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1、2 0 1 0 年 陕 西 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的（本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分）.1.集 合 A 1 2 x x，B 1 x x,则 A B=(A)1 x x（B）1 2 x x(C)1 1 x x（D）1 1 x x 2.复 数 z=1ii 在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于(A)第 一 象 限（B）第 二 象 限（C）第 三 象 限（D）第 四 象 限3.函 数()2sin cos f x x x 是(A)最 小
2、正 周 期 为 2 的 奇 函 数（B）最 小 正 周 期 为 2 的 偶 函 数(C)最 小 正 周 期 为 的 奇 函 数（D）最 小 正 周 期 为 的 偶 函 数4.如 图，样 本 A 和 B 分 别 取 自 两 个 不 同 的 总 体，它 们 的 样 本 平 均 数 分 别 为A Bx x 和,样 本 标准 差 分 别 为As 和Bs,则(A)Ax Bx，As Bs(B)Ax Bx，As Bs(C)Ax Bx，As Bs(D)Ax Bx，As Bs5.右 图 是 求 x1,x2，x1 0的 乘 积 S 的 程 序 框 图，图 中 空 白框 中 应 填 入 的 内 容 为(A)S=S(
3、1)n(B)1S Smx(C)S S n(D)S Smx 6.“0 a”是“a 0”的（A）充 分 不 必 要 条 件（B）必 要 不 充 分 条 件（C）充 要 条 件（D）既 不 充 分 也 不 必 要 条 件7.下 列 四 类 函 数 中，具 有 性 质“对 任 意 的 0,0 x y，函 数()f x 满 足()()()nf x y f x f y”的 是（A）幂 函 数（B）对 数 函 数（C）指 数 函 数（D）余 弦 函 数8.若 某 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 是（A）2（B）1（C）23（D）139.已 知 抛 物 线2
4、2(0)y px p 的 准 线 与 圆2 2(3)16 x y 相 切，则 p 的 值 为（A）12（B）1（C）2（D）41 0.某 学 校 要 召 开 学 生 代 表 大 会，规 定 各 班 每 1 0 人 推 选 一 名 代 表，当 各 班 人 数 除 以 1 0 的 余数 大于6时 再 增 选 一 名 代 表.那 么,各 班 可 推 选 代 表 人 数 y 与 该 班 人 数 x 之 间 的 函 数 关 系 用 取整 函 数 y x（x 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数）可 以 表 示 为（A）y 10 x（B）y 310 x（C）y 410 x（D）y 510 x 二、填
5、 空 题：把 答 案 填 在 答 题 卡 相 应 题 号 后 的 横 线 上（本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共2 5 分）.1 1.观 察 下 列 等 式：3 3 2 3 3 3 21 2(1 2),1 2 3(1 2 3),3 3 3 3 21 2 3 4(1 2 3 4),根 据 上 述 规 律，第 四 个 等 式 为.1 2.已 知 向 量(2,1),(1,),(1,2)a b m c 若()a b c，则 m.1 3.已 知 函 数23 2,1,(),1,x xf xx ax x 若(0)4 f f a，则 实 数 a.1 4.设,x y 满 足 约 束 条 件2 4
6、,1,2 0,x yx yx，则 目 标 函 数 3 z x y 的 最 大 值 为.1 5.（考 生 注 意：请 在 下 列 三 题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 评 分）A.（不 等 式 选 做 题）不 等 式 2 1 3 x 的 解 集 为.B.（几 何 证 明 选 做 题）如 图，已 知 R t A B C 的 两 条 直 角 边 A C，B C 的 长分 别 为 3 c m，4 c m，以 A C 为 直 径 的 圆 与 A B 交 于 点 D，则 B D c m.C.（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）参 数 方 程cos,1
7、 sinxy（为 参 数）化 成 普 通 方 程 为.三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤（本 大 题 共 6 小 题，共 7 5 分）.1 6.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列，a1 1，且 a1，a3，a9成 等 比 数 列.（）求 数 列 an 的 通 项;（）求 数 列 2na的 前 n 项 和 Sn.1 7.（本 小 题 满 分 1 2 分）在 A B C 中，已 知 B=4 5,D 是 B C 边 上 的 一 点，A D=1 0,A C=1 4,D C=6，求 A B 的 长
8、.1 8.(本 小 题 满 分 1 2 分)如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，底 面 A B C D 是 矩 形，P A 平 面 A B C D，A P=A B，B P=B C=2，E，F 分 别 是 P B,P C 的 中 点.()证 明：E F 平 面 P A D；()求 三 棱 锥 E A B C 的 体 积 V.1 9（本 小 题 满 分 1 2 分）为 了 解 学 生 身 高 情 况，某 校 以 1 0%的 比 例 对 全 校 7 0 0 名 学 生 按 性 别 进 行 分 层 抽 样 检 查，测 得身 高 情 况 的 统 计 图 如 下：（）估 计 该 校 男 生 的
9、 人 数；（）估 计 该 校 学 生 身 高 在 1 7 0 1 8 5 c m 之 间 的 概 率；（）从 样 本 中 身 高 在 1 8 0 1 9 0 c m 之 间 的 男 生 中 任 选 2 人，求 至 少 有 1 人 身 高 在 1 8 5 1 9 0 c m之 间 的 概 率.2 0.（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，椭 圆2 22 2:1x yCa b 的 顶 点 为1 2 1 2,A A B B，焦 点 为1 2,F F，1 1 2 2 1 1 2 21 17,2B A B A B F B FA B S S.（）求 椭 圆 C 的 方 程；()设 n 为 过 原 点
10、的 直 线，l 是 与 n 垂 直 相 交 于 P 点，与 椭 圆 相 交 于 A,B 两 点 的 直 线，1 O P.是 否 存 在 上 述 直 线 l 使 0 O A O B 成 立？若 存 在，求 出 直 线 l 的 方 程；并 说 出；若 不 存 在，请 说 明 理 由.2 1、(本 小 题 满 分 1 4 分)已 知 函 数()f x x，()ln g x a x，a R（）若 曲 线()y f x 与 曲 线()y g x 相 交，且 在 交 点 处 有 相 同 的 切 线，求 a 的 值 及 该 切线 的 方 程；（）设 函 数()()()h x f x g x,当()h x 存
11、 在 最 小 值 时，求 其 最 小 值()a 的 解 析 式；（）对（）中 的()a，证 明：当(0,)a 时，()1 a.参 考 答 案一、选 择 题1-5 D A C B D 6-1 0 A C B C B二、填 空 题1 1 13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2（或 1 52）1 2 1 1 3 2 1 4.51 5.A x|-1 x 2 B1 65C x2+(y-1)2=11 6.解:(1)由 题 设 知 公 差 d 0由 a1=1,a1,a3,a9成 等 比 数 列 得dd d2 18 112 1解 得 d=1,d=0(舍 去),故 an 的 通 项 an=1+(
12、n 1)1=n(I I)由(I)知 2a n 2n,由 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 得Sn=2+22+23+2n=.2 22 1)2 1(21 nn1 7 解：在 A D C 中，A D=1 0，A C=1 4，D C=6,由 余 弦 定 理 得 c o s 2 2 22A D D C A CA D D C=100 36 196 12 10 6 2,A D C=1 2 0,A D B=6 0 在 A B D 中，A D=1 0,B=4 5,A D B=6 0，由 正 弦 定 理 得sin sinA B A DA D B B,A B=310sin 10sin 6025 6sin si
13、n 45 22A D A D BB 1 8 解：()在 P B C 中，E，F 分 别 是 P B，P C 的 中 点，E F B C.又 B C A D，E F A D,又 A D 平 面 P A D，E F 平 面 P A D,E F 平 面 P A D.()连 接 A E，A C，E C，过 E 作 E G P A 交 A B 于 点 G,则 E G 平 面 A B C D,且 E G=12P A在 P A B 中,A P=A B,P A B=9 0 B P=2,A P=A B=2,E G=22 S A B C=2 2 22121 B C A B,VE-A B C=13S A B C E
14、 G13222=13,1 9 解：（）样 本 中 男 生 人 数 为 4 0，由 分 层 抽 样 比 例 为 1 0%估 计 全 校 男 生 人 数 为 4 0 0.（）由 统 计 图 知，样 本 中 身 高 在 1 7 0 1 8 5 c m 之 间 的 学 生 有 1 4+1 3+4+3+1=3 5 人，样 本容 量 为 7 0，所 以 样 本 中 学 生 身 高 在 1 7 0 1 8 5 c m 之 间 的 频 率350.5,70f 故 有 f 估 计 该 校学 生 身 高 在 1 7 0 1 8 0 c m 之 间 的 概 率 0.5.p（）样 本 中 身 高 在 1 8 0 1 8
15、 5 c m 之 间 的 男 生 有 4 人，设 其 编 号 为，样 本 中 身 高 在 1 8 5 1 9 0 c m 之 间 的 男 生 有 2 人，设 其 编 号 为，从 上 述 6 人 中 任 取 2 人 的 树 状 图 为：故 从 样 本 中 身 高 在 1 8 0 1 9 0 c m 之 间 的 男 生 中 任 选 2 人 的 所 有 可 能 结 果 数 为 1 5，至 少 有 1 人身 高 在 1 8 5 1 9 0 c m 之 间 的 可 能 结 果 数 为 9，因 此，所 求 概 率29 3.15 5p 2 0 解:()由1 17 A B 知 a2+b2=7,由1 1 2 2
16、 1 1 2 22 S A B A B S B F B F 知 a=2 c,又 b2=a2-c2由，解 得 a2=4,b2=3,故 椭 圆 C 的 方 程 为2 21.4 3x y()设 A,B 两 点 的 坐 标 分 别 为 1 1 2 2,x y x y（）,假 设 使 0 O A O B 成 立 的 直 线 l 存 在，(i)当 l 不 垂 直 于 x 轴 时，设 l 的 方 程 为 y k x m,由 l 与 n 垂 直 相 交 于 P 点 且 1 O P 得11|2km,即 m2=k2+1由 0 O B O A 得 x1x2+y1y2=0将 y=k x+m 代 入 椭 圆 方 程,得
17、(3+4 k2)x2+8 k m x+(4 m2-1 2)=0,由 求 根 公 式 可 得 x1+x2=24 38kk m 4x1+x2=224 312 4km51 2 1 2 1 2 1 20()()x x y y x x k x m k x m 2 21 2 1 2 1 2()x x k x x k m x x m 2 21 2 1 2(1)(),k x x k m x x m 将，代 入 上 式 并 化 简 得2 2 2 2 2 2(1)(4 12)8(3 4)0,k m k m m k 将21 m k 代 入 并 化 简 得25(1)0 k，矛 盾.即 此 时 直 线 l 不 存 在.
18、（i i）当 l 垂 直 于 x 轴 时，满 足 1 O P 的 直 线 l 的 方 程 为 1 1 x x 或，则 A,B 两 点 的 坐 标 为3 3(1,),(1,),2 2 或3 3(1,),(1,),2 2 当 1 x 时，3 3 5(1,)(1,)0;2 2 4O A O B 当 1 x 时，3 3 5(1,)(1,)0;2 2 4O A O B 此 时 直 线 l 也 不 存 在.综 上 可 知，使 0 O A O B 成 立 的 直 线 l 不 存 在.2 1 解：（）f x=12 x,()g x=ax(x 0),由 已 知 得ln,1,2x a xax x解 得 a=2e，x
19、=e2,两 条 曲 线 交 点 的 坐 标 为(e2,e)切 线 的 斜 率 为 k=f(e2)=12 e 切 线 的 方 程 为 y e=12 e(x e2)(I I)由 条 件 知 h(x)=x a l n x(x 0),（i）当 a 0 时，令()0,h x 解 得24 x a，当 0 x 24 a 时，()0,h x，()h x 在2(4,)a 上 递 增.24 x a 是()h x 在(0,)上 的 唯 一 极 值 点，且 是 极 小 值 点，从 而 也 是()h x 的 最 小 值点.最 小 值2 2()(4)2 ln 4 2(1 ln 2).a h a a a a a a（i i
20、）当 0 a 时，2()0,2x ah xx()h x 在（0，+）上 递 增，无 最 小 值。故()h x 的 最 小 值()a 的 解 析 式 为()2(1 ln 2)(0).a a a a（）由（）知()2(1 ln 2 ln).a a a 则()2ln 2 a a，令()0 a 解 得12a.当102a 时，()0 a，()a 在1(0,)2上 递 增；当12a 时，()0 a，()a 在1(,)2 上 递 减.()a 在12a 处 取 得 最 大 值1()1,2()a 在(0,)上 有 且 只 有 一 个 极 值 点，所 以1()12 也 是()a 的 最 大 值.当(0,)a 时，总 有()1.a