2015北京数学高考真题.pdf

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1、文 科 数 学 2015年 高 三 2015年 北 京 卷 文 数 文 科 数 学 考 试 时 间：分 钟 题 型 单 选 题 填 空 题 简 答 题 总 分 得 分 单 选 题(本 大 题 共 8小 题，每 小 题 一 分，共 一 分.)1.若 集 合 八=卜 卜 5 工 2,B=x|-3 x 3),则 A f|B=()A.4 3 x 2 B.x卜 5 x 2 C.x|-3 x 3)D.1x|-5 x 32.圆 心 为(1,1)且 过 原 点 的 圆 的 方 程 是()A.(x-1)2+(j-l)2=1B.(x+l)2+(y+l)2=lC.(X+1)2+(J+1)2=2D.(X-1)2+(J

2、-1)2=23.下 列 函 数 中 为 偶 函 数 的 是()A.y=x2 sin xB.y=x2 cos xC.y=|ln xD.y=2x4.某 校 老 年、中 年 和 青 年 教 师 的 人 数 见 下 表，采 用 分 层 抽 样 的 方 法 调 查 教 师 的 身 体 状 况,在 抽 取 的 样 本 中，青 年 教 师 有 320人，则 该 样 本 的 老 年 教 师 人 数 为（）类 别 人 数 老 年 教 师 900中 年 教 师 1800青 年 教 师 1600合 计 4300A.90B.100C.180D.3005.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图，输 出 的 士 的

3、值 为（）D.66.设 方，b 是 非 零 向 量，（,a b=同 网”是“a/!b 的（)A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 7.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，该 四 棱 锥 最 长 棱 的 棱 长 为（）俯 视 图 A.1B.V2C.y/3D.28.某 辆 汽 车 每 次 加 油 都 把 油 箱 加 满，下 表 记 录 了 该 车 相 邻 两 次 加 油 时 的 情 况.加 油 时 间 加 油 量 升）加 油 a 寸 的 累 计 里 程（千 米）2015年 5月 1

4、日 12 350002015年 5月 15日 48 35600注：“累 计 里 程”指 汽 车 从 出 厂 开 始 累 计 行 驶 的 路 程 在 这 段 时 间 内，该 车 每 100千 米 平 均 耗 油 量 为（）A.6 升B.8 升 C.10 升 D.12 升 填 空 题(本 大 题 共 6小 题，每 小 题 一 分，共 一 分。)9.复 数 i(l+i)的 实 部 为.IO.2 3 1 5 三 个 数 中 最 大 数 的 是.1L 在 AABC中，a=3,b=a zA=-,则 NB=_.12.己 知(2,0)是 双 曲 线*2-彳=1(b 0)的 一 个 焦 点，则 6=.13.如

5、图，AABC及 其 内 部 的 点 组 成 的 集 合 记 为 D，P(x j)为 D 中 任 意 一 点，则 z=2x+3歹 的 最 大 值 为 _.14.高 三 年 级 267位 学 生 参 加 期 末 考 试，某 班 3 7位 学 生 的 语 文 成 绩，数 学 成 绩 与 总 成 绩 在 全 年 级 中 的 排 名 情 况 如 下 图 所 示，甲、乙、丙 为 该 班 三 位 学 生.从 这 次 考 试 成 绩 看,在 甲、乙 两 人 中，其 语 文 成 绩 名 次 比 其 总 成 绩 名 次 靠 前 的 学 生 是 在 语 文 和 数 学 两 个 科 目 中，丙 同 学 的 成 绩 名

6、 次 更 靠 前 的 科 目 是 简 答 题（综 合 题）（本 大 题 共 6小 题，每 小 题 一 分，共 一 分.）15.（本 小 题 满 分 13分）已 知 函 数/（x）=sinx z j i s i n?.（I）求/（x）的 最 小 正 周 期；2乃（H）求/（X）在 区 间 0,y 上 的 最 小 值.16.（本 小 题 满 分 13分）已 知 等 差 数 列.满 足 4+.=10,4-4=2.（I）求%的 通 项 公 式；（H）设 等 比 数 列 满 足%=4,%=/，问：&与 数 列/的 第 几 项 相 等？17.（本 小 题 满 分 13分）某 超 市 随 机 选 取 100

7、0位 顾 客，记 录 了 他 们 购 买 甲、乙、丙、丁 四 种 商 品 的 情 况，整 理 成 如 下 统 计 表，其 中“J”表 示 购 买，“X”表 示 未 购 买.X 商 甲 乙 丙 T100 7XV217X(X200 VX300X X85X X X98X X X（I）估 计 顾 客 同 时 购 买 乙 和 丙 的 概 率；（II）估 计 顾 客 在 甲、乙、丙、丁 中 同 时 购 买 3 中 商 品 的 概 率；（III）如 果 顾 客 购 买 了 甲，则 该 顾 客 同 时 购 买 乙、丙、丁 中 那 种 商 品 的 可 能 性 最 大？18.（本 小 题 满 分 14分）如 图，

8、在 三 棱 锥 V-A B C 中，平 面 VAB_L平 面 A B C，AVAB为 等 边 三 角 形，AC_LBC且 AC=BC=J 5，O,M 分 别 为 A B，V A的 中 点.M（I）求 证：VB 平 面 MOC；（H）求 证：平 面 MOCJ平 面 VAB；（H D求 三 棱 锥 V-A B C的 体 积.x219.（本 小 题 满 分 13分）设 函 数/（x）=-A l n x，k 0.（I）求/（x）的 单 调 区 间 和 极 值；（II）证 明：若/（x）存 在 零 点，则/（x）在 区 间 上 仅 有 一 个 零 点.20.（本 小 题 满 分 14分）已 知 椭 圆

9、C:1+3 _/=3,过 点 D（l,0）且 不 过 点 E（2J）的 直 线 与 椭 圆 C 交 于 A，B 两 点，直 线 AE与 直 线 工=3交 于 点 M.（I）求 椭 圆 C 的 离 心 率；（II）若 A B垂 直 于 x 轴，求 直 线 B M的 斜 率；（III）试 判 断 直 线 B M 与 直 线 DE的 位 置 关 系，并 说 明 理 由.答 案 单 选 题 1.A 2,D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B填 空 题 9.-110.1 脸 511.n412.百 13.714.乙；数 学 简 答 题 15.(I)比.(II)一 行.16.(I)=2/1+2；

10、(II)4 与 数 列 4 的 第 63项 相 等.17.(1)0.2.(2)0.3.(3)同 时 购 买 丙 的 可 能 性 最 大.18.(1)略.(2 略)(3)迫.319.(1)单 调 递 减 区 间 是(0,4),单 调 递 增 区 间 是(戊,*0)：极 小 值/()=_21nA(2)略.20.(I)渔.(2)1(3)直 线 B M与 直 线 DE平 行.3解 析 单 选 题 1.在 数 轴 上 将 集 合 A,B表 示 出 来，如 图 所 示，由 交 集 的 定 义 可 得，z n 3 为 图 中 阴 影 部 分，即 H-3 x 2,故 选 A.2.由 题 意 可 得 圆 的 半

11、 径 为 则 圆 的 标 准 方 程 为(x-l)2+(y-l)2=2,故 选 D.3.根 据 偶 函 数 的 定 义/(-x)=/(x),A选 项 为 奇 函 数，B选 项 为 偶 函 数，C选 项 定 义 域 为(0,+Q O)不 具 有 奇 偶 性，D选 项 既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数，故 选 B4.由 题 意，总 体 中 青 年 教 师 与 老 年 教 师 比 例 为 照=；设 样 本 中 老 年 教 师 的 人 数 为 X，900 9由 分 层 抽 样 的 性 质 可 得 总 体 与 样 本 中 青 年 教 师 与 老 年 教 师 的 比 例 相 等，即 当=3,

12、解 x 9得 x=180，故 选 C.5.3 3 3初 值 为 a=3,A=0,进 入 1 循 环 体 后，a=_,k=1；a=、k=2,。=一,2=3；3 L,1 2 L、4 8a=,K=4 a-k=41 6,此 时 4,退 出 循 环，故，故 选 民 6.a-5=|a|-|6|c o s，由 己 知 得 cos=1，即=0，allb 而 当 出 后 时,还 可 能 是，此 时【加=一 臼，故 3，=同 忖 是 w 的 充 分 而 不 必 要 条 件，故 选 A.7.四 棱 锥 的 直 观 图 如 图 所 示：由 三 视 图 可 知，SC_L平 面 A B C D，S A 是 四 棱 锥 最

13、 长 的 棱，SA=y/sC2+A C2=d s d+A B?+诵=，故 选 C8.因 为 第 一 次 邮 箱 加 满，所 以 第 二 次 的 加 油 量 即 为 该 段 时 间 内 的 耗 油 量，故 耗 油 量 夕=4 8升.而 这 段 时 间 内 行 驶 的 里 程 数 5=35600-35000=6 0 0千 米.所 以 这 段 时 间 内，该 车 48每 100千 米 平 均 耗 油 量 为 x 100=8 升，故 选 R.600填 空 题 9.复 数+=+其 实 部 为 一 I.10.2 3=1 8 i k g24 2,所 以 bgz5最 大.11.b 3 _ y/6 r-由 正

14、弦 定 理，得 一 一=二 一,即 不=孟 万，所 以 sh8=乌，所 以/B=.sin 4 sin J?2 4212.由 题 意 知 c=2,a=l,ft2=t?2-a2=3 所 以 万=J.13.2 z由 题 图 可 知，目 标 函 数 y=-1 X+,因 此 当 x=2,y=l,即 在 点 A 处 时 z 取 得 最 大 值 为 7.14.由 图 可 知，甲 的 语 文 成 绩 排 名 比 总 成 绩 排 名 靠 后；而 乙 的 语 文 成 绩 排 名 比 总 成 绩 排 名 靠 前，故 填 乙.由 图 可 知，比 丙 的 数 学 成 绩 排 名 还 靠 后 的 人 比 较 多；而 总

15、成 绩 的 排 名 中 比 丙 排 名 靠 后 的 人 数 比 较 少，所 以 丙 的 数 学 成 绩 的 排 名 更 靠 前，故 填 数 学.简 答 题 15.(1)试 题 分 析：本 题 主 要 考 查 倍 角 公 式、两 角 和 的 正 弦 公 式、三 角 函 数 的 周 期 等 基 础 知 识，考 查 学 生 的 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力、转 化 能 力、计 算 能 力.(I)先 利 用 倍 角 公 式 将 s i/1 降 幕，再 利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 将/(x)化 简，使 之 化 简 成/(x)=Zsin(如 c+乃+5 的 形 式，最 后 利 用

16、 T=计 算 函 数 的 最 小 正 周 期.(O(I)V/(x)=sinx+c o s x-/5=2sin(x+-)-/3,；/(x)的 最 小 正 周 期 为 Z r.7T(2)试 题 分 析：(II)将 X 的 取 值 范 围 代 入，先 求 出 X+巴 的 范 围，再 数 形 结 合 得 到 三 角 3函 数 的 最 小 值.一、c 一,2冗 冗,冗,(II):0 x 4，4 x+4 万.3 3 3当 工+9=万，即 工=争 寸，/(X)取 得 最 小 值./(X)在 区 间 0,学 上 的 最 小 值 为/(y)=-/3.16.(1)试 题 分 析：(I)利 用 等 差 数 列 的

17、通 项 公 式，将,%,%,4 转 化 成 4 和 d，解 方 程 得 到.和 的 值，直 接 写 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可.(I)设 等 差 数 列/的 公 差 为 d.因 为 4-0,=2,所 以 d=2.又 因 为 4+42=1，所 以 2。+4=10,故 4=4.所 以=4+2(-1)=2+2(=1,2,).(2)试 题 分 析：(I I)先 利 用 第 一 问 的 结 论 得 到&和 冬 的 值，再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式，将 与 和&出 化 为 4 和 夕，解 出，和 夕 的 值，得 到 品 的 值，再 代 入 到 上 一 问 等 差 数

18、列 的 通 项 公 式 中，解 出 的 仕 I，即 项 数.(II)设 等 比 数 列,的 公 比 为 夕.因 为 a=勺=8，6 3=3=16,所 以 q=2,4=4.所 以 D=4 X26T=128.由 128=2 n+2,得=63.所 以 4 与 数 列 4 的 第 63项 相 等.17.(1)试 题 分 析：(I)由 统 计 表 读 出 顾 客 同 时 购 买 乙 和 丙 的 人 数 200,计 算 出 概 率(I)从 统 计 表 可 以 看 出，在 这 1000位 顾 客 中，有 200位 顾 客 同 时 购 买 了 乙 和 丙，所 以 顾 客 同 时 购 买 乙 和 丙 的 概 率

19、 可 以 估 计 为 2”=0.2.1000(2)试 题 分 析：(II)先 由 统 计 表 读 出 顾 客 在 甲、乙、丙、丁 中 同 时 购 买 3 中 商 品 的 人 数 1 0 0+2 0 0,再 计 算 概 率.(II)从 统 计 表 可 以 看 出，在 在 这 1000位 顾 客 中，有 100位 顾 客 同 时 购 买 了 甲、丙、丁,另 有 200位 顾 客 同 时 购 买 了 甲、乙、丙，其 他 顾 客 最 多 购 买 了 2 种 商 品.所 以 顾 客 在 甲、乙、丙、丁 中 同 时 购 买 3种 商 品 的 概 率 可 以 估 计 为 10+200 n0.3.1000(3

20、)试 题 分 析：(HI)由 统 计 表 读 出 顾 客 同 时 购 买 甲 和 乙 的 人 数 为 2 0 0,顾 客 同 时 购 买 甲 和 丙 的 人 数 为 100+200+3 0 0,顾 客 同 时 购 买 甲 和 丁 的 人 数 为 1 0 0.分 别 计 算 出 概 率，再 通 过 比 较 大 小 得 出 结 论.(Ill)与(I)同 理，可 得:顾 客 同 时 购 买 甲 和 乙 的 概 率 可 以 估 计 为 空 uON,1000顾 客 同 时 购 买 甲 和 丙 的 概 率 可 以 估 计 为 10+200+300=。6,1000顾 客 同 时 购 买 甲 和 丁 的 概

21、率 可 以 估 计 为 工”=0.1,1000所 以，如 果 顾 客 购 买 了 甲，则 该 顾 客 同 时 购 买 丙 的 可 能 性 最 大.18.(1)试 题 分 析：(I)在 三 角 形 ABV中，利 用 中 位 线 的 性 质 得 0 M 阳，最 后 直 接 利 用 线 面 平 行 的 判 定 得 到 结 论.(I)因 为 分 别 为 AB，VA的 中 点，所 以 OM/VB.又 因 为 平 面 MOC，所 以 所 平 面 MOC.(2)试 题 分 析：(II)先 在 三 角 形 ABC中 得 到 再 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 得 OCJ_平 面 V A B,最 后 利 用

22、 面 面 垂 直 的 判 定 得 出 结 论.(H)因 为 4C=8。，O为 AB的 中 点，所 以又 因 为 平 面 VAB _L平 面 ABC,且 O C u平 面 ABC,所 以 OC_L平 面 VAB.所 以 平 面 MOC J_平 面 VAB.（3）试 题 分 析（III）将 三 棱 锥 进 行 等 体 积 转 化，利 用 七 一”=%一 生，先 求 出 三 角 形 VAB的 面 积，由 于 OC_L平 面 V A B,所 以 OC为 锥 体 的 高，利 用 锥 体 的 体 积 公 式 计 算 出 体 积 即 可.（III）在 等 腰 直 角 三 角 形/C ff中，4 c=B C=

23、也，所 以 4 5=2,OC=1.所 以 等 边 三 角 形 VAB的 面 积 S 3=行.又 因 为 OC_L平 面 VAB,所 以 三 棱 锥 C-VAB的 体 积 等 于-x O C x S 211t=.3 K V A B 3又 因 为 三 棱 锥 V-A B C的 体 积 与 三 棱 铢 C-V A B的 体 积 相 等，所 以 三 棱 锥 V-ABC的 体 积 为 也.319.试 题 分 析：（I）先 对/（x）求 导，令/（x）=0解 出 x,将 函 数 的 定 义 域 断 开，列 表,分 析 函 数 的 单 调 性，所 以 由 表 格 知 当 x=逝 时，函 数 取 得 极 小

24、值，同 时 也 是 最 小 值；r2（I）由/（x）=-A l n x，（左 0）得 由 f（x）=0 解 得 x=k-/（X）与/（X）在 区 间（0,4）上 的 情 况 如 下:X(0.4)祢(7,-MC)/(X)-/(X)卬-In幻 2/所 以，/(x)的 单 调 递 减 区 间 是(0,JI),单 调 递 增 区 间 是(4,T8);/(X)在 X=4 处 取 得 极 小 值/(&)=S 丁).(2)试 题 分 析：(II)利 用 第 一 问 的 表，知/(JT)为 函 数 的 最 小 值，如 果 函 数 有 零 点，只 需 最 小 值 处 型 20,从 而 解 出 LNe，下 面 再

25、 分 情 况 分 析 函 数 有 几 个 零 点.2(II)由(I)知，/(x)在 区 间(0,+x)上 的 最 小 值 为/(、用)=处?2.因 为 f(x)存 在 零 点，所 以 处 券。4 0,从 而 才 Ne.当 j t=e时，/(x)在 区 间(1,8)上 单 调 递 减，且/(6)=0，所 以 x=右 是/(x)在 区 间 Q,上 的 唯 一 零 点.当 上 e时，/(x)在 区 间(0,及)上 单 调 递 减，且/Q)=g0,/(&)=0，所 以/(x)在 区 间 上 仅 有 一 个 零 点.综 上 可 知，若/(x)存 在 零 点，则/(在 区 间(1,石 上 仅 有 一 个

26、零 点.20.(1)试 题 分 析：(I)先 将 椭 圆 方 程 化 为 标 准 方 程，得 到。，b，c的 值，再 利 用 e=a计 算 离 心 率(I)椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 土+/=1.3所 以 a=、5，b=l，c=y/2-所 以 椭 圆 c 的 离 心 率 e=9=.a 3（2）试 题 分 析：（II）由 直 线 AB的 特 殊 位 置，设 出 A,B 点 坐 标，设 出 直 线 A E的 方 程，由 于 直 线 AE与 x=3相 交 于 M 点，所 以 得 到 M 点 坐 标，利 用 点 B、点 M 的 坐 标,求 直 线 B M的 斜 率.（H）因 为 AB过 点 0

27、（1,0）且 垂 直 于 工 轴，所 以 可 设/（1,乂），6（1,一 乂）.直 线 AE的 方 程 为 丁 一 1=。一 乂 Xx-2）.令 工=3,得”（3,2 必）.所 以 直 线 B M的 斜 率 kB U=2 乂+4=1BM 3-1（3）分 析：（III）分 直 线 AB的 斜 率 存 在 和 不 存 在 两 种 情 况 进 行 讨 论，第 一 种 情 况，直 接 分 析 即 可 得 出 结 论，第 二 种 情 况，先 设 出 直 线 AB和 直 线 AE的 方 程，将 椭 圆 方 程 与 直 线 AB的 方 程 联 立，消 参，得 到 玉+*2和 玉 覆，代 入 到 却“一 1中

28、，只 需 计 算 出 等 于 0 即 可 证 明 的“=无 比，即 两 直 线 平 行.（III）直 线 B M与 直 线 DE平 行.证 明 如 下:当 直 线 AB的 斜 率 不 存 在 时，由（II）可 知 如“=1.又 因 为 直 线 DE的 斜 率 左 板-=1,所 以 BM/DE.2-1当 直 线 AB的 斜 率 存 在 时，设 其 方 程 为 J=设/（%,乂），8,%），则 直 线 AE的 方 程 为 丁 一 1=乂 一 1玉 一 2(x-2).令 工=3,得 点”（3,玉-2).乂+3-3由 x2+3y2=3,_,，得(1+弘 2)丁 一 6昭*+342-3=0.j=A(x-l)6A2所 以 X.+X,=-，X JC,=-F 1+3公 2 1+3*直 线 B M 的 斜 率 心 _ 玉 一 2 KBM 一 3-Xj因 为 kBM-1=G-1）+一 3-A（x,-I X f-2）-（3-三 乂 演 一 2）（3）（玉 一 2）_ 柬-D l f 巧+2。+）-3）（3-马 乂 玉 一 2）（t-i）r-3k2+3 12k21+3-+3公（3-9 X 玉 一 2）-3）所 以 原 M=1=%：所 以 BM/DE.综 上 可 知，直 线 B M 与 直 线 D E平 行