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1、 第一讲第一讲 关于量纲分析法关于量纲分析法量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种在物理领域建立数学模型的办法。在物理领域建立数学模型的办法。所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定物理量之间的关系。物理量之间的关系。量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s1一、量纲齐次原则一、量纲齐次原则物理量的量纲物理量的量纲物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量
2、纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-22国际单位制国际单位制SI制的基本量制的基本量长度长度 l 米米L质量质量 m 公斤公斤M时间时间 t 秒秒 T电流强度电流强度 I 安培安培A温度温度 开尔文开尔文K光强光强 J 堪德拉堪德拉cd物质的量物质的量 摩尔摩尔N其他所有物理量的单位都由这其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。个基本量复合得到。3量纲齐
3、次原则量纲齐次原则引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0M 0T 0)量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系4单摆运动示例单摆运动示例假设：假设：1、不考虑空气阻力；、不考虑空气阻力；2、忽略地球自转对单摆运动的影响；、忽略地球自转对单摆运动的影响；3、摆线是刚体，在摆动中无形变；、摆线是刚体，在摆动中无形变；4、摆轴部分没有摩擦。、摆轴部分没有摩擦。在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：t、m、l、g、单摆
4、运动的规律由公式单摆运动的规律由公式 F(t,l,m,g,)=0 给出。给出。例例:单摆运动单摆运动求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式5假设物理量假设物理量 t,m,l,g 之间有关系式之间有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式对比对比对比这里计算出的公式和实际公式对比这里计算出的公式和实际公式参数通过测量和最小二乘法计算可以得到参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。6原理分析原理分析对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假
5、设这种形式？为什么假设这种形式？设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为7单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量8设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量是基本量纲纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为
6、的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作即线性齐次方程组即线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则9Pi定理的意义定理的意义PiPi定理实际上给出了一个量纲分析法建定理实际上给出了一个量纲分析法建模的方法和理论支持，即这个定理证明模的方法和理论支持，即这个定理证明了：了：量纲分析法是可行的，没有任何理量纲分析法是可行的，没有任何理论上的疑点。论上的疑点。下面就利用下面就利用PiPi定理中给出的步骤和方法来解决一定理中给出的步骤和方法来解决一个新的建模问题。个新的建模问题。10g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1
7、,s=L2,f=LMT-2航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g。m=6,n=3二、波浪对航船的阻力二、波浪对航船的阻力与航船阻力有关的物理量：与航船阻力有关的物理量：11Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量而且存在一个未定的函数关系：而且存在一个未定的函数关系：12航船阻力模型航船阻力模型注意注意 3中含有中含有 f，为了得到，为了得到 f 的的关系式，不妨
8、设关系式，不妨设则则至此我们已经建立了阻力至此我们已经建立了阻力 f 与其他各物理量之间的关系式。与其他各物理量之间的关系式。仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。由由得得及及13航船阻力模型的意义航船阻力模型的意义以我们上面得出的最后模型为例：以我们上面得出的最后模型为例：在设计制造舰船、飞机、汽车等产品时，研究人员需要先制在设计制造舰船、飞机、汽车等产品时，研究人员需要先制作出非常逼真的仿真实物模型，然后对实物模型进行阻力、作出非常逼真的仿真实物模型，然后对实物模型进行阻力、运动特征实验，以此来验证设计是否合理。运动特征实验，以
9、此来验证设计是否合理。如果我们能使模型船的如果我们能使模型船的 中两个数据与真实船中两个数据与真实船相同，则得到：相同，则得到：这就为我们根据模型船评估实体船这就为我们根据模型船评估实体船的阻力提供了有效途径，至于究竟的阻力提供了有效途径，至于究竟 是什么已经不重要了。是什么已经不重要了。14量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解
10、的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识15对量纲分析法的评价对量纲分析法的评价正确确定物理量（根据经验和概念，宁多勿缺）正确确定物理量（根据经验和概念，宁多勿缺）恰当确定基本量纲恰当确定基本量纲构造基本解（如果构造得当，可以直接得到期望的结果）构造基本解（如果构造得当，可以直接得到期望的结果）结果的效用和局限性结果的效用和局限性 量纲分析法能在建立物理问题的数学模型中得到一些重量纲分析法能在建立物理问题的数学模型中得到一些重要、有用的结果，但也存在局限性，应用时应注意以下几点：要、有用的结果，但也存在局限性，应用时应注意
11、以下几点：1、从未知定律、从未知定律 到用量纲分析法得到的等到用量纲分析法得到的等价形式价形式 不仅物理量减少了不仅物理量减少了 r 个，降低了个，降低了问题复杂性，同时也得到了一些关键的无量纲量问题复杂性，同时也得到了一些关键的无量纲量 i。2、当然，这种建模方法也是有局限性的，它始终是初等建模、当然，这种建模方法也是有局限性的，它始终是初等建模方法，一些物理公式中常见的三角函数和指数函数都得不到。方法，一些物理公式中常见的三角函数和指数函数都得不到。另外，在航船阻力模型中也能看到，还有未定函数和一些常量另外，在航船阻力模型中也能看到，还有未定函数和一些常量无法得到，因此模型的实用价值有限。无法得到，因此模型的实用价值有限。16