2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文.pdf

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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（重 庆 卷）数 学 试 题 卷（文 史 类）满 分 150分 考 试 时 间 120分 钟 注 意 事 项：1.答 题 前，务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 规 定 的 位 置 上。2.答 选 择 题 时，必 须 使 用 2 B铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。3.答 非 选 择 题 时，必 须 使 用 0.5毫 米 黑 色 签 字 笔，将 答 案 书 写 在 答 题 卡

2、规 定 的 位 置 上。4.所 有 题 目 必 须 在 答 题 卡 上 作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效。5.考 试 结 束 后，将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 大 题 共 10小 题，每 小 题 5 分，共 5 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 备 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.在 等 差 数 列 4 中，十=2,%=4,则%=A.12 B.14 C.16 D.182.设。=凡 知=划 尤 2 _ 2%0,则=A.0,2 B.(0,2)C.(-o o,0)u(2,+00)D.(-o o,0 u 2,+o

3、o)3.曲 线 y=在 点(1,2)处 的 切 线 方 程 为 A.y=3 x-l B.y=-3 x 4-5C.y=3x4-5 D.y=2x4.从 一 堆 苹 果 中 任 取 1 0只，称 得 它 们 的 质 量 如 下(单 位：克)125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则 样 本 数 据 落 在 114.5,124.5)内 的 频 率 为 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.已 知 向 量。=(1)=(2,2),月。+匕 与。共 线，那 么 的 值 为 A.1 B.2 C.3 D.4?46.设 a=log-,Z?=log-,c=log3，则

4、。也 c 的 大 小 关 系 是 a 2 3 3A.a b c B.c b a C.b a c D.b c a7.若 函 数/(只 二 无+1(2)在 x=a 处 取 最 小 值，则。=n-2A.1+2B.1+百 C.3 D.48.若 A B C 的 内 角，A,B,C 满 足 6sin A=4 sin B=3sin C,则 cos B=人 屈 A.-43 3A/15 11B.-C.-D.4 16 169.设 双 曲 线 的 左 准 线 与 两 条 渐 近 线 交 于 A B 两 点，左 焦 点 在 以 A B 为 直 径 的 圆 内，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为

5、 A.(0,5/2)B.(1,72)D.(V2,+00)10.高 为 血 的 四 棱 锥 S-A 3 C O 的 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形，点 S、A、B、C、。均 在 半 径 为 1的 同 一 球 面 上，则 底 面 A B C O 的 中 心 与 顶 点 S 之 间 的 距 离 为 x/io V2+V3 3/-A.-B.-C.-D.22 2 2二、填 空 题，本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分，把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 11.(1+2x)6的 展 开 式 中%4的 系 数 是 12.,3,3%、7 f COS U-，且

6、 Cl G(7T,-)5 2则 tan a=_13.过 原 点 的 直 线 与 圆 2x4y+4=0 相 交 所 得 弦 的 长 为 2,则 该 直 线 的 方 程 为 14.从 甲、乙 等 10位 同 学 中 任 选 3 位 去 参 加 某 项 活 动，则 所 选 3 位 中 有 甲 但 没 有 乙 的 概 率 为 15.若 实 数 a,c 满 足 2+2=T+b,X+2+2。=2a+b+c,贝 肥 的 最 大 值 是 三、解 答 题，本 大 题 共 6 小 题，共 25分，解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.16.(本 小 题 满 分 13分，(I)小

7、问 7 分，(H)小 问 6 分)设 屋 是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列，4=2,q=。2+4。(I)求 a,J的 通 项 公 式;(H)设 也,是 首 项 为 1,公 差 为 2 的 等 差 数 列，求 数 列 伍”+4 的 前 项 和 S,。17.(本 小 题 满 分 13分，(I)小 问 6 分，(II)小 问 7 分)某 市 公 租 房 的 房 源 位 于 A、B、C 三 个 片 区，设 每 位 申 请 人 只 申 请 其 中 一 个 片 区 的 房 源，且 申 请 其 中 任 一 个 片 区 的 房 源 是 等 可 能 的，求 该 市 的 任 4 位 申 请 人 中：(I

8、)没 有 人 申 请 A 片 区 房 源 的 概 率；(II)每 个 片 区 的 房 源 都 有 人 申 请 的 概 率。18.(本 小 题 满 分 13分,(I)小 问 7 分,(II)小 问 6 分)设 函 数/(x)=sin xcosxV3 cos(万+x)cos x(x G R).(1)求，(x)的 最 小 正 周 期；(ID若 函 数 y=/(x)的 图 象 按 6=平 移 后 得 到 函 数、=8。)的 图 象，求 丁=8(%)在(0,T T 上 的 最 大 值。419.(本 小 题 满 分 12分，(I)小 题 5 分，(II)小 题 7 分)设/(x)=2 d+办 2+笈+1的

9、 导 数 为/，(幻，若 函 数 y=r(x)的 图 像 关 于 直 线 x=-g 对 称，且/(1)=0.(I)求 实 数。力 的 值(II)求 函 数/(X)的 极 值 20.(本 小 题 满 分 12分，(I)小 问 6 分，(H)小 问 6 分)如 题(20)图，在 四 面 体 A B C O 中，平 面 ABC J_ 平 面 ACO,AB 1 BC,AC=AD=2,BC=CD=(I)求 四 面 体 A B C D 的 体 积；(II)求 二 面 角 C-AB-D的 平 面 角 的 正 切 值。题(2 0)图21.（本 小 题 满 分 12分。（I）小 问 4 分，（H）小 问 8 分

10、）如 题（21）图，椭 圆 的 中 心 为 原 点 0,离 心 率 e=Y2,一 条 准 线 的 方 程 是 x=2行 2（I）求 该 椭 圆 的 标 准 方 程；（II）设 动 点 P 满 足：O P=O M+2 O N,其 中 M、N 是 椭 圆 上 的 点，直 线 O M 与 O N 的 斜 率 之 积 为 一;，问：是 否 存 在 定 点 F,使 得|P目 与 点 P 到 直 线/：=2面 的 距 离 之 比 为 定 值；若 存 在，求 F 的 坐 标，若 不 存 在，说 明 理 由。参 考 答 案 一、选 择 题 1 5 D A A C D 6 10 B C D B A二、填 空 题

11、：11.240412.-313.2 x-y=Q714.3015.2-log2 3三、解 答 题：满 分 75分 16.（本 题 13分）解：（I）设 q 为 等 比 数 列 4 的 公 比，则 由 q=2,4=%+4 得 2 d=2 4+4,即/27 2=0,解 得 4=2或 q=-1（舍 去），因 此 q=2.所 以 4 的 通 项 为 an=2-2T=2（G N*）.（II）S=2（1-2）,（一 1）-+x 1+-1-2 2x 2.=2,+l+n2-2.17.(本 题 13分)解：这 是 等 可 能 性 事 件 的 概 率 计 算 问 题。(I)解 法 一：所 有 可 能 的 申 请 方

12、 式 有 34种，而“没 有 人 申 请 A 片 区 房 源”的 申 请 方 式 有 24种。记“没 有 人 申 请 A 片 区 房 源”为 事 件 A,则、24 16P(A)=.34 81解 法 二：设 对 每 位 申 请 人 的 观 察 为 一 次 试 验，这 是 4 次 独 立 重 复 试 验.记”申 请 A 片 区 房 源”为 事 件 A,则 P(A)=1.由 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 发 生 k 次 的 概 率 计 算 公 式 知，没 有 人 申 请 A 片 区 房 源 的 概 率 为(II)所 有 可 能 的 申 请 方 式 有 34种，而“每 个 片 区 的 房

13、 源 都 有 人 申 请”的 申 请 方 式 有 C 戏 G(或 仁 C；)种.记”每 个 片 区 的 房 源 都 有 人 申 请”为 事 件 B,从 而 有 P=,=%或 P(8)=等=18.(本 题 13分)解：(I)/(x)=sn2x+V3cos2 x1._ 5/3 八、=sin 2x 4-(1+cos 2x)2 21.V3-Gsin 2x H-cos 2x H-2 2 27 1 G=sin(2x+-)4.故/(幻 的 最 小 正 周 期 为.2万 T=7 1.2(II)依 题 意 g(x)=/(x)-?+坐.S/兀 兀 6 6=sin2(x-)+4 3 2 2=sin(2九 一 生)+

14、G.6jr-TT 7 t 7 T当 xw 0,时,2x e|,g(x)为 增 函 数,4 6 6 319.(本 题 12分)解：(I)因/(x)=2 d+分 2+笈+i,(x)=6x?+2czx+0.2从 而/(左)=6(犬+3)2+8一 幺，6 6即 y=f x)关 于 直 线 X=幺 对 称，从 而 由 题 设 条 件 知 一 2=-L 解 得。=3.6 6 2又 由 于/=0,即 6+2。+/?=0,角 军 得 人=-12.(II)由(I)知/(x)=2 d+3 d-12x+l,f x)6JT+6x-12=6(x-l)(x+2).令 f x)=0,艮 历(x 1)(尤+2)=0.解 得=

15、2,w=1.当 x e(T,-2)时,/(x)0,故 f(x)在(一 8,-2)上 为 增 函 数；当 x e(2,1)时,/(x)0,故/(X)在(1,+O O)上 为 增 函 数;从 而 函 数/(x)g=-2 处 取 得 极 大 值/(-2)=21,在 马=1处 取 得 极 小 值/(1)=-6.(本 题 12分)解 法 一：(I)如 答(2 0)图 1,过 D 作 DF_LAC垂 足 为 F,故 由 平 面 ABCJ_平 面 A C D,知 DF_L平 面 A B C,即 DF是 四 面 体 ABCD的 面 ABC上 的 高，设 G 为 边 C D的 中 点,则 由 AC=AD,知 A

16、G_LCD,从 而 AG=V AC2-CG2=(2 _ 夕=半.A由 9 4 G 得,=”=半 由 R/AA8C中,AB=VAC2-BC2=5 SMBC:A B B C 当 故 四 面 体 ABCD的 体 积。尸=3 z A/tn v&(n)如 答(2 0)图 1,过 F作 FEJ_A B,垂 足 为 E,连 接 DE。由 知 DF_L平 面 ABC。由 三 垂 线 定 理 知 DE_LAB,故/D E F为 二 面 角 CABD 的 平 面 角。在 RfAAFD中,AF=4 A D r-D F2=卜?_(浮 y=Z,A F-BC 7在 R/A48C 中，EF/B C,从 而 EF：BC=AF

17、：A C,所 以 族=-=一.AC 8在 RtaDEF 中，tan DEFDF _ 2 厉 EF 7解 法 二：(I)如 答(2 0)图 2,设。是 A C的 中 点，过。作 O H L A C,交 AB于 H,过 O 作 OM1 A C,交 AD于 M,由 平 面 ABC_L平 面 A C D,知 OH_LOM。因 此 以 O为 原 点，以 射 线 OH,OC,OM分 别 为 x 轴，y 轴，z 轴 的 正 半 轴，可 建 立 空 间 坐 标 系 o xyz.己 知 A C=2,故 点 A,C 的 坐 标 分 别 为 A(0,1,0),C(0,1,0),设 点 B 的 坐 标 为 及 X,x

18、,0),由 AB A.B C,B C=,有片+犬=1，x：+(y=1)2=1,解 得 玉 2 x-一 7，2(舍 去).1h 1即 点 B 的 坐 标 为 6（也,一,0）.2 2又 设 点 D 的 坐 标 为 D（0,%，Z2）,由 I CD=1,1 A D 1=2,有(%-IT+z：=1,(y2+1)2+Z；=4,解 得 3V15Z2=,43L(舍 去).V15Z 2=F3即 点 D 的 坐 标 为。（0,4从 而 AACD边 A C 上 的 高 为 h H z,|=又|A 8 1=J(|)2+(g+l)2=,|B C|=1.故 四 面 体 A B C D 的 体 积 VL x L A B

19、 B C h=-3 2 o(II)由(I)知 4 8=(也,3,0),40=(0,?,2 2 4设 非 零 向 量=（/,）是 平 面 A B D 的 法 向 量，则 由 _L A 8 有 3/+，=().2 2(1)由 有 4 4(2)取 加=一 1,由（1）,（2）,可 得/=今，即=（J5,1,显 然 向 量 氏=(0,0,1)是 平 面 A B C 的 法 向 量，从 而 7后 cos=15L.493+1+157V109109,V-109 2A/L5故 tan=-=-V io 9即 二 面 角 C-A B-D 的 平 面 角 的 正 切 值 为 名 近.721.(本 题 12分)解：(

20、I)由 e=2A/2,a l e解 得 a=2,c=V2,b2=er c1=2,故 椭 圆 的 标 准 方 程 为(ID 设 P(x,y),M(x，x),N(X2，y2)，则 由 OP=O M+2ON 得(x,y)=(%,%)+2(x2,y2)=(%+2x2,y,+2y2),即 x=X+2X2,y=y+2y2.因 为 点 M,N 在 椭 圆 d+2；/=4 上，所 以 x；+2y；=4芯+=4,故 d+2y2=(xj+44+4XW)+2(y；+4 货+4yty2)=(x：+2y；)+4(+)+4(x,x2+2y 必)=2。+4(玉+2 到)-设 勺 分 别 为 直 线 O M，O N 的 斜 率，由 题 设 条 件 知 如 小=受 T，因 此 小+2,%=。，所 以 f+2y2=20.所 以 P 点 是 椭 圆 一-+=1上 的 点，该 椭 圆 的 右 焦 点 为 尸（Ji5,o）,离 心 率（2 6 y（V10）26=也，直 线/:x=2/17是 该 椭 圆 的 右 准 线，故 根 据 椭 圆 的 第 二 定 义，存 在 定 点 R（、丽,0）,2使 得 IPFI与 P 点 到 直 线/的 距 离 之 比 为 定 值。