2023年浙江省高三物理高考复习专题知识点模型精讲精练第13讲小船渡河模型（含详解）.pdf-淘文阁

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1、第 13讲小船渡河模型 I 真题示例 1.（2021 辽宁）1935年 5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽 3 0 0 m,水流速度 3 m/s,木船相对静水速度 l m/s,则突击队渡河所需的最短时间为（）A.75s B.95s C.100s D.300s一.知识回顾 1.模型构建（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动在

2、运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在 1 8 0 范围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动水速不变，

3、但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。2.模型特点（1）船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度：船在静水中的速度 P 船、水的流速 P水、船的实际速度/今。3.实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景渡河时间最短/当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间 tmin=T-0 船渡河位移最短/1小/，力，;

4、如果。船“水，当船头方向与上游河岸夹角 6 满足 v 朋 cos 9=v 水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽”麻 4 i，仆，V M.i、/t如果 V 船 0水,当船头方向（即 V 船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 dv，K。船4.分析思路 5.解题方法：小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决问题的关键：正确区分分运动和

5、合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动幺&的独立性，t=71=r*=(4)求最短渡河位移时

6、，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速/堀与水流速度”的情况用三角形定则求极限的方法处理。二.例题精讲题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题例 1.一小船渡河，河宽 d=1 8 0 m,水流速度 vi=2.5m/s。己知 sin37=0.6,cos37=0.8(1)若船在静水中的速度为 V 2=5 m/s,求：欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么

7、方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度 V2=1.5m/s,要使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若小船只能停靠在河对岸下游 135m处，则小船在静水中航速至少要达到多大？对应运动时间是多少？船头指向与河岸夹角多大？题型二：不同位置的水速大小不

8、同例 2.在一次抗洪抢险演习中如图所示，河水由西向东流，河宽为 8 0 0 m,河中各点的水流速度大小为 v 水，各点到较近河岸的距离为 x,v 水与 x 的关系为 V水=磊 X（m/s）（x 的单位为 m）.小船在静水中速度大小恒为 v 船=4 m/s,当小船船头垂直河岸由南向北渡河时，下列说法中正确的是（）北东 800 m、IA.小船渡河的时间最短，且小船渡河的最短时间为 200sB.小

9、船渡河的时间最短，且小船渡河的最短时间为 160sC.小船运动的航程为 8 0 0 m.且在河水中的最大速度是 6m/sD.小船在距南岸 300m处的速度小于在距北岸 300m处的速度题型三：船在静水中速度变化例 3.一只小船渡河，运动轨迹如图所示，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均

10、相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定船（）沿三条不同路径渡河的时间相同 B.沿 A C轨迹渡河所用的时间最短 C.沿 A C轨迹船到达对岸的速度最小 D.沿 A B轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动三.举一反三，巩固练习如图，一条河宽 d=100m,河中各处水的流速均匀，且水速的大小为 v=lm/s,A 点为岸边一点，B 为

11、 A 点正对岸的一点，一只小船（可视为质点）从 A 点保持船头始终与岸边夹角为。=53,船匀速驶向对岸，船在静水中的速度大小为 v 船=5m/s,sin53=0.8下列说法正确的是（）BA.船到达对岸的位置在 B 点 B.船过河需要 2 0 s的时间 C.船渡河的航程最短 D.小船的合速度大小为 2遥 m/s1.如图所示，一条小船从码头 A 过河，小船在静水中的速度为 v,船头指向始终与河

12、岸垂直（沿 AA，方向）。当水流速度为 V I时，小船运动到河对岸的码头 B 靠岸，A B 与河岸的夹角为 a=6 0。当水流速度为 V2时，小船运动到河对岸的码头 C 靠岸，A C与河岸的夹角为 0=3 0。下列说法正确的是（）B.小船沿 A C过河的时间更长 A.小船沿 AB、A C过河的时间相等 C.v i：V 2=l：2D.当水流速度为 v i时，要使小船到达码头 A,船头应指向河的上游且与河岸夹

13、角为 602.如图所示，小船沿直线 A B过河，船头始终垂直于河岸。若水流速度减小，为保持航线不变，保持船头始终垂直于河岸。下列措施与结论正确的是（）BM 水 A A.减小静水中船速，过河时间变长 B.减小静水中船速，过河时间不变 C.增大静水中船速，过河时间不变 D.增大静水中船速，过河时间缩短 3.甲乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为 v o,船在静水中

14、的速率为 V,甲乙两船头均与河岸成 e 角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河对岸的 A 点，乙船到达河对岸的 B 点，A、B 之间的距离为 L,则下列判断正确的是（A.甲船先到达对岸 B.若仅增大河水流速 v o,则两船渡河时间都不变 C.无论水速 vo怎样改变，只要适当改变。角，甲船总能到达正对岸的 A 点 D.若仅增加水速 v o,则两船到达对岸时，两船之间的距离将增加

15、4.一条河宽度为 2 0 0 m,水流的速度为 5m/s,一条船在静水中的速度为 4 m/s,则（）A.当船头垂直河岸渡河时，渡河时间为 50sB.当船头垂直河岸渡河时，渡河时间为 40sC.当船头垂直河岸渡河时，渡河的实际航线长度为 200mD.该船能沿垂直河岸方向横渡到对岸 5.小船在静水中的速度是 4m/s,一条河宽 1 2 0 m,河水流速为 5 m/s,下列说法正确的是（）A.小船

16、在河中运动的最大速度是 9m/sB.小船渡河的最短时间是 24sC.小船能到达河的正对岸 D.小船渡河的最小位移是 200m6.如图，甲、乙两只小船同时从 A 点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，甲船船头与河岸上游的夹角为 60,乙船船头与河岸下游的夹角为 30,水流速度恒定。要使两船同时到达对岸，则甲船在静水中的速度大小与乙船在静水中的速度大小之比为（）

17、A.1：2 B.2：1 C.1.-V3 D.V3；7.2021年 7 月 2 0日 0 8时至 7 月 2 1日 0 6时，河南中北部出现大暴雨。如图，抢险队员驾驶救援船（可视为质点）以大小为 vi=12m/s、船头与上游河岸成 9=6 0 角的速度（在静水中的速度）从 A 点出发，恰好能到达正对岸 B 点，河宽为 d=96m。下列说法正确的是（）BA.水流的速度大小为 v2=6V5m/sB.救援船从 A 点到 B 点所用的时间为 8sC.以

18、最短时间渡河时，救援船的位移大小为 96mD.若救援船的船头始终指向正对岸，在渡河过程中水流的速度大小 V2突然变小，则渡河时间 8.洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为 V,厦门中学生助手连同消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成 30。角的线路把被困群众从 A 处送到对岸

19、安全地 B 处，则两种方案中冲锋舟最小速度 V1和最短时间的冲锋舟速度 V2之比为（）平直河岸 A.1：2 B.1.-V3 C.2：V3 D./3：29.有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为 vi。一条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为 V2,去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。若 VI、V2均不变，试求去程与回程所用时间的比值为（）10.

20、C.粤尹一小船过河的运动轨迹如图所示。河中各处水流速度大小相同且恒定不变，方向平行于岸边。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同（且均垂直于岸边）。由此可以确定（）C H I)t.5 水流方向/-A.船沿 AC轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动 B.船沿 AB轨迹渡河所用的时间最短 C.船沿 AD轨迹到达对岸前瞬

21、间的速度最大 D.船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同第 13讲小船渡河模型 I 真题示例 1.（2021 辽宁）1935年 5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽 300m,水流速度 3m/s,木船相对静水速度 lm/s,则突击队渡河所需的最短时间为（）A.75s B.95s C.100s D.300s【解答】解：当静水速

22、度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为：t=Q=翠 s=300s,故 D 正确，A B C 错误；Uc 1故选：D。.知识回顾 1.模型构建（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在 180范

23、围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。2.模型特点（1）船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度：船在静水

24、中的速度/船、水的流速 r水、船的实际速度/合。3.实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景渡河时间最短/彳二 ZlJ jK J当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间 fmin=R渡河位移最短/，1尸 1R i C，如果。舱。水，当船头方向与上游河岸夹角。满足。相 cos 6=0 加时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽“小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。

25、无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求

26、解渡河时间，一般根据运动幺出色的独立性，亡=工=履=。(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速/堀与水流速度 y水的情况用三角形定则求极限的方法处理。二.例题精讲题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题例 1.一小船渡河，河宽 d=1 8 0 m,水流速度 vi=2.5m/s。已知 sin37=0.6,cos37=0.8(1)若

27、船在静水中的速度为 V 2=5 m/s,求：欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度 V2=1.5m/s,要使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)若小船只能停靠在河对岸下游 135m处，则小船在静水中航速至少要达到多大？

28、对应运动时间是多少？船头指向与河岸夹角多大？【解答】解：(I)欲使船在最短的时间内渡河，则船在垂直河岸方向上的速度最大，则船头垂直河岸，所用时间为右=乡=警 s=36s此时船航行的速度为吃 5v J 说+谚=V2.52+S2m/s=位移为=仇 1=竽 x 36m=90百 m 欲使船渡河的航程最短，船的航行速度方向指向对岸，如图所示 V2根据儿何关系可知 v2sina=vi解得：a=30则当船头与

29、上游河岸成 60角时航程最短，此时的航行速度为 v-J 避说 V52 2.52m/s-则航行的位移为 X2=d=180m所用时间为匕=要 s=24gs(2)若船在静水中的速度 V2=1.5m/s,要使船渡河的航程最短，因为船 V b Jr在静水中的速度小了冰流速度，则船一定向下游飘移，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为 0,则航程%=焉则 0 角越大，航程越短，当 P 角最大时，航程最短，船头指

30、向如图所示根据几何关系可知si邛=段=浅=飘廿=37则船头的方向与上游河岸 5 3 角，此时，航行的位移为 x=攒 m=300m船航行的速度 v d吠 _ v,=V2,52 1.52m/s=2 m/s所用时间为 t=*=竽 S=150s(3)若小船只能停靠在河对岸下游 135m处，当小船以最小的静水速度到达指定地点，小船做直线运动，则实际航线方向与下游河岸的夹角。满足 tand=g则 0=53即船头与上游河岸

31、的夹角为 3 7 时，船在静水中速度最小，如图所示 v=vicos53=2.5X 0.6m/s=1.5m/s船在静水中的速度为 vm in=yjvj-v2=V2.52-1.52m/s=2 m/s航行的位移为 x=君 9=静 7n=225nl航行的时间为 t=*=s=150s答：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝垂直于河岸，用时 36s,位移是 9 0 m；欲使船渡河的航程最短，船头与上游河岸成 6 0 角，用时 2 4 8 s,位移是 180

32、m：(2)若船在静水中的速度 V 2=1.5m/s,要使船渡河的航程最短，船头的方向与上游河岸 5 3 角，用时 1 5 0 s,位移是 300m；(3)若小船只能停靠在河对岸下游 135m处，则小船在静水中航速至少要达到 L 5 m/s,对应运动时间是 1 5 0 s,船头指向与河岸夹角为 3 7。题型二：不同位置的水速大小不同例 2.在一次抗洪抢险演习中如图所示，河水由西向东流，河宽为

33、8 0 0 m,河中各点的水流速度大小为 v 水，各点到较近河岸的距离为 x,v 水与 x 的关系为 v 水=磊 x(m/s)(x 的单位为 m).小船在静水中速度大小恒为 V舱=4 m/s,当小船船头垂直河岸由南向北渡河时，下列说法中正确的是()亡东厂 800 m、fQ t y船-A.小船渡河的时间最短，且小船渡河的最短时间为 200sB.小船渡河的时间最短，且小船渡河的最短时间为 160sC.小

34、船运动的航程为 8 0 0 m.且在河水中的最大速度是 6m/sD.小船在距南岸 300m处的速度小于在距北岸 300m处的速度【解答】解：AB、小船船头垂直河岸由南向北渡河，此时静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，故小船渡河最短时间 t=*=s=2 0 0 s,故 A 正确，B 错误；C、当小船行驶到河中央时次=而 x 400m/s=3 m/s那么小船在河水中的最大速度为=J v 船 2+次

35、2=7 32+42m/s=5 m/s,故 C 错误；D、小船在距南岸 3 00m处的速度小于在距北岸 3 00m处水速相同，由此可知，两者速度大小相等，故 D 错误。故选：A。题型三：船在静水中速度变化例 3.一只小船渡河，运动轨迹如图所示，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸：小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡

36、河过程中船头方向始终不变。由此可以确定船（）B.沿 A C轨迹渡河所用的时间最短沿三条不同路径渡河的时间相同 C.沿 A C轨迹船到达对岸的速度最小 D.沿 A B轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动【解答】解：AD、船过河可以看作是同时参与在静水中的运动和随着河水的运动,在垂直河岸方向，位移为河宽，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀

37、速直线运动，故渡河时间不相同；故 A 错误；根据物体做曲线运动时加速度指向曲线的凹侧，可知 A C为小船相对于静水做匀加速直线运动，A D轨迹为小船相对于静水做匀减速直线运动，A B轨迹为小船相对于静水做匀速直线运动；故 D 错误：BC、船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变，垂宜河岸方向位移等于河宽，沿 A C轨迹时

38、垂直河岸方向做匀加速直线运动，故渡河所用时间最短；故 B 正确；水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；即沿河岸分速度大小相等；垂宜河岸方向，船的初速度大小均相同，沿 A C轨迹渡河时，垂直河岸的分速度最大，此时船到达对岸的速度最大；故 C 错误；故选：Bo三.举一反三，巩固练习如图，一条河宽 d=1 0 0 m,河中各处水的流速均匀，且水速的大小为 v=lm

39、/s,A 点为岸边一点，B 为 A 点正对岸的一点，一只小船(可视为质点)从 A 点保持船头始终与岸边夹角为 8=53,船匀速驶;向对岸，船在静水中的速度大小为 v 船=5m/s,sin53=0.8下列说法正确的是()BB.船过河需要 2 0 s的时间 C.船渡河的航程最短 D.小船的合速度大小为 2岔 m/s【解答】解：ABC、将船在静水中速度分解成沿水流方向与垂直河岸方向，如图所示B依据矢

40、量的合成法则，结合三角知识，船在垂宜河岸方向的分速度为 v2=v 船 sinB=5Xsin53 m/s=4m/s则船过河的时间为 t=g=绊 s=25s可得水流方向的分速度 vi=v cos0=5Xcos53 m/s=3m/s则船在水流方向的合速度为 vx=vi-v=3m/s-lm/s=2m/s因此船到达对岸的位置离 B 点距离为 x=vxt=2X25m=50m,则船到达对岸的位置不是 B 点，是 B 点上游 50m处，即船的航程不是

41、最短，故 A B C 错误；D、由上述分析可知，船的合速度大小为 v 含=J 谚+港=2+22m/s=2Vm/s,故 D 正确。故选：D“如图所示，一条小船从码头 A 过河，小船在静水中的速度为 v,船头指向始终与河岸垂直（沿 A A 方向）。当水流速度为 V!时，小船运动到河对岸的码头 B 靠岸，A B 与河岸的夹角为 a=60。当水流速度为 V2时，小船运动到河对岸的码头 C 靠岸，A C 与河岸的夹角为 0=

42、30。下列说法正确的是（）B.小船沿 A C 过河的时间更长 A.小船沿 A B、A C 过河的时间相等 C.VI：V2=l：2D.当水流速度为 vi时，要使小船到达码头 A,船头应指向河的上游且与河岸夹角为 60【解答】解：A B.因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为 1=9 即小船沿八 8、A C 过河的时间相等，故 A 正确，B 错误；C.由题意可知tan60 0=tan30=二解得：vi：V2=1：3,故 C 错

43、误；V1 v2D.当水流速度为 vi时，要使小船到达码头则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角为 cosa=?=当则 aW60。，故 D 错误。故选：A=1.如图所示，小船沿直线 A B 过河，船头始终垂直于河岸。若水流速度减小，为保持航线不变，保持船头始终垂直于河岸。下列措施与结论正确的是（）By、水 A A.减小静水中船速，过河时间变长 B.减小静水中船速，过河

44、时间不变 C.增大静水中船速，过河时间不变 D.增大静水中船速，过河时间缩短【解答】解：船头始终垂直于河岸，河宽一定，当水流速度减小，为保持航线不变，根据运动的合成可知船的速度必须减小，再根据 t=旦，所以渡河的时间变长，故 A 正确，B C D 错误；船故选：A2.甲乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为 vo,船在静水中的速率为 V,甲乙两船头均与河岸成 0

45、角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河对岸的 A 点，乙船到达河对岸的 B 点，A、B 之间的距离为 L,则下列判断正确的是（）B.若仅增大河水流速 vo,则两船渡河时间都不变 C.无论水速 vo怎样改变，只要适当改变。角，甲船总能到达正对岸的 A 点 D.若仅增加水速 vo,则两船到达对岸时，两船之间的距离将增加【解答】解：A B.将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河

46、岸两个方向，因为分运动和合运动具有等时性，可知甲乙两船到达对岸的时间相等。即渡河的时间为招与河水流速 V O无关。若仅增大河水流速 V O,两船的渡河时间都不变，故 A 错误，B 正确；C.只有甲船速度大于水流速度时，只要适当改变。角，甲船才能到达河的正对岸 A 点；当水流速度大丁甲船速度时，无论怎样改变。角，甲船都不能到达正对岸的 A 点，故 C 错误；D.若仅

47、是河水流速 vo增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度仍不变，则两船之间的距 x=(vot+vcos0*t)-(vot-vcosO,t)=2vcos0,t两船之间的距离和河水流速 vo无关，若仅增加水速 v o,则两船到达对岸时，两船之间的距离不变，故 D 错误。故选：B,一条河宽度为 2 0 0 m,水流的速度为 5m/s,一条船在静水中的速度为 4 m/s,贝()A.当船头

48、垂直河岸渡河时，渡河时间为 50sB.当船头垂直河岸渡河时，渡河时间为 40sC.当船头垂直河岸渡河时，渡河的实际航线长度为 200mD.该船能沿垂直河岸方向横渡到对岸【解答】解：AB、当船头垂直河岸横渡时，渡河时间最短，渡河时间为：t=半 s=5 0 s,故 A 正确，B 错误；CD、由题，船在静水中的航速小于水流的速度，根据平行四边形定则可知，船的合速度方向不可能垂直

49、于河岸，船不能垂直到达正对岸，渡河的实际航线长度一定大于 2 0 0 m,故 C D错误。故选：A=3.小船在静水中的速度是 4m/s,一条河宽 1 2 0 m,河水流速为 5 m/s,下列说法正确的是()A.小船在河中运动的最大速度是 9m/sB.小船渡河的最短时间是 24sC.小船能到达河的正对岸 D.小船渡河的最小位移是 200m【解答】解：A、根据矢量合成的特点可知，当小船顺流而下

50、时，小船在河中运动的速度最大，为 vm ax=vc+vs=4m/s+5m/s=9m/s,故 A 正确：B、当船头的速度垂直于河岸时，小船渡河的时间最短，为 tm in=K=苧 S=3 0 s,故 B 错误;C、因为小船在净水中的速度小于河水流速，故小船无法到达河的正对岸，故 C 错误:D、当小船的合速度与船速垂直时，小船的渡河位移最小，如图所示:Xmin=-0=-r n=1 5 0 m,故 D 错误；5故选：Ao如图，甲、

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