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1、2015 年北京高考文科数学真题及答案一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合 A=x|5x2，B=x|3x3，则 AB=（）.A.3x2B.5x2C.3x3D.5x3【答案】A【难度】简单【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第一章集合中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）.A.（x1）2+（y1）2=1B.（x+1）2+（y+1）2=1C.（x
2、+1）2+（y+1）2=2D.（x1）2+（y1）2=2【答案】D【难度】简单【点评】本题考察圆的一般方程式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第九章圆有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对圆的专题讲解。3.下列函数中为偶函数的是（）.A.y=xsinxB.y=xcosxC.Y=|ln x|D.y=2x【答案】B【难度】简单【点评】本题考查判断函数的相关性质、图像。在高一数学（文）强化提高班下学期，第一章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。4.某校老年，中年和青年教
3、师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年人数为（）.A.90B.100C.180D.300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【答案】C【难度】中等【点评】本题考查统计问题。在高二数学（文）下学期程讲座，第五章统计有详细讲解，其中第 01 讲，是统计专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对统计相关知识的总结讲解。5.执行如果所示的程序框图，输出的 k 值为A.3B.4C.5D.6【答案】B【难度】较难【点评】本题考查几何概率的计算方法。在高二数学（文）强化提高班上学期
4、，第一章算法初步有详细讲解，其中第 02 讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。6.设 a，b 是非零向量，“ab=IaIIbI”是“a/b”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【难度】中等【点评】本题考查常用逻辑用语。在高二数学（文）强化提高班上学期，第五章常用逻辑用语有详细讲解，其中第 01 讲主要讲解“常用逻辑推理基础知识”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）.A.1B.C.
5、D.2【答案】C【难度】中等【点评】本题考查等几何图形形状。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第二章几何体的直观图与三视图有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三视图相关知识的总结讲解，有几乎一致的题目解析。8.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为A.6 升B.8 升C.10 升D.12 升【答案】B【难度】中等【点评】本题考查分段函数值域求解。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第二章函数有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识
6、的总结讲解。二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.复数 i（1+i）的实数为_.【答案】-1【难度】简单【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章复数中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。10.2-3,3,log25三个数中最大数的是_.【答案】log25【难度】中等【点评】本题考查函数的计算。在高一数学（文）强化提高班上学期，第三章函数综合中有详细讲解，其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。11.
7、在ABC 中，a=3,b=,A=，B=_.【答案】4【难度】较难【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章三角函数中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。12.已知（2，0）是双曲线=1(b0)的一个焦点，则 b=_.【答案】3【点评】本题考察双曲线离心率计算。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程平面解析几何专题也有对椭圆的专题讲解。13.如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为
8、D，P（x，y）为 D 中任意一点，则 z=2x+3y 的最大值为_.【答案】7【难度】较难【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第五章不等式有详细讲解，其中第 06 讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。14.高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。从这次考试成绩看，甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是【答案】乙按照全年
9、级排名答案为语文靠前，按照班级排名答案为数学靠前；【难度】中等【点评】本题考查统计问题。在高二数学（文）下学期程讲座，第五章统计有详细讲解，其中第 01 讲，是统计专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对统计相关知识的总结讲解。三、解答题（共 6 题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题 13 分）已知函数 f（x）=2sin2 3sin2x（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间20,3上的最小值。【答案】（1）1 cos()sin2 32sin3cos32sin()33xf xxxxx故周期为 2（2）因为203x，
10、所以33x所以 f(x)的最小值为2()33f【难度】中等【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章三角函数中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。16.（本小题 13 分）已知等差数列满足+=10，-=2.（）求的通项公式；（）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等？【答案】根据124310,2aaaa得到1210ad且 d=2于是14,a 所以1(1)22naandn（2）23378,16baba从而4622,.128qbb q令22128nan得到63n【难度】简单【点评】本题考查数列综合题目的求解。在高一数学
11、强化提高班下学期课程讲座 2，第二章数列有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解。17.（本小题 13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买。商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598（）估计顾客同时购买乙和丙的概率（）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？【答案】（1）从表格可以得到同时购买乙和丙的人数为 200 人，由于总人数为 1000 人，所以概率为20
12、0110005P（2）顾客可能同时购买甲、乙、丙或者同时购买甲、乙、丁或者甲、丙、丁或者乙、丙、丁，从而概率300110003P（3）同时购买乙的人数为 200 人，同时购买丙的人数为 600 人，同时购买丁的人数为 100 人，从而丙的可能性更大。【难度】中等【点评】本题考查概率、期望、方差的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解，其中第 04 讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。18.（本小题 14 分）如图，在三棱锥 E-ABC 中，平面 EAB 平面 ABC，三角形 EAB 为等边三角形
13、，AC BC,且 AC=BC=,O,M分别为 AB,EA 的中点。求证:EB/平面 MOC.求证：平面 MOC平面 EAB求三棱锥 E-ABC 的体积。【答案】（1）因为 M,O 分别为线段 AV 和 AB 的中点，所以 MO 为ABV 的中位线，从而有 MOBV由于MO 平面MOC，MO平面 MOC,MOBV 得到 VB平面 MOC因为 AC=BC,D 为 AB 的中点，所以 COAB因为 AB=平面 VAB平面 ABC所以 CO平面 ABV又因为 OC平面 MOC，所以平面 MOC平面 ABV（3）1.2.212ABCS连结 VO,则 VO 垂直于 AB,AB=平面 VAB平面 ABC所以
14、 VO平面 ABC因为 AB=2，所以3VO 所以13.1.333VABCV【难度】较难【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第四章立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。19.（本小题 13 分）设函数 f（x）=22-lnk,k0（I）求 f（x）的单调区间和极值；（II）证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。【答案】1()(0kfxxxx（）令()0fx 得,xk xk（舍）可知：x 在(0,)k上单调减极小值为()(1 ln)2k
15、fkk若 k=e,则()0fe 且在(0,)e单调递减，所以只有一个零点若ke，则()02ekfe且在(0)e，单调递减，当0()0 xf x 时，所以只有一个零点【难度】中等【点评】本题考查函数的性质及其应用的综合性问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 1，第三章 函数综合有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、寒假特训班中有对函数的单调性和极值相关知识的总结讲解。20.(本小题 14 分)已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直.（1）求椭圆 的离心率；（II）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（III）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明
16、理由。【答案】（1）2633cae=（2）因为 ABx 轴，所以 AB:X=1分为 A 在 B 上和 B 在 A 上两种情况讨论：当 A 在 B 上时66(1,),(1,)33AB所以66133:11 2yAEx解得623y 此时6623313 1BMK同理，当 A 在 B 上时，1BMK通过画图可以初步判断 BM 与 DE 平行理由如下：由题意1122,1yxADAZDByAM12.(2)AD AMAE BDyyx（1）设 AB 的方程为 ty=x-1 与椭圆方程2213xy联立得到22(3)220tyty由韦达定理得12122222,33tyyy ytt由（1）得1211(2)0yytyy所以ADAEBDAM于是 BMDE【难度】较难【点评】本题考查圆锥曲线的极坐标方程。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 2，第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程等相关知识的总结讲解。