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1、20152015 年北京高考理科数学真题及答案年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数i 2iA12iB12iC12i D12i【答案】A【解析】i（2i）12i【难度】容易【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期
2、，第四章复数中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。2若x，y满足010 xyxyx，则2zxy的最大值为A0B1C32D2【答案】D【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时 z4【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。3执行如图所示的程序框图，输出的结果为A22，B40，C44，D08，【答案】B B【解析】程序运行过程如下表所示x10-2-4
3、y1220k0123s0-2-4t22故输出结果为（4，0）【难度】容易【点评】本题算法初步。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章算法初步有详细讲解，其中第02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。4设，是两个不同的平面，m是直线且m“m”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m”是“”的必要条件若“m”，“”不一定成立，反例如下图所示【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座
4、 1，第一章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解。5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A25B45C22 5D5【答案】C【解析】例题图形如下图所示：过 P 点做 AB 的垂线交 AB 于点 D，122221551225,1,6,51255.2ABCPBCPACPABSSSBCPCPBPAPDS 所以表面积522522 5.2S【难度】容易【点评】本题考查圆的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同
5、时高清课程平面解析几何专题也有圆的专题讲解。6设 na是等差数列.下列结论中正确的是A若120aa，则230aaB若130aa，则120aaC若120aa，则213aa aD若10a，则21230aaaa【答案】C【解析】当 d0，a1a3（a2d）（a2d）a22d2 a22a22d2213aa a【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。7如图，函数 f x的图象为折线ACB，则不等式 2log1f xx的解集是A|10 xx B|11xx C|11xx D|12x
6、x【答案】C【解析】如图，x1 时，f（x）log2（x1）f（x）log2（x1）解集为（1，1，需要注意，log2（x1）定义域不包含1，故选 C【难度】一般【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗
7、 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】A问的是纵坐标最大值B消耗 1 升油甲走最远，则反过来路程相同甲最省油C此时甲走过了 80 千米，消耗 8 升汽油D80km/h 以下丙“燃油效率”更高，更省油所以选择 D【难度】一般【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解，其中第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。第二部分第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共二、填空题共 6 6 小题
8、，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分9在52x的展开式中，3x的系数为（用数字作答）【答案】40【解析】52x中3x的项为32352Cx所以系数为 40【难度】容易【点评】本题考查二项式的意义。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第九章排列、组合、二项式有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解，同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。10已知双曲线22210 xyaa的一条渐近线为30 xy，则a【答案】33【解析】渐近线为30 xy所以有3ba，有双曲线的方程2221xya得 b1，且 a0.所以33a【难度】容易【点评】
9、本题考查双曲线的渐近线方程。在高二数学（理）强化提高班，第六章圆锥曲线与方程中有详细讲解，其中在第 02 讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。11在极坐标系中，点23到直线cos3sin6的距离为【答案】1【解析】点23对应的直角坐标系为点13，极坐标方程cos3sin6对应的直角坐标方程为360 xy，根据点到直线的距离公式1361.2d12在ABC中，4a，5b，6c，则sin2sinAC【答案】1【解析】由余弦定理可得2222536 163cos,22 5 64bcaAbc 由正弦定理和二倍角公式可得，sin22sincos322co
10、s21.sinsin43AAAaACCc【难度】一般【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第一章解三角形应用问题有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。13在ABC中，点M，N满足2AMMC ，BNNC若MNxAByAC ，则x；y【答案】11,26xy【解析】12()23112611,.26MNANAMABACACABACxy 【难度】中等【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第六章平面向量有详细讲解，其中第 01 讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班
11、中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。14设函数 21421.xaxf xxaxax若1a，则 fx的最小值为；若 fx恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是【答案】1；1/2a1 或 a2【解析】当 a1 时，2xa14（x1）（x2）4（x1.5）211当 x1.5 时最小为1 若函数()2xh xa在 x1 时与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当 x1 时，(1)20 xha，所以 0a2，函数 42g xxaxa有一个交点，所以 2a1 且 a1，所以 1/2a1若函数()2xh xa与 x 轴没有交点，42g xxaxa有两个交点，当 a0
12、，h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍）；当 h（1）2a 时，a2，g（x）的两个交点为 x1a，x22a 都是满足题意的，综上所述，a 的取值范围是 1/2a1 或 a2【难度】一般【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题 13 分）已知函数2()2sincos2sin222xxxf x()
13、求()f x的最小正周期；()求()f x在区间 0，上的最小值【答案】【解析】（1）2()2sincos2sin22221cossin222222sincos2222sin()42xxxf xxxxxx f（x）的最小周期 T2/12（2）x03444x21sin()42x 21()02f x()f x在区间 0，上的最小值为212【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。16（本小题 13 分）A，B两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）
14、记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选 1 人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙()求甲的康复时间不少于 14 天的概率；()如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；()当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37；（2）1049；（3）a11 或 a8.【解析】（1）13173(14)7CP tC（2）当 a25 时，假设乙的康复时间为 12 天，则符合题意的甲有 13 天、14 天、15 天、16 天共 4 人；乙的康复时
15、间为 13 天，则符合题意的甲有 14 天、15 天、16 天共 3 人；乙的康复时间为 14 天，则符合题意的甲有 15 天、16 天共 2 人；乙的康复时间为 15 天，则符合题意的甲有 16 天共 1 人；乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为 16 天，均不合题意所以符合题意的甲、乙选择方式共：432110 种所有甲、乙组合情况共117749CC因为任何组合情况都是等可能的，故10().49P tt乙甲（3）a11 或 a8.根据数据平移和调整顺序不影响方差易得【难度】中等【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解。在高考精品
16、班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。17（本小题 14 分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF 平面EFCB，EFBC，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点()求证：AOBE；()求二面角FAEB的余弦值；()若BE 平面AOC，求a的值【答案】【解析】（1）AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点 AOEF又 平面 AEF平面 EFCB，且平面 AEF平面 EFCBEF AO平面 EBCF AOBE（2）取 CB 的中点 D，连接 OD如图分别以 OE，OD，OA 为 x，y，z 轴建立直角坐标系(0,0,3),(,0,0),(2,2
17、33,0)AaE aBa(,0,3),=(2,2 33,0)AEaaEBaa 设平面 AEF 的法向量为1(0,1,0)n 平面 AEB 的法向量2(,)nx yz30(2)3(2)0axaza xa y所以2(3,1,1)n 所以 FAEB 二面角的余弦值12125cos5n nn n 因为 FAEB 二面角为钝二面角，所以余弦值为55（3）由（1）知 AO面 FEBC AOBE若 BE平面 AOC仅需 BEOC由（2）得=(2,2 33,0)EBaa=(2,2 33,0)OCa=0EB OC ，解得 a2（舍）或43a【难度】中等【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及计算二
18、面角等。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章立体几何，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章空间向量与立体几何有详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。18（本小题 13 分）已知函数 1ln1xf xx（）求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程；（）求证：当0 1x，时，323xf xx；（）设实数k使得 33xf xk x对0 1x，恒成立，求k的最大值【答案】【解析】（1）1ln1xf xx，x（1，1），221fxx，02,00ff，所以切线方程为 y2x（2）原命题等价于 301,203xxf xx，
19、设函数 3ln 1ln 123xF xxxx 4221xFxx，当0 1x，时，0Fx，函数 F（x）在0 1x，上是单调递增的，00F xF，因此 301,23xxf xx，（3）3342221ln,0 1131()ln0,0 11322()1,0 111xxk xxxxxt xk xxxkxkt xkxxxx，0,2()0kt x，函数()t x是单调递增，()(0)0t xt显然成立当 k2 时，令402()0,(0,1)kt xxkx（0，x0）x0（x0，1）t（x）0t（x）极小值()(0)0t xt，显然不成立由此可知 k 的最大值为 2【难度】稍难【点评】本题考查分段函数值域求
20、解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。19（本小题 14 分）已知椭圆C：222210 xyabab的离心率为22，点0 1P，和点A mn，0m都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】【解析】椭圆222210 xyabab过0 1P，b21离心率222122cabaeaaa2a 椭圆方程为2212xy01,PA
21、 mn，直线 PA 的方程为11nyxm，直线 PA 与 x 轴交于 M，令 y0，则,011MmmxMnn（2）01,PB mn，直线 PB 的方程为11nyxm，直线 PB 与 x 轴交于 N，令 y0，则1Nmxn,01mNn设 Q（0，y0）00001tan,(1)(1)tan,1mmnOQMyn yyn yONQmmn,OQMONQ tantan,OQMONQ00(1),(1)n ymn ym2220222,12mmymn02y ，存在点(0,2)Q，使,OQMONQ【难度】稍难【点评】本题考查在抛物线的简单性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解
22、，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。20（本小题 13 分）已知数列 na满足：*1a N，136a，且121823618nnnnnaaaaa，1 2n ，记集合*|nManN（）若16a，写出集合M的所有元素；（）若集合M存在一个元素是 3 的倍数，证明：M的所有元素都是 3 的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值【答案】（1）M6，12，24；（2）略；（3）8【解析】（1）a16，a212，a324，a42243612，M6，12，24（2）用反证法证明 a1是 3 的倍数否则若 a1不是 3 的倍数，用归纳法证明所有的 an都不是
23、 3 的倍数n1 时，a1不是 3 的倍数，假设 nk 时，ak不是 3 的倍数，对于 nk1，ak12ak或 2ak36 都不是 3的倍数，则所有的 an都不是 3 的倍数，这与an中存在一个数是 3 的倍数矛盾因此 a1是 3 的倍数，于是 a22a1或 2a136 是 3 的倍数，以此类推，所有的 an都是 3 的倍数（3）M 的元素个数的最大值为 8首先，M 中的元素都不超过 36，由 a136，易得 a236，类似可得 an36其次，M 中的数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数因为第二个数肯定是偶数，由 an定义可知第三个数及其后面的数肯定是 4 的倍数再次，M 中的数除以 9
24、的余数，由定义式可知，an1与 2an除以 9 的余数一样 若 an中有 3 的倍数，由（2）可知，所有的 an都是 3 的倍数，所以，an除以 9 的余数为 3，6，3，6，或者 6，3，6，3，或 0，0，0，而除以 9 余 3 且是 4 的倍数只有 12，除以 9 余 6 且是 4 的倍数只有 24，除以 9 余 0 且是 4 的倍数只有 36，则 M 中的数从第三项起最多 2 项，加上前面两项最多 4 项an中没有 3 的倍数，则 an 都不是 3 的倍数，对于 a3 除以 9 的余数，只能是 1，4，7，2，5，8 中的一个，从 a3起，an除以 9 的余数，只能是 1，2，4，8，
25、7，5，1，2，4，8，7，5，不断 6 项循环的（可能是从2，4，8，7 或 5 开始），而除以 9 的余数是 1，2，4，8，7，5 且是 4 的倍数（36）只有 28，20，4，8，16，32，所以 M 中的项加上前面两项最多 8 项易知，a11 时，M1，2，4，8，16，32，28，20项数为 8，所以 M 的元素最多个数为 8【难度】难【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章集合和高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章数列中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）