2023届高考数学一轮知识点训练：几何概型（含答案）.pdf

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1、2023届 高 考 数 学 一 轮 知 识 点 训 练：几 何 概 型 一、选 择 题（共 16小 题）I.如 图，在 矩 形 区 域 4 8 C D 的 A,C 两 点 处 各 有 一 个 通 信 基 站，假 设 其 信 号 覆 盖 范 围 分 别 是 扇 形 区 域 A D E 和 扇 形 区 域（该 矩 形 区 域 内 无 其 他 信 号 来 源，基 站 工 作 正 常）.若 在 该 矩 形 区 域 内 随 机 地 选 一 地 点，则 该 地 点 无 信 号 的 概 率 是（）A.1-B.-1 C.2-D.-4 2 2 42.如 图，矩 形 4 B C D 中，点 E 为 边 C D 的

2、 中 点，若 在 矩 形 4 B C D 内 部 随 机 取 一 个 点 Q,则 点 Q 取 自 4 8 E 内 部 的 概 率 等 于（）3.若 将 一 个 质 点 随 机 投 入 如 图 所 示 的 长 方 形 4 B C D 中，其 中 AB=2,BC=1,则 质 点 落 在 以 4B为 直 径 的 半 圆 内 的 概 率 是（）4.在 区 间 0,1 上 随 机 取 两 个 数 x,y,记 pi为 事 件“x+y 针 的 概 率，p2为 事 件“孙 会 的 概 率，贝 N）A.Pi p2|B.px|p2 C.p2lPi D.1 p2 Pi5.节 日 前 夕，小 李 在 家 门 前 的

3、树 上 挂 了 两 串 彩 灯，这 两 串 彩 灯 的 第 一 次 闪 亮 相 互 独 立，且 都 在 通 电 后 的 4 秒 内 任 一 时 刻 等 可 能 发 生，然 后 每 串 彩 灯 以 4 秒 为 间 隔 闪 亮.那 么 这 两 串 彩 灯 同 时 通 电 后,它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是（）A.i B.i C.-D.-4 2 4 86.如 图，在 圆 心 角 为 直 角 的 扇 形 0 4 B 中，分 别 以。4。3 为 直 径 作 两 个 半 圆.在 扇 形 0 4 B 内 随 机 取 一 点，则 此 点 取 自 阴 影 部

4、分 的 概 率 是（）B.O A7.在 如 图 所 示 的 正 方 形 中 随 机 投 掷 100 0 0个 点，则 落 入 阴 影 部 分（曲 线 C 的 方 程 为 产-y=0）的 点 的 个 数 的 估 计 值 为（）A.5000 B.6667 C.7500 D.78548.“勾 股 定 理”在 西 方 被 称 为“毕 达 哥 拉 斯 定 理”，三 国 时 期 吴 国 的 数 学 家 赵 爽 创 制 了 一 幅“勾 股 圆 方 图“，用 数 形 结 合 的 方 法 给 出 了 勾 股 定 理 的 详 细 证 明.如 图 所 示 的“勾 股 圆 方 图“中，四 个 相 同 的 直 角 三

5、角 形 与 中 间 的 小 正 方 形 拼 成 一 个 边 长 为 2 的 大 正 方 形，若 直 角 三 角 形 中 较 小 的 锐 角 a=3现 在 向 该 正 方 形 区 域 内 随 机 地 投 掷 一 枚 飞 镖，飞 镖 落 在 小 正 方 形 内 的 概 率 是（）A.1 3 B心 C.9 D心 2 2 4 49.设 A 是 由 x 轴、直 线 无=a（0 a l）和 曲 线 y=一 围 成 的 曲 边 三 角 形 区 域，集 合。=（x,y）l 0 x l,0 y l,若 向 区 域。上 随 机 投 一 点 P,点 P 落 在 区 域 A 内 的 概 率 为 嗫，则 实 数 a 的

6、 值 是（）A.-B.-C.-D.-16 8 4 210.在 如 图 所 示 的“勾 股 圆 方 图”中，四 个 相 同 的 直 角 三 角 形 与 中 间 的 小 正 方 形 拼 成 一 个 边 长 为 2 的 大 正 方 形，若 直 角 三 角 形 中 较 小 的 锐 角 a=3 现 在 向 该 大 正 方 形 区 域 内 随 机 地 投 掷 一 枚 飞 镖，则 飞 镖 落 在 小 正 方 形 内 的 概 率 是（）A.l B.3 C.S D.在 2 2 4 411.已 知 事 件“在 矩 形 ABC。的 边 CD上 随 机 取 一 点 P,使 A P A B的 最 大 边 是 4 8”，

7、发 生 的 概 率 为 5则 枭=（）A.i B.i C.D.2 4 2 412.如 图，正 方 形 ABCD内 的 图 形 来 自 中 国 古 代 的 太 极 图，正 方 形 内 切 圆 中 的 黑 色 部 分 和 白 色 部 分 关 于 正 方 形 的 中 心 成 中 心 对 称.在 正 方 形 内 随 机 取 一 点，则 此 点 取 自 黑 色 部 分 的 概 率 是（）A BD13.ABCD为 长 方 形，AB=2,BC=1,。为 4 B 的 中 点，在 长 方 形 4B C D内 随 机 取 一 点，取 到 的 点 到。的 距 离 大 于 1 的 概 率 为（）A.-B.1-C.-D

8、.1-4 4 8 814.分 别 在 区 间 他 词 和 0,1 内 任 取 两 个 实 数 x,y,则 不 等 式 y sin x恒 成 立 的 概 率 为（）A.i B.-C.-D.i7 1 7 T l l 215.某 路 口 人 行 横 道 的 信 号 灯 为 红 灯 和 绿 灯 交 替 出 现，红 灯 持 绩 时 间 为 4 0秒.若 一 名 行 人 来 到 该 路 口 遇 到 红 灯，则 至 少 需 要 等 待 1 5秒 才 出 现 绿 灯 的 概 率 为（）A.B.-C.-D.10 8 8 1016.七 巧 板 是 我 国 古 代 劳 动 人 民 的 发 明 之 一，它 是 由 五

9、 块 等 腰 直 角 三 角 形、一 块 正 方 形 和 一 块 平 行 四 边 形 共 七 块 板 组 成 的.如 图 是 一 个 用 七 巧 板 拼 成 的 正 方 形，若 在 此 正 方 形 中 任 取 一 点，则 此 点 取 自 黑 色 部 分 的 概 率 是（）二、填 空 题（共 6 小 题）17.如 图 所 示，矩 形 的 长 为 6,宽 为 3,在 矩 形 内 随 机 地 撒 300颗 黄 豆，数 得 落 在 阴 影 部 分 的 黄 豆 为 125颗，则 我 们 可 以 估 计 出 阴 影 部 分 的 面 积 约 为.18.某 人 随 机 地 在 如 图 所 示 的 正 三 角

10、形 及 其 外 接 圆 区 域 内 部 投 针（不 包 括 三 角 形 边 界 及 圆 的 边 界），则 针 孔 在 阴 影 区 域（不 包 括 边 界）的 概 率 为.19.假 设 在 5 秒 内 的 任 何 时 刻，两 条 不 相 关 的 短 信 机 会 均 等 地 进 入 同 一 部 手 机，若 这 两 条 短 信 进 入 手 机 的 时 间 差 小 于 2 秒，手 机 就 会 受 到 干 扰，则 手 机 受 到 干 扰 的 概 率 为.20.设 函 数 y=f（x）在 区 间 0,1 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线，且 恒 有 0 4 f（x）4 1,可 以 用

11、 随 机 模 拟 方 法 近 似 计 算 由 曲 线 y=f（x）及 直 线 x=0,x=l,y=0 所 围 成 部 分 的 面 积 S,先 产 生 两 组（每 组 N 个）区 间 0,1 上 的 均 匀 随 机 数 如 过，孙 和 当 以，,、N，由 此 得 到 N 个 点 8,%）（i=1,2,-,W）.再 数 出 其 中 满 足=1,2,N）的 点 数 M，那 么 由 随 机 模 拟 方 法 可 得 S 的 近 似 值 为.21.折 纸 已 经 成 为 开 发 少 年 儿 童 智 力 的 一 大 重 要 工 具 和 手 段.已 知 在 折 叠“爱 心”的 过 程 中 会 产 生 如 图

12、所 示 的 几 何 图 形，其 中 四 边 形 为 正 方 形，G 为 线 段 B C 的 中 点，四 边 形 4 E F G 与 四 边 形 DG，/也 为 正 方 形，连 接 EB,C I,则 向 多 边 形 AEFGH/D中 投 掷 一 点，该 点 落 在 阴 影 部 分 内 的 概 率 为.22.在-1,1 上 随 机 地 取 一 个 数 k,则 事 件“直 线 y=依 与 圆（x-5尸+*=9 相 交”发 生 的 概 率 为.三、解 答 题（共 7 小 题）23.设 有 一 个 等 边 三 角 形 网 格，其 中 各 个 等 边 三 角 形 的 边 长 都 是 4 g c m,现 将

13、 直 径 等 于 2 c m 的 硬 币 投 掷 到 此 网 格 上，求 硬 币 落 下 后 与 格 线 没 有 公 共 点 的 概 率.24.向 面 积 为 S 的 4 B C内 任 投 一 点 P,则 随 机 事 件”P BC的 面 积 小 于 J 的 概 率 为 多 少？25.一 个 实 验 是 这 样 做 的，将 一 条 5 米 长 的 绳 子 随 机 地 切 断 成 两 条，事 件 T 表 示 所 切 两 段 绳 子 都 不 短 于 1 米 的 事 件，求 事 件 7 发 生 的 概 率.26.在 长 为 12 c m 的 线 段 4 B 上 任 取 一 点 并 以 线 段 71M为

14、 边 作 正 方 形，求 这 个 正 方 形 的 面 积 介 于 36 cm2与 81 cm2之 间 的 概 率.27.公 共 汽 车 站 每 隔 5m in有 一 辆 汽 车 通 过，乘 客 到 达 汽 车 站 的 任 一 时 刻 是 等 可 能 的，求 乘 客 候 车 不 超 过 3m in的 概 率.28.飞 机 向 一 个 边 长 为 1 k m 的 正 方 形 急 救 区 域 空 投 急 救 物 品，在 该 区 域 内 有 一 个 长 宽 分 别 为 80m与 5 0 m 的 水 池，当 急 救 品 落 在 水 池 内 及 距 离 水 池 1 0 m 范 围 内 时，发 放 急 救

15、物 品 无 效，假 设 急 救 物 品 落 在 正 方 形 区 域 内 任 一 点 是 随 机 的（不 考 虑 落 在 正 方 形 之 外 的 情 况），求 发 放 急 救 物 品 无 效 的 概 率.（水 池 任 一 点 离 正 方 形 边 长 的 距 离 都 大 于 10m）.29.设 有 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2ax+h2=0.（1）若 a 是 从 集 合 4=x Z|0 4 x 4 3 中 任 取 一 个 元 素，b 是 从 集 合 B=x Z|0 x 2 中 任 取 一 个 元 素，求 方 程 x2+2ax+=0 恰 有 两 个 不 相 等 实 根 的 概 率

16、；（2）若 a 是 从 集 合 A=x|0 4 x W 3 中 任 取 一 个 元 素，b 是 从 集 合 B=x|0 W x 4 2 中 任 取 一 个 元 素，求 上 述 方 程 有 实 根 的 概 率.答 案 1.A【解 析】该 地 点 有 信 号 的 概 率 扇 形+扇 形 CBF的 面 积 47Tl 2 IT矩 形 4BCD 2-4,所 以 该 地 点 无 信 号 的 概 率 为 142.C【解 析】不 妨 设 矩 形 的 长，宽 分 别 为 a,b,于 是 S矩 形=ab,SABE=ab,由 几 何 概 率 的 定 义 可 知 p=S4ABE=1S矩 形 23.B【解 析】长 方

17、形 4 8 C 0的 面 积 S=2 x l=2,以 ir1-H2-4,4.B【解 析】“X+y W 对 应 区 域 面 积 为 51,“孙|4 B 为 直 径 的 半 圆 的 面 积 工=嘤=成 所 以 P=对 应 区 域 面 积 为 S 2,如 图.P i=S i，p2=Y=52-由 图 可 知 Si v 5，s2 p 所 以 P iV V P 2.5.C【解 析】设 第 一 盏 灯 亮 的 时 刻 为 X,第 二 盏 灯 亮 的 时 刻 y,则 它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒，则 0 W l x-y 摩 2,由 几 何 概 型 可 得，它 们 第 一

18、次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是 阴 影 部 分 的 面 积 与 正 方 形 面 积 之 比 为;.46.A【解 析】设 两 个 半 圆 的 交 点 为 点 C,连 接 O C、AC B C,如 图 所 示，贝 4 4 c o=4BC。=9 0,所 以 A、C、B 三 点 共 线，且。C=AC=B C,所 以 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 扇 形 0 A 8中 弓 形 A B的 面 积，设 0A=a,则 扇 形。4 8 的 面 积 为;n a 2,阴 影 部 分 的 面 积 为:n a 2 a?,故 所 求 概 率 为 1 一 4 4 2 KO A7.B

19、【解 析】S阴 影=S正 方 形-2dx=1-1=|解 得 n 2 6667.8.A【解 析】观 察 这 个 图 可 知，大 正 方 形 的 边 长 为 2,总 面 积 为 4,而 阴 影 区 域 的 边 长 为 K-1，面 积 为 4-2 V 3,故 飞 镖 落 在 阴 影 区 域 的 概 率 为 字=1-4 29.C10.A【解 析】观 察 这 个 图 可 知：大 正 方 形 的 边 长 为 2,总 面 积 为 4,而 阴 影 区 域 的 边 长 为 8-1,面 积 为 4-2 V 3；故 飞 镖 落 在 阴 影 区 域 的 概 率 为 号=l-v-4 211.D【解 析】由 于 满 足

20、条 件 的 概 率 为 右 且 点 P 在 边 CD上 运 动，根 据 图 形 的 对 称 性，当 点 P 在 靠 近 点。的 CD边 的;分 点 时，EB=AB（当 点 P 超 过 点 E 向 点。运 动 时，P B 4 8）.4设 过 点 E 作 E F 1 4 8 交 4 8 于 点 F,贝 1 3尸=三.4在 Rt F B E中，因 为 7EF2=BE2-FB2=AB2-FB2=x2,16即 E F=f x,所 以*=4 A B 412.B13.B【解 析】要 使 图 中 点 到。的 距 离 大 于 1,则 该 点 需 取 在 图 中 阴 影 部 分，D(A O B故 概 率 为 尸=

21、竽=1一 92 414.B15.B16.B【解 析】阴 影 部 分 的 面 积 S。急 x(6 x 3)=热 18.这 4n【解 析】由 于 是 随 机 地 投 针，针 扎 在 圆 内 每 一 个 点 的 机 会 是 等 可 能 的，所 以 符 合 几 何 概 型 的 条 件.设 正 三 角 形 边 长 为 a,则 其 外 接 圆 半 径=苧 展|=务.因 此 所 求 概 率 P=m 至=乎.“阚 4K19.-25【解 析】分 别 设 两 个 互 相 独 立 的 短 信 收 到 的 时 间 为 X,y,则 所 有 事 件 集 可 表 示 为 0W%W 5,0 y 5.由 题 目 得，如 果 手

22、 机 受 则 到 干 扰 的 事 件 发 生，必 有|x-y lW 2.三 个 不 等 式 联 立，则 该 事 件 即 为 x-y=2 和 y-x=2 在 0 W x W 5,0 4 y 4 5 的 正 方 形 中 围 起 来 的 图 形，即 图 中 阴 影 区 域.而 所 有 事 件 的 集 合 即 为 正 方 型 面 积 52=2 5,阴 影 部 分 的 面 积 2 5-2 X 1(5-2)2=16,所 以 阴 影 区 域 面 积 和 正 方 形 面 积 比 值 即 为 手 机 受 到 干 扰 的 概 率 2 0.N【解 析】设 直 线=0,%=1 y=0,y=1 所 围 成 的 图 形

23、面 积 为 S i，则 Si=l,则 告=萼，Sr=1,0 1 N【解 析】设 正 方 形 的 边 长 为 2,则 由 题 意，多 边 形 4EFGH/D的 面 积 为 S=V 5 x而 x 2+x 2 x 2=12,阴 影 部 分 的 面 积 为 S=2x-AE-AB-sin/.EAB=2x-AE-AB-cos4GAB=2 x i x 2 x V5 x=4,2 2 2 5所 以 向 多 边 形 AEFGH/。中 投 掷 一 点，该 点 落 在 阴 影 部 分 内 的 概 率 为 呼=22.-4【解 析】直 线 y=k x与 圆（x 5）2+y2=9 相 交，需 要 满 足 圆 心 到 直 线

24、 的 距 离 小 于 半 径，d=舄 3,解 得 一：:,而 六 一 1,1,所 以 发 生 的 概 率!=：.v l+kz 4 4 2 423.记 事 件 A 为“硬 币 落 下 后 与 格 线 没 有 公 共 点”,如 图 所 示，在 等 边 三 角 形 内 作 小 等 边 三 角 形，使 其 三 边 与 原 等 边 三 角 形 三 边 的 距 离 都 为 1,则 小 等 边 三 角 形 的 边 长 为 4V3-2V3=2V3.由 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 得 P（A）=爵 等=4 X（4 3）24.点 P 在 A BC内 任 一 点 是 等 可 能 的，符 合 几 何

25、概 型 的 条 件.分 别 取 AB,A C上 的 点 0,E,使 得 AD=2DB,AE=2 E C,则 当 点 P 在 四 边 形 BCED内 时（不 包 括 线 段 D E）,P B C 的 面 积 小 于 因 此 所 求 概 率 为 S“BC S AABCn_$四 边 形 BCE。_ qi J L-25.由 几 何 概 型 知，所 求 事 件 T 的 概 率 为 P（T）=|.26.即 边 A M长 介 于 6 cm到 9 cm之 间，所 以 概 率 为 0.25.27.设 事 件 4=候 车 时 间 不 超 过 3 m in,其 表 示 乘 客 来 到 车 站 的 时 刻，那 么 每

26、 一 个 试 验 结 果 可 表 示 为 X,假 定 乘 客 到 达 车 站 后 一 辆 公 共 汽 车 来 到 的 时 刻 为 t,乘 客 必 然 在（t-5,t来 到 车 站，t-5 x W t,欲 使 乘 客 的 候 车 时 间 不 超 过 3 m in,必 有 t-3 x t,所 以 PQl)=1=0.6.2 8.落 在 水 池 内 及 距 离 水 池 10m范 围 内，即 长 为 100m,宽 为 7 0 m的 矩 形，面 积 为 7 0 0 0平 方 米.而 正 方 形 区 域 面 积 为 1000 x 1000=1000000平 方 米.所 以 发 放 急 救 物 品 无 效 的

27、 概 率 为 P=0.007.29.(1)由 题 意 知 a 取 集 合 0,123 中 任 一 个 元 素，b取 集 合 0,1,2 中 任 一 个 元 素，a,6 取 值 的 所 有 情 况 是(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其 中 第 一 个 数 表 示 a 的 取 值，第 二 个 数 表 示 b 的 取 值，即 基 本 事 件 总 数 为 12.记“方 程 x2+2ax+b2=0 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 根”为 事 件 A,其 等 价 于 a b.而 当 a b

28、时，a,b取 值 的 情 况 有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即 4 包 含 的 基 本 事 件 数 为 6,所 以 方 程 x2+2ax+b2=0 恰 有 两 个 不 相 等 实 根 的 概 率 P=1.(2)设 事 件 B 为“方 程 x2+2ax+b2=0 有 实 根”.当 a3O,b 2 0 时，方 程/+2ax+炉=o有 实 根 需 满 足 a 之 b.试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为(a,b)|0 a 3,0 b 2.构 成 事 件 B 的 区 域 为(a,b)|0 a 3,0/?(如 图 所 示 的 阴 影 部 分).因 此 所 求 的 概 率 为 P(B)=|.