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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（陕 西 卷）文 科 数 学 选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.（本 大 题 共 1 0小 题，每 小 题 5 分，共 5 0分）.1.设 集 合 M=xx2=x,N=x|lgxW0,贝 111M U N=（）A.o,ij B.（o,ij C.0,1）D.（-oo,ij【答 案】A流 题 分 析：由 拉=可/=河=0 2，=x|lg x 4 0=N=x|0 x 4 1.所 以 MUN=0，故 答 案 选 X.考 点：集 合 间 的 运 算.2.某 中 学
2、初 中 部 共 有 110名 教 师，高 中 部 共 有 150名 教 师,其 性 别 比 例 如 图 所 示，则 该 校 女 教 师 的 人 数 为（）【答 案】C【解 析】试 题 分 析：由 图 可 知 该 校 女 教 师 的 人 数 为 110 x70%+150 x(1-60%)=77+60=137故 答 案 选 c考 点：概 率 与 统 计.3.已 知 抛 物 线 2=2，x(p0)的 准 线 经 过 点(T 1),则 抛 物 线 焦 点 坐 标 为()A.(-i,o)B.(i,o)C.(o,-i)D.(0,1)【答 案】B【解 析】试 题 分 析：由 抛 物 线)2=2px(p0)得
3、 准 线 x=因 为 准 线 经 过 点(-1,1),所 以 P=2,所 以 抛 物 线 焦 点 坐 标 为(1,。)，故 答 案 选 B考 点：抛 物 线 方 程.4.设/(%)=11一 日*，贝 1/(/(_2)=()2,x4 2 2【答 案】C 解 析】就 题 分 析：因 为/(2)=2=1,所 以 一 2)=/()=l_ C=_；=g,取 答 案 选 C,考 点：1.分 段 函 数；2.函 数 求 值.5.一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为()A.31t B.4%C.2zr+4 D.3zr+4【答 案】。【解 析】试 题 分 析：
4、由 几 何 体 的 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 圆 柱 的 截 去 一 半，所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 为%x lx 2+g x;rx F x 2+2x2=3%+4,故 答 案 选。考 点：1.空 间 几 何 体 的 三 视 图；2.空 间 几 何 体 的 表 面 积.6.sin a=cos a 是 co s2 a=0 的()A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 充 分 必 要 条 件。既 不 充 分 也 不 必 要【答 案】A【解 析】,斌 题 分 析：cos2a=0=cos2 tz-sin*z=0=(c o s a-sin aXcos
5、a+sin a)=0,所 以 sina=co sa或 s in a=-c o s a,故 答 案 选 考 点：1.恒 等 变 换；2.命 题 的 充 分 必 要 性.7.根 据 右 边 框 图，当 输 入 人 为 6 时，输 出 的 y=()A.1 B.2 C.5 D.io【答 案】D【解 析】试 题 分 析：该 程 序 框 图 运 行 如 下：x=6-3=3 0,x=3-3=0,x=0-3=-3 0,y=(-3)2+l=10,故 答 案 选。.考 点：程 序 框 图 的 识 别.8.对 任 意 向 量 蓊，下 列 关 系 式 中 不 恒 成 立 的 是()A.abab B.a-b a-b C
6、.(a+b)2 a+bD.(a+h)(a-b)=a-b【答 案】BB 1试 题 分 析*因 为 所 以 X选 项 正 确；当。与 否 方 向 相 反 时，3选 项 不 成 立，所 以 3选 项 错 误：向 量 平 方 等 于 向 量 横 的 平 方，厮 以 C选 项 正 确；而+取-不)=京-六 所 以。选 属 正 确，故 答 寨 选 8.考 点：1.向 量 的 模；2.数 量 积.9.设/(幻=x-sinx,贝 lj/(x)=()4 既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 B.既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 C.是 有 零 点 的 减 函 数 D.是 没 有 零 点 的 奇 函 数【
7、答 案】B【解 析】试 题 分 析：/(%)=x sin x n/(-x)=(一 九)-sin(-x)=一%+sin 九=一(x-sin x)=一/(x)又/(X)的 定 义 域 为 火 是 关 于 原 点 对 称，所 以“X)是 奇 函 数；f x)=l-c o sx 0=/(X)是 增 函 数.故 答 案 选 8考 点：函 数 的 性 质.1 0-设/(x)=ln x,0 a b,若 p=f(4正),q=于(二),r=；(/(a)+/(b),则 下 列 关 系 式 中 正 确 的 是()A.q=r p G p=r q【答 案】C【解 析】试 题 分 析：p-f(4 a b)-n/a b x
8、ab；q=/(；)=In；r=g(/()+/0)=ln ab因 为 与 疝，由/(x)=ln x是 个 递 增 函 数，/(审)/(向)所 以 叱 P”,故 答 案 选 C考 点：函 数 单 调 性 的 应 用.1 1.某 企 业 生 产 甲 乙 两 种 产 品 均 需 用 4 夕 两 种 原 料，已 知 生 产 1 吨 每 种 产 品 需 原 料 及 每 天 原 料 的 可 用 限 额 表 所 示，如果 生 产 1吨 甲 乙 产 品 可 获 利 润 分 别 为 3 万 元、4 万 元，贝 IJ该 企 业 每 天 可 获 得 最 大 利 润 为()甲 乙 原 料 限 额 A（吨）3 2 12B
9、(吨)1 284 12万 元 8 16万 元 C.17万 元 18万 元【答 案】D【解 析】,试 题 分 析：设 该 企 业 每 天 生 产 甲 乙 两 种 产 品 分 别 x,了 吨，则 利 润 z=3x+4yI x 2 0 j 之 0由 题 意 可 列，3 x+2 y 4 1 2,其 表 示 如 图 阴 影 部 分 区 域：x+2y 48当 直 线 3x+4 y-z=0过 点 A(2,3)时，z取 得 最 大 值 z=3x24-4x3=18故 答 案 选。考 点：线 性 规 划.1 2.设 复 数 z=(%-1)+yi(x,ye R),若|z|Wl,贝 的 概 率()A.+-L B.1+
10、1 C.1L D.1-14 2%2 4 2%2 T V【答 案】C【解 析】试 题 分 析：z=(x-l)+yi=|z|=y(x-V)2+y2 1=(x-1)2+y2 1如 图 可 求 得 A(l,l),8(1,0),阴 影 面 积 等 于 xl2_gxixl=f4 2 4 2冗 1若|z|,贝 I 的 概 率*7TXV 4 2 故 答 案 选 c考 点：1.复 数 的 模 长；2.几 何 概 型.二 填 空 题：把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 题 号 后 的 横 线 上(本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5分).13、中 位 数 为 1010的 一 组 数
11、构 成 等 差 数 列，其 末 项 为 2015,则 该 数 列 的 首 项 为【答 案】5【解 析】试 题 分 析 若 这 组 数 有 2”+1个，则 a.4=1010,0,=2015.又=所 以 5=5；若 这 组 数 有 2 个，则=1010 x2=2020,a2n=2015.又 所 以.=5,取 答 案 为 8.考 点：等 差 数 列 的 性 质.14、如 图，某 港 口 一 天 6 时 到 1 8时 的 谁 深 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 y=3 s/,(g x+0)+，据 此 函 数 可 知，这 段 时 间 水 深(单 位：质 的 最 大 值 为.【解 析】试 题 分
12、析：由 图 像 得，当 sin(%+)=-1时。=2,求 得 攵=5,6当 sin(gx+中)=1 时，为 ax=3xl+5=8,故 答 案 为 8.6考 点：三 角 函 数 的 图 像 和 性 质.15、函 数 产 旄、在 其 极 值 点 处 的 切 线 方 程 为.【答 案】)=e【解 析】/题 分 析：y=/(x)=wX n/*(x)=(l+x)/,令/(x)=0nx=_l,/(-1)=-Be函 数 p=在 其 极 值 点 处 的 切 线 方 程 为 v=-考 点：导 数 的 几 何 意 义.16、观 察 下 列 等 式：据 此 规 律，第 个 等 式 可 为，【答 案】1一 捐 一 卜
13、+上 一 9.*+?【解 析】试 题 分 析：观 察 等 式 知：第 个 等 式 的 左 边 有 2 个 数 相 加 减,奇 数 项 为 正，偶 数 项 为 负，且 分 子 为 1,分 母 是 1到 2 的 连 续 正 整 数，等 式 的 右 边 是+,+4.n+1 n+2 2 故 答 案 为 1-+-+-+1-=+2 3 4 2/7-1 2n n+1 n+2 In考 点：归 纳 推 理.三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤（本 大 题 共 6 小 题，共 75分）17.AA8C的 内 角 所 对 的 边 分 别 为 a/,c,向 量 而=（。
14、,6 勿 与 n=（cos A,sin B）平 彳 丁.求 A；（I I）若 力=2求 AA5C的 面 积.【答 案】（D A=|；（H）亭.TmftT.B 1洸 照 分 析,（1 烟 为 所 以。$加 耳 一 点 i 8 s=0,由 正 弦 定 理，器 sinXsin方 一 JJsin9cos/=0，又 G nBwO,从 而 tan/=石，由 于 0 乂；1,所 以 b知/8,所.2 2 吟 sinl?7以 8 5月=孚，由 如。=可/+勒=S 皿 夕+令，计 皙 得 如。=苇 1,所 以 AXBC面 积 为 上 sinC=辈.1 2 试 题 解 析：（I）因 为 7，所 以 q sin 3
15、-V3/?cos A=0由 正 弦 定 理，sin Asin B-V3 sin Bcos A=0,又 sin 5 w 0,从 而 tan A=V3,由 于 0 A 0,所 以 c=3,故 AABC面 积 为 L e s in A=地.2 2解 法 二：由 正 弦 定 理，得 五=三 sin&smB3从 而 sin B-7又 由 4/?知/1 8,所 以 cos B-故 sin C=sin(A+8)=sin(B+y)=sinB cos-+cosB sin-=,3 3 14所 以 A B C面 积 为-a h sin C=地.2 2考 点：1.正 弦 定 理 和 余 弦 定 理；2.三 角 形 的
16、 面 积.1 8.如 图 1,在 直 角 梯 形 ABCD 中，AD/BC,NBAD=?A B=B C=；AD=a,E是 A。的 中 点,。是。C与 BE的 交 点，将 沿 BE折 起 到 图 2 中 的 BE的 位 置，得 到 四 棱锥 4-BCDE.证 明：。，平 面 4；(I I)当 平 面 A 8 E，平 面 BCDE时，四 棱 锥 4-B C D E的 体 积 为 3672,求 a的 值.r 酵 析】11试 题 分 析：幽 1中,因 为 祁=8C=；.4D=a,E是 XZ)的 中 点，=所 以 四 边 形 X5CE上 正 方 形，故 B E J./C,又 在 图 2 中，BEAfl,
17、BE _ O C.从 而 H_1_平 面 4。0,又 D E U B C 且.D E=B C.所 以 CD B E,即 可 证 得 8 一 平 面。?,(I I)由 已 知，平 面 4 B E J.平 面 BCDE,且 平 面 A B E P I平 面 BCDE=BE,又 由(I)知，A。所 以 A 0_L平 面 B C D E,即 A。是 四 棱 锥 4-BCDE 的 高，易 求 得 平 行 四 边 形 BCDE面 积 S=BC AB=a 从 而 四 棱 锥 4-BCDE 的 为 V=-xSxAlO=a 由-a3=36/2 9 得=6.6试 题 解 析：在 图 1中，因 为 45=3。=1
18、切=，E是 ND的 中 点 27 TZBAD=-,所 以 3 E 一,4C,2即 在 图 2 中，B E-A f izBE-0 C从 而 BE _ L平 面 AfiC又 CD H BE所 以 CD J L平 面 4。.(I I)由 已 知，平 面 A8E_L平 面 BCDE,且 平 面 A E n平 面 BCDE=BE又 由 知，A。工 BE,所 以 4。_ L 平 面 BCDE,即 A 0是 四 棱 锥 4-BCDE 的 高，由 图 1 可 知，AQ=*AB=*a,平 行 四 边 形 8 c D E面 积 S=BCAB=a2,从 而 四 棱 锥 4-BCDE的 为 V=x S x A(?=X
19、 6z?x a=-a3,3 3 2 6-a3=36-72)4 a=6.6考 点：1.线 面 垂 直 的 判 定；2.面 面 垂 直 的 性 质 定 理；3.空 集 几 何 体 的 体 积.19.随 机 抽 取 一 个 年 份，对 西 安 市 该 年 4 月 份 的 天 气 情 况 进行 统 计，结 果 如 下:日 期 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415天 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3期 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0天 Z=7晴 阴 雨 阴 阴 晴
20、阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 在 4 月 份 任 取 一 天，估 计 西 安 市 在 该 天 不 下 雨 的 概 率；(II)西 安 市 某 学 校 拟 从 4月 份 的 一 个 晴 天 开 始 举 行 连 续 两 天 的 运 动 会，估 计 运 动 会 期 间 不 下 雨 的 概 率.【答 案】(|)(II)Z.15 o【解 析】试 题 分 析：(I)在 容 量 为 30的 样 本 中，从 表 格 中 得，不 下 雨 的 天 数 是 26,以 频 率 估 计 概 率，4 月 份 任 选 一 天，西 安 市 不 下 雨 的 概 率 是=*(II)称 相 邻 两 个 日 期 为“互 邻 日
21、 期 对”(如 1 日 与 2 日，2日 与 3 日 等)这 样 在 4 月 份 中，前 一 天 为 晴 天 的 互 邻 日 期 对 有 16对，其 中 后 一 天 不 下 雨 的 有 14个，所 以 晴 天 的 次 日 不 下 雨 的 频 率 为 号 以 频 率 估 计 概 率，运 动 会 期 间 不 下 雨 的 16 8概 率 为 O试 题 解 析：(I)在 容 量 为 30的 样 本 中，不 下 雨 的 天 数 是 26,以 频 率 估 计 概 率，4 月 份 任 选 一 天，西 安 市 不 下 雨 的 概 率 是 13(II)称 相 邻 两 个 日 期 为“互 邻 日 期 对”(如 1
22、 日 与 2 日，2日 与 3 日 等)这 样 在 4 月 份 中，前 一 天 为 晴 天 的 互 邻 日 期 对 有 16对，其 中 后 一 天 不 下 雨 的 有 14个，所 以 晴 天 的 次 日 不 下 雨 的 频 率 为 入 O以 频 率 估 计 概 率，运 动 会 期 间 不 下 雨 的 概 率 为 J8考 点：概 率 与 统 计.20.如 图,椭 圆 言+方=1(60)经 过 点 4(0,-1),且 离 心 率 为 多(I)求 椭 圆 E的 方 程；(II)经 过 点(M),且 斜 率 为 k的 直 线 与 椭 圆 E交 于 不 同 两 点 P,。(均 异 于 点 A),证 明：
23、直 线 AP与 A0的 斜 率 之 和 为 2.2【答 案】(I)f o2=l；(II)证 明 略，详 见 解 析.【解 析】试 题 分 析：由 题 意 知 l 也/=1,由/=+,2,解 得 亚，a 2继 而 得 椭 圆 的 方 程 为:+丁=1;(I I)设(2必),。(工 2%)，中 2。由 题 设 知，直 线 P。的 方 程 为 y=Z(x-1)+1(狂 2),代 入 2y+y2=1,化 简 得(1+2k2)x2-4k(k-)x+2k(k-2)=0,则 W-l)2 k(k-2)由 已 知(),从 而 直 线 A P 与 A Q 的 斜 率 之 和.y,+1%+1 kx、+2 Z kXj
24、+2 Z P+A Q=-+2 2=-+一-X x2 x x化 简 得 女“+心 0=2 攵+(2 幻=2 攵+(2 左=(2Z 1)=2.xxx2 2 k(k-2)试 题 解 析：由 题 意 知=当 力=1,a 2综 合 C i=b2+c2,解 得 a=y/2,所 以，椭 圆 的 方 程 为：+/=.(I I)由 题 设 知，直 线 P Q的 方 程 为 y=k(x-1)+1(A：#2),代 入：+)，得(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由 已 知(),设，xx2 W 0则 X+x2-w-l),x,x2k(k-2)9=-1+2/c2-l+2k29从 而 直 线 A P与
25、 A 0的 斜 率 之 和,y.+1%+1 kx,+2-k kx)+2-kkAP+kAQ=-+-=1-+-X x2 X X j=2k+(2-k)+=2k+(2-幻 土 乜 x2 J xx2=2k+(2-k)=2k-(2k-l)=2.考 点：1.椭 圆 的 标 准 方 程；2.圆 锥 曲 线 的 定 值 问 题.2 1.设 0(x)=X 4-x2 H-xn-l,ne N,n 2.求 4(2)；(II)证 明：力 在。,胃 内 有 且 仅 有 一 个 零 点(记 为),且 0%毕.2 3 0【答 案】(I)/：=(-1)2”+1;(II)证 明 略，详 见 解 析.【解 析】试 题 分 析：由 题
26、 设/：(x)=l+2x+加 1,所 以 斤=1+2x2+2”T,此 式 等 价 于 数 列 2 E 的 前 项 和，由 错 位 相 减 法 求 得 方=(-1)2+1；(I I)因 为/(0)=-1l-2x(|)0,所 以 力(%)在(0。)内 至 少 存 在 一 个 零 点，又/：(%)=1+2%+nxnl 0,所 以(x)在(0,|)内 单 调 递 增，因 此，(x)在(0彳)内 有 且 只 有 一 个 零 点%,由 于 工(x)=?1,所 以 0=力 4)=；一 1,由 此 可 得 1-X 1-%ci1 1 n+1 1n I-%n 2 2 2故 继 而 得。；义=1x 试 题 解 析：
27、（I）由 题 设=1+2x H-F njc,所 以/；=1+2x2+2“T 由 2/：（2）=lx2+2x22+2-得 一 4=1+2+2?+2-2-,2=（1-）2-1，所 以/；（2）=（n-l）2+l（I I）因 为/（0）=-1 0 j3所 以 力 在（0日 内 至 少 存 在 一 个 零 点，又（幻=1+2%+nxnx 0所 以 以 X）在（。中 内 单 调 递 增，因 此，力（X）在（0 3 内 有 且 只 有 一 个 零 点 为，由 于 以 幻=4 一,1-X所 以=肾 T由 此 可 得%=g+ga尸 故 4|所 以。4x考 点：1.错 位 相 减 法；2.零 点 存 在 性 定
28、 理；3.函 数 与 数 列.考 生 注 意：请 在 22、23、2 4三 题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分，作 答 时 用 2 B铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 的 题 是 以 后 的 方 框 涂 黑.2 2.选 修 4 7：几 何 证 明 选 讲 如 图，A3切 口。于 点 8,直 线 A。交 口 0于。,两 点，BCDE,垂 足 为 C 证 明：NCBD=NDBA(I l)AD=3DC,BC=y/2t 求 口。的 直 径.【答 案】(I)证 明 略，详 见 解 析；(11)3.【解 析】试 题 分 析：(I)因 为。E
29、是 口。的 直 径，则 ZBED+ZEDB 90,又 BC2DE,所 以 ZCBD+ZEDB=90,又 A3 切 口 0 于 点 3,ZDBA=ZBED,所 以 ZCBD=NDBA；）由（I）知 平 分“明，则 袅=更=3,又 BC=0,从 而 D C CDAB=30,AB2=BC2+AC2,解 得 AC=4,所 以 AO=3,由 切 割 线 定 理 得 AB?=A。A E,解 得 A E=6,故 O E=A E-A O=3,即 口。的 直 径 为 3.试 题 解 析：因 为。E是 口。的 直 径，贝 I ABED+NEDB=90又 BC I D E,所 以 NC3O+NEO8=90又 A 3
30、切 口。于 点 8,得 NDBA=NBED所 以 NCBO=NO8A(I I)由 知 B O平 分 NCBA,则 丝=必=3,BC CD又 8C=/，从 而 AB=3 g,所 以 AC=A B2-B C2=4所 以 AQ=3,由 切 割 线 定 理 得 A*即 AE=AB2AD=6,故 D E=A E-A D=3,即 口。的 直 径 为 3.考 点：1.几 何 证 明；2.切 割 线 定 理.23.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程c 1x=3+一，在 直 角 坐 标 版 权 法 X。)，吕，直 线/的 参 数 方 程 为 2 ay=t 2为 参 数)，以 原 点 为 极 点 轴
31、的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,C的 极 坐 标 方 程 为 0=2 6 s in夕.(I)写 出 口 C的 直 角 坐 标 方 程；(II)尸 为 直 线/上 一 动 点，当 P到 圆 心。的 距 离 最 小 时，求 点 P的 坐 标.【答 案】(I)x2=3；(I I)(3,0).【解 析】试 题 分 析：由=26 sin。,得 p，=2也 pstn。,从 而 有 丁=2岛，所 以 盗+卜 一 码 2=3(I I)设 P13+,又 C(0,V 3),则|PC|=J 3+5+t-G=V/2+12,故 当 r=0时，|PC|取 得 最 小 值，此 时 P点 的 坐 标 为(
32、3,0).试 题 解 析：(I)由 p=2A/5sin%得 p2=2再 osin。,从 而 有 一+丁=2 6 y所 以 下+卜 _0)2=3)设 p 3+又 C(0,g),贝 lJ|PC|=4 3+g+争 一 6=4+12,故 当/=0时，|PC|取 得 最 小 值，此 时 P点 的 坐 标 为(3,0).考 点：1.坐 标 系 与 参 数 方 程；2.点 与 圆 的 位 置 关 系.24.选 修 4-5：不 等 式 选 讲 已 知 关 于 x的 不 等 式|x+a|的 解 集 为 x2 x 4(I)求 实 数。力 的 值；(I I)求 777五+而 的 最 大 值.【答 案】(I)a=-3
33、,b=l；(I I)4.【解 析】试 题 分 析：由|x+水 b,得-b-axb-a 由 题 意 得 一 71 1 b-a=4解 得。=-3力=1；(I I)柯 西 不 等 式 得-3t+12+yt yj?)J4-+yt J(+1(J4-i)+(yjl)=2yl 4-f+/=4,当 且 仅 当 手=，即/=1时 等 号 成 立，故(7=37712+)“=4.试 题 解 析:由 k+H 心 得-b-axb-a贝”，一“二 2,解 得“。一。=4(II)J-3/+12+yt/3，4-f+yt 7t(V3)2+12(V47)2+(V/)7=2j4-r+r=4当 且 仅 当 年 I=*即 y 1时 等 号 成 立,V3 1(y j-3t+12+t 4 f m in考 点：1.绝 对 值 不 等 式；2.柯 西 不 等 式.