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1、20112011 年陕西高考文科数学真题及答案年陕西高考文科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分）1 设a，b是向量，命题“若 ab，则ab”的逆命题是（）A.若 ab，则|abB.若 ab，则|abC.若|ab，则 abD.若ab，则 ab【参考答案】D2 设 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点，准 线 方 程 为2x ，则 抛 物 线 的 方 程 是（）A.28yx B.24yx C.28yx（D）24yx【参考答案】C3.设0ab，则下列不等式中正确的是()A.2abababB.2abaabbC.2
2、abaabbD.2ababab【参考答案】B4.函数13yx的图像是（）A.B.C.D.【参考答案】B5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.283B.83C.82D.23【参考答案】A6.方程cosxx在,内（）A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根【参考答案】C7.如右框图，当126,9,xx8.5p 时，3x等于（）A.7B.8C.9D.11.【参考答案】B8.设集合22|cossin|,My yxxx R，|1ixNx，i为虚数单位，xR R，则MN为（）A.(0,1)B.(0,1C.0,1)D.0,1【参考答案】C9设1122(,),(,),x yx
3、y，(,)nnxy是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）A.直线l过点(,)x yB.x和y的相关系数为直线l的斜率C.x和y的相关系数在 0 到 1 之间D.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【参考答案】A10植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A.1 和20B.9 和10C.9 和11D.10和1
4、1【参考答案】D二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11设lg,0()10,0 xx xf xx，则(2)f f _.【参考答案】2【解答】由2x 算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于 0,；再判断(2)f 作为自变量的值时的范 围，最 后 即 可 计 算 出 结 果 20 x ，21(2)100100f，所 以22(10)lg102f，即(2)2f f 12如图，点(,)x y在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_.【参考答案】1【解答】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪
5、一个点时取得最小值目标函数2zxy，当0 x 时，zy，所以当y取得最大值时，z的值最小；移动直线20 xy，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时2 1 11z 13观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为_.【参考答案】56789 10 11 12 1381（或561381）【解答】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是21n；等式右边都是完
6、全平方数，行数等号左边的项数1=1112+3+4=9233+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=4947则第 5 行等号的左边有 9 项，右边是 9 的平方，所以2565(2 5 1)19，即56138114设n+N，一元二次方程240 xxn有整数根的充要条件是n【参考答案】3或4【解答】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算41642nx24n，因为x是整数，即24n为整数，所以4n为整数，且4n，又因为n+N，取1,2,3,4n 验证可知3,4n 符合题意；反之3,4n 时，可推出一元二次方程240 xxn有整数根15（考生注意：请在下列三题中任
7、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若不等式|1|2|xxa对任意xR R 恒成立，则a的取值范围是【参考答案】(,3【解答】先确定|1|2|xx的取值范围，则只要a不大于|1|2|xx的最小值即可当1x时，|1|2|12213xxxxx ；当12x 时，|1|2|123xxxx；当2x 时，|1|2|12213xxxxx ；综上可得|1|2|3xx，所以只要3a，即实数a的取值范围是(,3B（几何证明选做题）如图，BD，AEBC，90ACD，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=【参考答案】2【解答】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解因
8、为AEBC，所以AEB=90ACD，又因为BD，所以AEBACD，所以ACADAEAB,所以6 4212AB ACAEADC（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B分别在曲线1C：3cossinxy（为参数）和曲线2C：1上，则|AB的最小值为【参考答案】1【解答】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程曲线1C的方程是22(3)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以|AB的最小值为22301 11 三三解答题解答题：接答应写出文字说明接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤（本大
9、题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7575 分分）16.（本小题满分 12 分）如图，在ABC中，45ABC，90BAC，AD是BC上的高，沿AD把ABC折起，使90BDC（1）证明：平面ADB 平面BDC；（2）设1BD，求三棱锥DABC的表面积。【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理及空间想象能力与推理论证能力.【考查方式】已知线线关系、角的度数，求面面垂直及三棱锥的体积.【解答】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算（1）折起前A
10、D是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD 平面BDC，又AD平面BDC.平面ADB平面BDC（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,1DBDADC，2ABBCCA,111 122DAMDBCDCASSS 1322sin6022ABCS 三棱锥D ABC的表面积是13333.222S 17.（本小题满分 12 分）设椭圆C:222210 xyabab过点(0,4)，离心率为35（1）求C的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标【测量目标】椭圆方程的定义与应用,中点坐标公式的求解.【考查方式】给出椭圆方程的离心率，求椭圆的标准方
11、程.【解答】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解（1）将点(0,4)代入C的方程得2161b,4b,又35cea得222925aba，即2169125a，5a C的方程为2212516xy.（2）过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与C的交点为11,x y，22,xy，将直线方程435yx代入C的方程，得22312525xx，即2380 xx，解得13412x，23412x，AB的中点坐标12322xxx，1212296255yyyxx，即所截
12、线段的中点坐标为39,25注：用韦达定理正确求得结果，同样给分18.（本小题满分 12 分）叙述并证明余弦定理.【测量目标】余弦定理的定义、性质与理解.【考查方式】通过叙述并证明余弦定理.【解答】叙述：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在ABC中，,a b c为,A B C的对边，有2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.证明：（证法一）如图，2aBC BC =ACABACAB 第 18 题图（1）=22ACAC ABAB =22cosACAC ABAAB =222cosbbcAc即2222c
13、osabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC（证法二）已知ABC中，,A B C所对边分别为,a b c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)C bA bA B c，222222222|(cos)(sin)cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA222cosbcbcA，即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC19.（本小题满分 12 分）如图，从点1(0,0)P做x轴的垂线交曲线exy 于点1(0,1),Q曲线在1Q点处的切线与 x轴交于点2P，再从2P做x轴
14、的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,.;,nnPQ PQP Q记kP点的坐标为(,0)(1,2,.,)kxkn.（）试求kx与1kx的关系(2)kn（）求112233.nnPQPQPQPQ的和【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】考查了导数在研究函数中的应用.【解答】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|nnPQ的表达式，然后再求和（）设11(,0)kkPx，由exy 得111(,e)kxkkQx点处切线方程为：111ee()kkxxkyxx由0y 得11(2)kkxxkn.（）110,1kkxxx，得(1)kxk，(
15、1)eekxkkkPQ112233.nnnSPQPQPQPQ112(1)11 eee1 ee.e1 ee 1nnn 20.（本小题满分 13 分）如图，A地到火车站共有两条路径1L和2L，现随机抽取 100 位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）10202030304040505060选择1L的人数612181212选择2L的人数0416164（1）试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；（2）分别求通过路径1L和2L所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过
16、计算说明，他们应如何选择各自的路径.【测量目标】几何概率的特点与性质.【考查方式】几何概率在生活问题中的应用.【解答】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径（1）由已知共调查了 100 人，其中40 分 钟 内 不 能 赶 到 火 车 站 的 有12+12+16+4=44 人，用频率估计相应的概率为 0.44.（2）选择1L的有 60 人，选择2L的有 40 人，第 20 题 Yxj 51故由调查结果得频率为：所用时间（分钟
17、）10202030304040505060选择1L的人数0.10.20.30.20.2选择2L的人数00.10.40.40.1（3）用1A，2A分别表示甲选择1L和2L时，在 40 分钟内赶到火车站；用1B，2B分别表示乙选择1L和2L时，在 50 分钟内赶到火车站由（2）知1()P A=0.1+0.2+0.3=0.6，2()P A=0.1+0.4=0.5，1()P A2()P A，甲应选择路径1L；1()P B=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，2()P B=0.1+0.4+0.4=0.9，2()P B1()P B，乙应选择路径2L.21.（本小题满分 14 分）设()lnf xx，(
18、)()()g xf xfx（1）求()g x的单调区间和最小值；（2）讨论()g x与1()gx的大小关系；（3）求a的取值范围，使得()()g ag x1a对任意x0 成立【测量目标】对数函数的性质，利用导数判断函数的单调性.【考查方式】已知函数，求其单调区间和最小值.【解答】（1）先求出原函数()f x，再求得()g x，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x0 成立的恒成立问题转化为函数()g x的最小值问题【解】（1）由题设知1()ln,()lnf xx g xxx，
19、21(),xg xx令()g x0 得x=1，当x（0，1）时，()g x0，()g x是减函数，故（0，1）是()g x的单调减区间。当x（1，+）时，()g x0，()g x是增函数，故（1，+）是()g x的单调递增区间，因此，x=1 是()g x的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x的最小值为(1)1.g(2)1()lngxxx 设11()()()2lnh xg xgxxxx，则22(1)()xh xx，当1x 时，(1)0h，即1()()g xgx，当(0,1)(1,)x时，()0h x，因此，()h x在(0,)内单调递减，当01x时，()(1)0h xh即1()().g xgx1x 时，()(1)0h xh即1()()g xgx.（3）由（1）知()g x的最小值为 1，所以，1()()g ag xa，对任意0 x，成立1()1,g aa 即ln1,a 从而得0ae.