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1、专 题 0 4 导 数 及 其 应 用(解 答 题)1.【2019年 高 考 全 国 I卷 理 数】已 知 函 数/(x)=sinx-ln(l+x),尸(x)为/(x)的 导 数.证 明：(1)r(x)在 区 间(-1,万)存 在 唯 一 极 大 值 点；(2)/(X)有 且 仅 有 2 个 零 点.【答 案】(1)见 解 析：(2)见 解 析.【解 析】(1)设 g(x)=/(x),则 g(x)=cosx,g(x)=-sinx+1+x(1+x)2当 时，g(x)单 调 递 减，而 g(0)0,g()0；当 尤 E%时，g(x)v0.所 以 g(x)在(一 1,)单 调 递 增，在(a,单 调
2、 递 减，故 g(x)在(1 g)存 在 唯 一 极 大 值 点，即/(X)在 11,存 在 唯 一 极 大 值 点.(2)/(x)的 定 义 域 为(-1,+8).(i)当 x e(-1,0时，由(1)知，/(X)在(一 1,0)单 调 递 增，而/(0)=0,所 以 当 xe(l,0)时，f(x)0,故/(x)在(一 1,0)单 调 递 减，又/(0)=0,从 而 x=0 是/(幻 在(一 1,0的 唯 一 零 点.(ii)当 时，由(1)知，/(x)在(0,a)单 调 递 增，在(a,单 调 递 减，而 尸(0)=0,广 0 0；当 x e(尸 时，fx)0.从 而，/(x)在 没 有
3、又/(0)=0,fj=l-lnh+0,所 以 当 零 点.1（iii）当 71兀 时，尸（X）0,所 以/（X）在 怎，兀 单 调 递 减.而/21)0,/(兀)l,所 以/,(JO VO,从 而/(x)在(兀+oo)没 有 零 点.综 上，/（x）有 且 仅 有 2个 零 点.【名 师 点 睛】本 题 考 查 导 数 与 函 数 极 值 之 间 的 关 系、利 用 导 数 解 决 函 数 零 点 个 数 的 问 题.解 决 零 点 问 题 的 关 键 一 方 面 是 利 用 零 点 存 在 性 定 理 或 最 值 点 来 说 明 存 在 零 点，另 一 方 面 是 利 用 函 数 的 单 调
4、 性 说 明 在 区 间 内 零 点 的 唯 一 性，二 者 缺 一 不 可.v-J-12.【2019年 高 考 全 国 n 卷 理 数】已 知 函 数 x）=lnx-二）.（1）讨 论 犬 x）的 单 调 性，并 证 明 兀 t）有 且 仅 有 两 个 零 点；（2）设 X0是./U）的 一 个 零 点，证 明 曲 线 产 Inx在 点 A（xo，13）处 的 切 线 也 是 曲 线 y=e的 切 线.【答 案】（1）函 数 f（x）在（。,1）和。,e）上 是 单 调 增 函 数,证 明 见 解 析；（2）见 解 析.【解 析】的 定 义 域 为（0,1）（1,+oo）.1 2因 为（。）
5、=一+;F。，所 以/（x）在（0,1）,（1,+oo）单 调 递 增.X（X-1）e+I i _ o因 为/(e)=1-0,所 以/(x)在(1,+oo)有 唯 一 零 点 打，即 e-1 e-1 e-1八 1.f(xi)=0.又 0 一 1玉/()=一 1|1%+土 工=一/(玉)=0,故 f(x)在(0,1)有 唯 一 零 点.Xj Xj-1 Xj综 上，f（x）有 且 仅 有 两 个 零 点.（2）因 为%1故 点 3（-Inxo,一）在 曲 线 y=e上.%X+1由 题 设 知/（X0）=O,即 ln/=，：，故 直 线 A 3 的 斜 率 攵=xol1,lnxX。1 4o+lx0%
6、T 一 1力。-./T2曲 线 产 e在 点 B(-ln/,一)处 切 线 的 斜 率 是 一，曲 线 y=Inx在 点&%In%)处 切 线 的 斜 率 也 是 一，xoxa 改)所 以 曲 线 y=lnx在 点 A(xo nx)处 的 切 线 也 是 曲 线 产 e,的 切 线.【名 师 点 睛】本 题 考 查 了 利 用 导 数 求 已 知 函 数 的 单 调 性、考 查 了 曲 线 的 切 线 方 程，考 查 了 数 学 运 算 能 力.3.【2019年 高 考 全 国 HI卷 理 数】已 知 函 数/(x)=2 Y 依 匹(1)讨 论 了。)的 单 调 性；(2)是 否 存 在。/，
7、使 得/(x)在 区 间 0,1 的 最 小 值 为-1且 最 大 值 为 1?若 存 在，求 出。力 的 所 有 值;若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】(1)见 解 析；(2)0,则 当(-oo,0)K，+时，C；当 时，fr(x)G.故/(x)在(fO,0),1,+Oo)单 调 递 增，在 JO,1)单 调 递 减;若 7=0,/(X)在(-00,+00)单 调 递 增:若 a C；当 时，fr(x)C.故/(x)在 1-0。,1),(0,+8)单 调 递 增，在 单 调 递 减.(2)满 足 题 设 条 件 的 a,6 存 在.(i)当 日 0 时，由(1)知，/(x)在 0,1
8、 单 调 递 增，所 以/(x)在 区 间 0,1 的 最 小 值 为/(0)=匕，最 大 值 为 f(l)=2-a+b.此 时 a,b 满 足 题 设 条 件 当 且 仅 当。=1,2 a+b=l,即 a=0,b=1.(ii)当 应 3 时,由(1)知，f(x)在 0,1 单 调 递 减,所 以 f(x)在 区 间 0,1 的 最 大 值 为 f(0)才,最 小 值 为 了(1)=2 a+b.此 时 a,b 满 足 题 设 条 件 当 且 仅 当 2 a+b=1,b=,即 a=4,b=.3(iii)当 03时，由(1)知，/(x)在 0,1 的 最 小 值 为/三=一 M+4 最 大 值 为
9、 6 或 2-。+爪 3若 一+=1,b=l,则。=与 0a/或=。，与 0 3 矛 盾.27综 上，当 且 仅 当=0,6=-1或 斫 4,。=1时，在 0,1 的 最 小 值 为 1,最 大 值 为 1.【名 师 点 睛】这 是 一 道 常 规 的 函 数 导 数 和 不 等 式 的 综 合 题，题 目 难 度 比 往 年 降 低 了 不 少，考 查 函 数 的 单 调 性、最 大 值、最 小 值 这 种 基 本 量 的 计 算.4.【2019年 高 考 北 京 理 数】已 知 函 数/(x)=L V-f+x.4(I)求 曲 线 y=/(x)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程；(II)当
10、 x e 2,4 时，求 证：x-6 f(x)=x 与 y-点=x 2,即 y=x 与 y=X-.27(I I)令 g(x)=/(x)x,xe-2,4.1 3由 g(x)=一，一 炉 得 g，(x)=一-2x.4 4Q令 g(x)=0 得 x=0 或%=.g(x),g。)的 情 况 如 下:4所 以 g(x)的 最 小 值 为-6,最 大 值 为 0.X-2(-2,0)0(吟 83(*4)4g(x)+g(x)-6 064270故 一 64g(x)O,即 x-64/(x)Wx.(Ill)由(H)知，当 a F(O)=|g(O)-|=-3；当 a 3时，M(a)F(-2)=|g(-2)-a=6+a
11、 3：当 a=3时，Md)3.综 上，当 M(a)最 小 时，a=3.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 导 函 数 研 究 函 数 的 切 线 方 程，利 用 导 函 数 证 明 不 等 式，分 类 讨 论 的 数 学 思 想 等 知 识，意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力.5.【2019年 高 考 天 津 理 数】设 函 数/(x)=e cosx,g(x)为 的 导 函 数.(I)求/(x)的 单 调 区 间；71 兀(71、(II)当 XW 时，证 明/(x)+g(x)X 0;-4 2J v2)(III)设 4 为 函 数 M(X)=/(
12、分 在 区 间 12兀+,力 兀+5)内 的 零 点，其 中 e N,证 明 _-2712 鹿 兀 d-xn-.2 sin%-cos/37r 7T【答 案】(I)/*)的 单 调 递 增 区 间 为 2kn-,2kTi+-(ZwZ),/(x)的 单 调 递 减 区 间 为 4 47T 5冗 2k7t+-,2kK+(ZreZ).(H)见 解 析；(山)见 解 析.4 45【解 析】(I)由 己 知，有 了(X)=e(cosx-sinx).因 此，当 匕 r+；,2左 兀+f j(左 Z)时，有 sinxcos无，得/(力。，则”X)单 调 递 减；当 xe 2%兀 丝,2女 兀+勺(左 e Z)
13、时，有 sinv 0,则/(x)单 调 递 增.3T T JT所 以，f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 24兀 H,2A 兀+(&G Z),/(X)的 单 调 递 减 区 间 为-4 4T T、兀 2kTt+-,2k7t+(Z eZ).4 4W 证 明：圮(止 f M g 陪、A.依 题 意 及(I),有 g(x)=ev(COSY-siiK,从 而/g(x)=-2d sinx 当 xwK 兀 452时，gx)Of 故(x)=r(x)+gX)5 一 XJ+g(x)(-D=g3(1-xj0.-4 2J 2 J(III)证 明：依 题 意，(七)二/(工)一 1=0,即 e*cosx=1.记
14、券=%-2 兀，则%且/(券)=6，8S%=e 25 cos(xn-2mi)=e2nn(zieN).由 y,)=e-2i=/(%)及(I),得 为.由(H)知，当 时,g(x)(),所 以 g(x)在 上 为 减 函 数，因 此 g()g(yo)gC)=O.又 由(H)知，(TT/(%)+g(%)-X.2 0,故 I，76 分 一 2所-2/m 八-2所 八 一 2/ml _y.)=e_ _ 4_=e_ e2-g(%)g(%)-g()b)eVo(siny0-cosy0)sinx0-cos%0-2nn所 以，2 兀+xn 0.3(1)当。=一 一 时，求 函 数/(x)的 单 调 区 间；4(2
15、)对 任 意 xe,+8)均 有 求 a 的 取 值 范 围.e-2a注：e=2.71828为 自 然 对 数 的 底 数.【答 案】(1)/(X)的 单 调 递 增 区 间 是(3,+*),单 调 递 减 区 间 是(0,3)：(2)Io,.3 3【解 析】(1)当。=一 二 时:/(x)=lnx+vl-i-x,x0.4 4,、3,1(Vi+-2)(2Vm+l)J W=_+-1=-/=-，4x 2，1+尤 4xjl+x所 以，函 数/(x)的 单 调 递 减 区 间 为(0,3),单 调 递 增 区 间 为(3,+00).(2)由/(I)W,得 0 a W 2a 4当 0 2/2,则 gQ)
16、=yx(,tJl H)2=21nx.(i)当 xw J 300)时，则 g(t)g(2垃)=8A-4V2V1+X _ 21nx.7记 p(x)=-2夜 Jl+x-In x,x,则，,、2 V5 1 lyfx/x+l V2x/x4-1p=r m 丁 加(x-l)l+Vx(V2x+2-l)x,尤+1(+l)(Vx+l+/2x)故 X71(l,+8)p(x)0+p(x)p(f单 调 递 减 极 小 值 p 单 调 递 增 所 以，/?(%)/?(l)=0.因 此，(Z)g(2/2)=2p(x)0.1 1、一,、(T-2/xlnx-(x+l)(11)3 X G 时，gt).令 g(x)=2y/x In
17、 x+(x+1),x enl，/、lnx+2 1 八 则 q(x)=五+1 0,故 q(无)在-4，-上 单 调 递 增,e 7_由(i)得，=_ 乎 p(所 以，夕(x)vO.因 此 g(f).g 尺)=一 强 g x 厂 2 i r|_P-，7.所 以 式 无),，n 2 s 小 n7l0.8由(i)(ii)知 对 任 意 XE 4,+8,?G2V2,-H),g(/).O,即 对 任 意 p-,+oo L 均 有/(X),石 2a综 上 所 述，所 求。的 取 值 范 围 是【名 师 点 睛】导 数 是 研 究 函 数 的 单 调 性、极 值(最 值)最 有 效 的 工 具，而 函 数 是
18、 高 中 数 学 中 重 要 的 知 识 点,对 导 数 的 应 用 的 考 查 主 要 从 以 下 几 个 角 度 进 行：(1)考 查 导 数 的 几 何 意 义，往 往 与 解 析 几 何、微 积 分 相 联 系.(2)利 用 导 数 求 函 数 的 单 调 区 间，判 断 单 调 性；已 知 单 调 性，求 参 数.(3)利 用 导 数 求 函 数 的 最 值(极 值)，解 决 生 活 中 的 优 化 问 题.(4)考 查 数 形 结 合 思 想 的 应 用.7.【2019年 高 考 江 苏】设 函 数/(x)=(x-a)(x6)(x-c),a,),CGR、尸(x)为 f(年 的 导
19、函 数.(1)若 a=b=c,f(4)=8,求。的 值;(2)若 b,b=c,且 f(x)和 尸(幻 的 零 点 均 在 集 合-3,1,3 中,求 f(%)的 极 小 值;4(3)若。=0,0，l,c=l,且 f(x)的 极 大 值 为 M,求 证:药.【答 案】(1)。=2；(2)见 解 析；(3)见 解 析.【解 析】(1)因 为。=A=c,所 以/(x)=(xa)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因 为/(4)=8,所 以(4一。)3=8,解 得。=2.(2)因 为。=c,所 以 f(x)=(x-d)x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2.从 而 尸(x)=3(
20、x-加 卜 一 篝 e.令/(x)=O,得 x=8 或 x=n 詈.因 为 七 言 2 都 在 集 合 3,1,3 中，且。工 人 所 以”=l,a=3,b=3.3此 时/(X)=(X 3)(X+3)2,/(x)=3(x+3)(x1).令/)=0,得=-3或 x=l.列 表 如 下:9X(-oo,-3)-3(-3,1)1。,+8）f W+0-0+f M 极 大 值 极 小 值 所 以/(x)的 极 小 值 为 了=(13)(1+3)2=32.(3)因 为 a=O,c=l,所 以/(x)=x(xZ?)(x1)=/S+l)2,f(x)-3x2 2(b+l)x+Z?.因 为 0 0,则/(x)有 2
21、个 不 同 的 零 点，设 为 石,(玉 马)I、c 田 b+l-lb2-b+b+i+b1-b+由 fx=0,得=-,4=-列 表 如 下：Xy，x）斗（%，工 2）x2(x2,+oo)广（X）+0-0+/（X）极 大 值 极 小 值 所 以/(X)的 极 大 值 M=/(3).解 法 一：M=与)=,_(+1濡+加=函 一 2 g+1)玉+一 等 卜 I。X=一 2(+1)3+1)+但+4 27 9 27/=如 1 k2(1 尸(1)+工 师 诉 了 27 27 27 v励+1)2 4,4-+.因 此 M W.+贴+1)910解 法 二：因 为 0。4 1,所 以 9 G(0,1).当 X
22、G(0,1)时，f(x)=X(X-b)(x-1)x(x-I)2.令 g(x)=x(x-l)2,xw(0,D，则 g(x)=3(x-(X-1).4 4所 以 当 xe(0,l)时，/(x).?(%),因 此 M V 药.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 性 质，考 查 综 合 运 用 数 学 思 想 方 法 分 析 与 解 决 问 题 以 及 逻 辑 推 理 能 力.8.【2018年 高 考 全 国 I卷 理 数】已 知 函 数/(X)=-x+alnx.x(1)讨 论/(X)的 单 调 性；(2)若/(x)存 在 两 个 极 值 点 入,工 2,证 明
23、：二/a 2.玉-x2【答 案】(1)见 解 析；(2)见 解 析.【解 析】/(X)的 定 义 域 为(0,+8),尸(x)=二 一 1+3=-匚 学！.X X XT(i)若 则/(%)2,令/,(幻=0 得，=伫 用 a 或 三.11当 xe(O,竺 咚 巨)U(史 咚 巨，物)时，/(x)0.所 以/(X)在(0,.一 呼 _4)/+呼 _4 收)单 调 递 减，在-4,a j；4)单 调 递 增.(2)由(1)知，/(x)存 在 两 个 极 值 点 当 且 仅 当 a 2.由 于/(X)的 两 个 极 值 点 满 足 f-6优+1=0，所 以%2=1，不 妨 设 工 V 工 2，则 乙
24、 1.由 于 1 a)/(9)_ _ _ 1 _ _ 1|/呻 一 加/二 2 1 0 1nx Tn=2 I-21nx2X-X2 X y X r y X1 X2 X,-X2 1 x2X?所 以/(死/(也.42等 价 于 丁+2111 0.x-x2 x2设 函 数 g(x)=L-x+21nx,由(1)知，g(x)在(),+oo)单 调 递 减，又 g=0,从 而 当 xe(l,+oo)x时，g(尤)0.所 以 1-工 2+2111工 2 0，即/a 2.X2X-x2【名 师 点 睛】该 题 考 查 的 是 应 用 导 数 研 究 函 数 的 问 题，涉 及 的 知 识 点 有 应 用 导 数
25、研 究 函 数 的 单 调 性、应 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 以 及 极 值 所 满 足 的 条 件，在 解 题 的 过 程 中，需 要 明 确 导 数 的 符 号 对 单 调 性 的 决 定 性 作 用，再 者 就 是 要 先 确 定 函 数 的 定 义 域，要 对 参 数 进 行 讨 论，还 有 就 是 在 做 题 的 时 候，要 时 刻 关 注 第 一 问 对 第 二 问 的 影 响，通 过 构 造 新 函 数 来 解 决 问 题 的 思 路 要 明 确.9.【2018年 高 考 全 国 HI卷 理 数】已 知 函 数 f(x)=(2+x+ar2)ln(l+x)-2x.(1
26、)若 a=0,证 明：当 一 IvxvO 时，/(x)0 时，/(x)0；(2)若 工=0是 的 极 大 值 点，求 a.【答 案】(1)见 解 析：(2)=6x【解 析】(1)当。=0 时，/(x)=(2+x)ln(l4-x)-2x,fr(x)=ln(l+x)-.1+x12Y X设 函 数 g(x)=f x)=ln(l+x)-，则 g(x)=J,.1+x(1+x)当-l x 0 时，g(x)0.故 当 x-l 时，g(x)2g(0)=0,且 仅 当 x=0 时，g(x)=O,从 而/(x)N O,且 仅 当 x=0时，/(x)=0.所 以/(x)在(一 1,+8)单 调 递 增.又/(0)=
27、0,故 当 一 l x 0 时，f(x)0.(2)(i)若 由(1)知，当 x 0时，f(x)(2+x)ln(l+x)-2 x 0=/(0),这 与 x=0 是/(x)的 极 大 值 点 矛 盾.(ii)若。O,故%(刈 与/(乃 符 号 相 同.1 1又/0)=/(0)=0,故 x=0是/(x)的 极 大 值 点 当 且 仅 当 x=0是/i(x)的 极 大 值 点.h.(X.x)=-1-2-(2-+-x-+-a-x-2-)-2-x-(-1+-2-a-x-)-=-x-2-(-a-2-x-1-+-4-a-x-+-6-+-1).1+尤(2+%+t z x)(x+V)(0,则 当 0 x-加 士
28、L 且|x|0,故 x=0 不 是(x)的 极 4a|a|大 值 点.如 果 6。+1 0,则+4以+6。+1=0 存 在 根 与 0,故 当 x e(X|,O),且|x|minl,1-时,11h(x)0；当 x(O,l)时，(x 4-l)(x 6x 1 2)“(X)v 0.所 以 x=0是 h(x)的 极 大 值 点，从 而 x=0是/(X)的 极 大 值 点 综 上，a=-.6【名 师 点 睛】本 题 考 查 函 数 与 导 数 的 综 合 应 用，第 一 问 利 用 函 数 的 单 调 性 证 明 不 等 式，第 二 问 分 类 讨 13论 a N O 和。0,当。l；(2)若/(x)在
29、(0,+8)只 有 一 个 零 点，求 a.2【答 案】(1)见 解 析：(2)a=J.4【解 析】(1)当 a=l时,/(x)Nl等 价 于，+1)-一 1W0.设 函 数 g(x)=(V+1把-*-1,则 g(x)=-(x1-2x+l)ex=-(x-l)2e-x.当 x w l 时，g(x)0,所 以 g(x)在(。,+8)单 调 递 减.而 g(0)=0,故 当 x N O 时，g(x)0,(x)没 有 零 点；(ii)当 a 0 时，h(x)=ar(x-2)e-jr.当 xe(0,2)时，h r(x)0.所 以(x)在(0,2)单 调 递 减，在(2,48)单 调 递 增.故(2)=1
30、-与 是 h(x)在 0,+8)的 最 小 值.e2 若(2)0,即 a J,(x)在(0,+s)没 有 零 点；42 若(2)=0,即 a=J,一 x)在(0,+8)只 有 一 个 零 点;4e2 若 Zz(2)0 时，e1 x2 所 以(4a)=-*=1-y 1=1 0.e4fl(e20)2(2a)4 a14故/z(x)在(2,4a)有 一 个 零 点，因 此/(x)在(0,+8)有 两 个 零 点.e2综 上，/(乃 在(0,+8)只 有 一 个 零 点 时，a=.4【名 师 点 睛】利 用 函 数 零 点 的 情 况 求 参 数 值 或 取 值 范 围 的 方 法：(1)利 用 零 点
31、 存 在 性 定 理 构 建 不 等 式(组)求 解；(2)分 离 参 数 后 转 化 为 函 数 的 值 域(最 值)问 题 求 解；(3)转 化 为 两 熟 悉 的 函 数 图 象 的 上、下 关 系 问 题，从 而 构 建 不 等 式 求 解.1 1.【2018年 高 考 北 京 理 数】设 函 数/(x)=or2(4a+l)x+4“+3e.(I)若 曲 线 y=/(x)在 点(1,/(D)处 的 切 线 与 x轴 平 行，求(II)若“X)在 x=2处 取 得 极 小 值，求 a的 取 值 范 围.【答 案】(1)1；(II)(1，+8).2【解 析】(I)因 为/。)=依 2 _(4
32、a+l)x+4a+3e,所 以/(x)=_2ax-(4。+1)e+Ear2-(4a+l)x+4+3 e=ar2-(2a+1)x+2 e.广=(一)e.由 题 设 知 尸=0,即(l-a)e=0,解 得 a=l.此 时 f(l)=3eW0.所 以。的 值 为 L(II)由(I)得/(x)=ar2-(2a+l)x+2 e*=(ar-1)(x-2)ev.若 则 当 xG(1,2)时，尸(x)0.所 以/(x)在 户 2 处 取 得 极 小 值.若 无 L 则 当 xe(0,2)时，x-20,6M-1 x-l0.所 以 2 不 是/(x)的 极 小 值 点.综 上 可 知，”的 取 值 范 围 是(!
33、，+8).2【名 师 点 睛】利 用 导 数 的 几 何 意 义 解 题，主 要 是 利 用 导 数、切 点 坐 标、切 线 斜 率 之 间 的 关 系 来 进 行 15转 化.以 平 行、垂 直 直 线 斜 率 间 的 关 系 为 载 体 求 参 数 的 值，则 要 求 掌 握 平 行、垂 直 与 斜 率 之 间 的 关 系，进 而 和 导 数 联 系 起 来 求 解.1 2.【2018年 高 考 天 津 理 数】已 知 函 数/(%)=优，g(x)=lo g 0 x,其 中”1.(I)求 函 数/z(x)=f(x)-x ln a的 单 调 区 间;(II)若 曲 线=/(%)在 点(%,.
34、/(X,)处 的 切 线 与 曲 线 y=g(x)在 点(工 2途(工 2)处 的 切 线 平 行，证 明(H D证 明 当“Z e。时，存 在 直 线/，使/是 曲 线 y=/(x)的 切 线，也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.【答 案】(I)函 数(无)的 单 调 递 减 区 间 为(-8,0),单 调 递 增 区 间 为(0,+8);(I I)见 解 析；(n i)见 解 析.【解 析】(I)由 己 知，h(x)=ax-xna,有/z(x)=a*ln a-ln a.令 h(x)=0,解 得 x=0.由 可 知 当 X变 化 时，饵 尤)的 变 化 情 况 如 下 表：XS O)0(
35、0,+oo)hr(x)0+(x)极 小 值 所 以 函 数 力(幻 的 单 调 递 减 区 间 为(-8,0),单 调 递 增 区 间 为(0,+8).(II)由/(x)=a n a,可 得 曲 线 丁=/(x)在 点(占 J(x J)处 的 切 线 斜 率 为 Ina.由 g(x)=1,可 得 曲 线 y=g(x)在 点(%,g(%2)处 的 切 线 斜 率 为 一.xina x2 na因 为 这 两 条 切 线 平 行，故 有 a lna=一，即 无 以，(比。)2=1.x2 Ina两 边 取 以 为 底 的 对 数，得 log。毛+%+21og“lnQ=0,所 以 西+g(2)(III)
36、曲 线 y=/(x)在 点(5M、)处 的 切 线/i：=。项 ln a(x-x j.16曲 线 y=g(x)在.，点,log“x,)处 的 切 线 6：y log.x2=-(xx,).x2 In 0：%(0,+oo)时，/(x)单 调 递 减，乂(0)=1 0,u=1 a瓦 滔 O,使 得(为)=0，即 1(1114)2%淖=0.由 此 可 得(龙)在(0,%0)上 单 调 递 增，在(入 0，+0。)上 单 调 递 减.(x)在=%0处 取 得 极 大 值(%).因 为 a Ne，故 为(Ina)之 一 1,/、心 1 21nlna 1 21nlna、2+21nlna、八 所 以 U(X
37、Q)=a-XG n a+XQ H-1-+/4-2-之 0.Ina In a x0(ln ci)Ina In a下 面 证 明 存 在 实 数 t,使 得“(f)0.由 可 得 a*Nl+xlna,当 X 一 时，Ina士/i s 1、1 21nh1。/I、2 2 1 I 2 In Inaf j(x)(1+x In a)(l x In o)+x 4-1-(In a)x+x+1H-1-,In Q In a In a In a所 以 存 在 实 数 3 使 得 Q)v0 _因 此，当 aNee时，存 在 力(-oo,+8),使 得(玉)=0.17所 以，当 a N e e 时，存 在 直 线/,使/
38、是 曲 线 y=/(x)的 切 线，也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.【名 师 点 睛】本 小 题 主 要 考 查 导 数 的 运 算、导 数 的 几 何 意 义、运 用 导 数 研 究 指 数 函 数 与 对 数 函 数 的 性 质 等 基 础 知 识 和 方 法.考 查 函 数 与 方 程 思 想、化 归 思 想.考 查 抽 象 概 括 能 力、综 合 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力.1 3.【2018年 高 考 浙 江】已 知 函 数./U)=Tirv.(I)若 在 x=x”2(由 外 2)处 导 数 相 等，证 明：於 iH/(2)8-81n2；(II)若 oS3
39、-41n2,证 明：对 于 任 意 Q 0,直 线 产 fcx+a与 曲 线 y=;/(x)有 唯 一 公 共 点.【答 案】(I)见 解 析；(U)见 解 析.【解 析】(I)函 数 f(X)的 导 函 数.1(%)=尸 一,，2Vx x1 1 1 1由 小)得 访 不 乐 一 三 1 1 1因 为 苞 力 工 2，所 以-7=+7=彳.一 占“2 2由 基 本 不 等 式 得 g J x z=6+区 V 2yxi与.因 为 不。工 2，所 以 王 龙 2256.由 题 意 得/(无 i)+/(X2)=i-lnX|+-In x2-n(xtx2).设 g(x)=g T n x，则 g)=4(五
40、 4),4x所 以 X(0,16)16(16,+oo)gM0 4-g(x)2-41n2z所 以 g(x)在 256,+oo)上 单 调 递 增,故 g(%X2)g(256)=881n2,即/(%)+/(x2)8-81n2.18(II)令 m=e-(H+/:),72=(同+1)2+1,则 kf(?)-krn-aa+k-k-a0,()-kn-a-k)0,7 n n y/n所 以，存 在 沏(m,)使/(xo)=kx()+at所 以，对 于 任 意 的 及 2(0,+8),直 线 尸 心 什 与 曲 线 y=/(x)有 公 共 点.由/(X)=&+“得 女=4 ln x-aX设 心)=G g fXI
41、n x-1+a,、则/尤)=1=二 里 也 冲 厂 x其 中 g(x)=-l n x-由(I)可 知 g(x)%(16),乂 区 3-41n2,故-g(x)-1+aS-g(16)-l+a=-3+41n2+a0,所 以(x)0,即 函 数 人(x)在(0,+8)上 单 调 递 减，因 此 方 程/(x)-a=0 至 多 1个 实 根.综 上，当 aW3-41n2时，对 于 任 意 Q 0,宜 线 产 6+。与 曲 线 产/(x)有 唯 一 公 共 点.【名 师 点 睛】本 题 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性，导 数 的 运 算 及 其 应 用，同 时 考 查 逻 辑 思 维 能 力 和
42、综 合 应 用 能 力.1 4.【2018年 高 考 江 苏】某 农 场 有 一 块 农 田，如 图 所 示，它 的 边 界 由 圆。的 一 段 圆 弧 MPN(P 为 此 圆 弧 的 中 点)和 线 段 M N构 成.已 知 圆。的 半 径 为 40米，点 尸 到 M N的 距 离 为 50米.现 规 划 在 此 农 田 上 修 建 两 个 温 室 大 棚，大 棚 I 内 的 地 块 形 状 为 矩 形 48C。，大 棚 H 内 的 地 块 形 状 为 C D P,要 求 A B 均 在 线 段 M N上，C,。均 在 圆 弧 上.设。C与 M V所 成 的 角 为 6.(1)用。分 别 表
43、 示 矩 形 ABC。和 COP的 面 积，并 确 定 sin。的 取 值 范 围；(2)若 大 棚 I 内 种 植 甲 种 蔬 菜，大 棚 H内 种 植 乙 种 蔬 菜，且 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 单 位 面 积 年 产 值 之 比 为 4:3.求 当 J 为 何 值 时，能 使 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 年 总 产 值 最 大.19【答 案】(1)矩 形 A8CZ)的 面 积 为 800(4sin，cos，+cos0)平 方 米，A C D P 的 面 积 为 16(X)(cos，-sin，cos。)平 方 米，sin。的 取 值 范 围 是 1,1；(2)当 外 四 时，能 使 甲
44、、乙 两 种 蔬 菜 的 年 总 产 值 最 大.4 6【解 析】(1)连 结 P。并 延 长 交 M N 于”，则 所 以。”=10.过。作 OEV B C 于 E,则 O E M M N,所 以 NCOE=。，故 OE=40cos/EC=40sin/则 矩 形 A8C。的 面 枳 为 2x40cos8(40sin+l0)=800(4sin(9cos(9+cos6D,CDP 的 面 积 为 L x2x40cos。(4O-4Osin0)=1600(cos0-sin0cos0).2过 N 作 G N 上 M N,分 别 交 圆 弧 和 O E 的 延 长 线 于 G 和 K,则 GK=KN=13
45、令 NGOK=OQ,贝 lJsin%=L,(9oe(0,-).4 6当 昨 向,乌 时，才 能 作 出 满 足 条 件 的 矩 形 A8CD,2所 以 sind的 取 值 范 围 是：,1.答：矩 形 ABCC 的 面 积 为 800(4sin6cos6+cos。)平 方 米，(?)的 面 积 为 1600(cos0-sin6cos6)平 方 米，sin。的 取 值 范 围 是 1，1.(2)因 为 甲、乙 两 种 蔬 菜 的 单 位 面 积 年 产 值 之 比 为 4：3,设 甲 的 单 位 面 积 的 年 产 值 为 4k,乙 的 单 位 面 积 的 年 产 值 为 女(Q0),则 年 总
46、 产 值 为 4kx800(4sincos(9+cos61)+3x1600(cosQsinGcos。)TT二 80002(sin9cos0+cos。)，20设/(夕)=sin0cos8+cos。，。仇)，2则,1(。)=852 O-sin?-sin=-(2sin2+sin-l)=-(2sin-l)(sin+l).令/(6)=0,得 生 四，6当 8G(仇，-)时，r(e)o,所 以/(J)为 增 函 数；6当 6G(色，色)时，f(0)0,判 断 是 否 存 在 b 0,使 函 数/(%)与 g(x)X在 区 间(0,+00)内 存 在“S 点”，并 说 明 理 由.e【答 案】(1)见 解
47、析；(2)；(3)见 解 析.2【解 析】(1)函 数/(x)=x,g(x)=X2+2X2,则/(x)=1,gf(x)=2r+2.由/(x)=g(x)且 了(x)=/(x),得 x=x2+2x-2l=2x+2,此 方 程 组 无 解,因 此，f(x)与 g(x)不 存 在“S”点.(2)函 数/(x)=分 2,g(x)=ln,则/(%)=2ax，g(x)=.x设 沏 为/(l)与 g(x)的 S点，由/(沏)=g(沏)且/(沏)=g(沏)，得 21ax-1=In x0。1，即,2ox0=%2 i i咻 T=ln/=11-1 1 e得 In 尤。=,l!|J=e 2,则 a=-1=2 2(”)2
48、 2e 当。=一 时，x0=e 2满 足 方 程 组(*),即 为/(x)与 g(x)的“5”点.因 此，的 值 为 三 e.2(3)对 任 意 0,设(x)=d-.因 为(0)=a0,(1)=1 3 a+a=-2 0.(I-%)加 X函 数/(幻=_12+,g(x)=，X则 f(x)=-2x，g(x)=加).由 f(x)=g(x)且/即 0,存 在 匕 0,使 函 数/(x)与 g(x)在 区 间(0,+oo)内 存 在“S 点”.【名 师 点 睛】本 小 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 初 等 函 数 的 性 质，考 查 综 合 运 用 数 学 思 想 方 法 分 析 与 解
49、决 问 题 以 及 逻 辑 推 理 能 力.16.【2017年 高 考 全 国 I卷 理 数】已 知 函 数/()=讹 2+(2)e*x.(1)讨 论/(x)的 单 调 性;(2)若/(x)有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.22【答 案】(1)见 解 析；(2)(0,1).【解 析】(1)/(X)的 定 义 域 为(7,+8)，fx)=2ae2x+(a-2)er-1=(ex-l)(2er+1),(1)若。(0,则/(x)0,则 由/(x)=0 得 x=Ina.当 xw(oo,-In a)时，ff(x)0,所 以/(x)在(-8,-lna)单 调 递 减，在(-Ina,+8)单 调
50、 递 增.(2)(i)若。(0,由(1)知，/(元)至 多 有 一 个 零 点.(ii)若。0,由(1)知，当 x=T n a 时，f(x)取 得 最 小 值，最 小 值 为/(一 Ina)=1+lna.a 当。=1 时,由 于/(一 lna)=0,故/(%)只 有 一 个 零 点;当 ae(l,+oo)时，由 于 1，+l n a 0,即/(lna)0,故/(x)没 有 零 点：a 当 a e(0,1)时，l-+lna(),即/(-lna)-2e-2+2 0,故/(幻 在(一 8,-1114)有 个 零 点.设 正 整 数%满 足 o ln(-1),则/(4)=eb(ae3+a 2)%e%2