横坐标分别为补/，可得4。两点的横坐标满足尤1=%2=智 7,或 王=苦-77且 =一
37、 苦-7,3 3 3(1)当玉=I时,可得若四边形Q$C为菱形,则8点必定是右顶点(2,0)；(2)若 =J/T 且%=-V r2-1,贝！斗 +x2=0,可得AC的中点必定是原点O,因此A、O、C共线,可得不存在满足条件的菱形Q 4 B C综上所述,可得当点6不是W的顶点时，四边形O A 5 C不可能为菱形.方法2:直接利用结论后用断=,结束战斗!a 47.已知椭圆2 2X，X_/+从=l(ab0),过右焦点月(3,0)的直线交椭圆于A、3,且“(1,-1)是线段AB的中点，是椭圆左焦点，求A8的面积.1 3解析：易知直线A B:y=2，由椭圆第三定义可知2 2,/,-1-0-1-0 b2
38、b2 1L.自M=/（勤=4 肥）口口.行=/n/=5.c =3=分剖代人直线加k nyN=2kN（2k1+2-2k）-2k-N MN=2k2+2-=Mk2+2故直线MN方程为y=记1 一 2二-2)n y=j (x-4),故直线M N过定点(4,0)方法2:由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AC:y=M x-2),BO:y=L(x 2),由抛物线第三定义可知k M =P=2 6%=分别代入直线=川（1 +2|1 _ 一。-yN-P-6=一 2%N（2k2+2,-2k）7令 不+2=2d+2得女2 =1,k?此时乒+2=2女 2+2=4,故直线MN过点“(4,0),2 _()当
39、人%州 脑=言 9r占，输=占k1所以三点共线，所以直线MN过定点“(4,0).2 29.双曲线含-方=1,过点P(5,0)的直线4 8 和8 相互垂直(斜率存在)，M、N分别是AB和CD的中点.求证:直线MN过定点.方法1:设A B 直线为y=A:(x-5),M a,y),点差法结论(注意写出证明过程)易得8 0人 2=-k=a%1 6%1 6X=攵(-5)XI 二 z1 6 右一9,所以45k1 6-一 98 04 2 45k M -,-1 1 6 A 2 9 1 6&2-9)(1)当k=0 时，M 点即是P点,此时,直线MN 为x轴.当上0 0 时,将上式M点坐标中的左换成-L 同理可得
40、k(1)当直线MN不垂直于x 轴时，4 5%45k直线MN的斜率kM N=1需9%6滞21 6 公 9 1 6 9公1 67k其方程y-4 5%1 6 9公7k(8 0)1 6(l-)r-1 6 9F j，化简得y以直线 N过定点(2)当 直 线 垂 直 于 x 轴时,8 08 0 T1 6-9/-1 6 公 9,此时，左=1,直 线 也 过 定8 0点|、兰,0.综上所述，直线MN过定点|苧 0).77方法2:设AB直线为y=5),M(%,y),点差法结论(注意写出证明过程)易K 9 L=8 0/得=f叱”所以a X1 1 6 _/x _ 45kt(8 0/r2 4 5左(1 6 女 2 9
41、 16k2-9 J当上=0时，M点即是P点,此时,直线MN为x轴.(2)当人式0时,将上式M点坐标中的左换成-士同理可得K8 0.理，1 6 9-16k2 9得攵2=1,设MN过定点”山川 8 0 8 0公 8 0止匕时-7=-5 =1 6 9/原2 _9 7故直线MN过点当公。1时，kM H45电 _0-45攵 _0,1 6 芯 9 7k =1 6 9公 7k一 80公 8 0 1 6（1-公），而-80 _ 8 0-1 6（1 二1 6 P-9 7 1 6 9 公 7所以左N三点共线，所以直线MN过定点”2 21 0.椭圆?+餐=1,过点尸(1,0)的直线AB和CO相互垂直(斜率存在)，M
42、、N分别是AB和CO的中点.求证:直线MN过定点方法1:设A B 直线为y =1),加(5,凶)，点差法结论(注意写出证明过程)易得,b2”，3_。“5一 二 其 山-广X 4y =%(%1)48 3+耿、所以-3k/4公-3k 1 3+4 小 3+4/,(1)当k=0 时，M 点即是尸点，此时，直线MN为x 轴.当 左 时,将 上 式 M 点坐标中的左换成-;同理可得k(3公+4 3H+4)(1)当直线MN不垂直于x 轴时,直线MN的斜率3 加3 k -3k3新富一 5+4 公 7k4_ 4女 2 -4(1-)12)342+4-3+4修其方程y-Tr=-3+4 左 2 4(1-切4公X-7I
43、 3+4叱，化简得y，所以直线MN过定点4 4户(2)当直线MN垂直于x 轴时，一、=-亍，此时，4=1,直线MN也过定点3A 2+4 3+4二综上所述,直线MN过定点方法2:设AB直线为尸左卜-1),V(%,凶)，点差法结论(注意写出证明过程)易得y.34k2f l/y 3 _MM =2=卜=-=k=%4 Ax3+W ,所以a x 4y=M%T)y 3k一3+42 2(4k2 3k、1 3+4/3+4吃当左=0时，M点即是尸点，此时，直线MN为x轴.(2)当左二0时,将上式M点坐标中的左换成-L同理可得NK4 3k、33+4 3 公+4,令 4 4k23k2+4 3+4&2得二=1,设MN过定点此时43k2+44k 23+4k2=,故直线MN过点当女2 H l时，W nb3+4/一 -7%4炉 4-4 女 2 4 3+4/7-9-0 1/3k2+4 一 -7k4 4 _4A:2-43 F+4 -7所 以%=%，V，N三点共线，所以直线MN过定点化0V 7