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1、量纲分析法建模量纲分析法建模 量纲分析（量纲分析（Dimensional Analysis)Dimensional Analysis)是是2020世世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。确定各物理量之间的关系。一、一、量纲齐次原则量纲齐次原则长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量
2、纲 v=LT-1 导出导出 量纲量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0M0T0)=fl2m-2=L3M-1T-2量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之间之间有关系式有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式
3、对比对比对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式为什么假设这种形式设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定Pi定理定理(Bucki
4、ngham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn(n m)是基本量纲是基本量纲,q1,q2,qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g。m=6,n=3Ay=0 有有6
5、-3=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量 F(1,2,3)=0与与(g,l,v,s,f)=0 等等价价为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要中包括哪些物理量是至关重要的的基本量纲个数基本量纲个数
6、n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲有有目的地构造目的地构造 Ay=0 的的基本解基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识二、二、量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例:航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比
7、例造模型船，量测量测 f，可算出可算出 f1 物理模拟物理模拟三、案例原子弹爆炸的能量估计三、案例原子弹爆炸的能量估计1 1、问题的提出、问题的提出 19451945年年7 7月月1616日，美国科学家在墨西哥州阿拉日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了莫戈多沙漠进行了“三位一体实验三位一体实验”，试爆了全球，试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有多大。英国物理学家多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)Taylor(1886-1975)通过研究通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放爆炸时的录像带，建立
8、数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为的能量进行了估计，得到的结果为19.219.2千吨。这次千吨。这次爆炸所释放的实际能量为爆炸所释放的实际能量为2121千吨。千吨。那么，那么，TaylorTaylor是如何对是如何对原子弹爆炸的能量进行原子弹爆炸的能量进行估计的呢？估计的呢？TaylorTaylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇蘑菇云云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的爆炸所产生的“蘑菇云蘑菇云”半径见下表。半径见下表。表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)t r(t)t
9、 r(t)t r(t)t r(t)t r(t)0.10 11.10.80 34.2 1.50 44.43.53 61.115.0 106.50.24 19.90.94 36.31.65 46.03.80 62.925.0 130.00.38 25.41.08 38.91.79 46.94.07 64.334.0 145.00.52 28.81.22 41.01.93 48.74.34 65.653.0 175.00.66 31.91.36 42.83.26 59.04.61 67.362.0 185.02、建立数学模型、建立数学模型 TaylorTaylor建立计算建立计算爆炸能量的数学模型所
10、采用的是爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为量纲分析法。记爆炸能量为E E，将，将“蘑菇云蘑菇云”半径近半径近似看成一个球形。除时刻似看成一个球形。除时刻t t和能量和能量E E外，外，与与“蘑菇云蘑菇云”半径半径r r有关的物理量还可能有有关的物理量还可能有“蘑菇云蘑菇云”周围的周围的空气密度（记为空气密度（记为 ）和大气压强）和大气压强P P，将要寻求的关系，将要寻求的关系为：为：记作更一般的形式 取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是 由此得到量纲矩阵为齐次方程 Ay=0的基本解为 根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量（3）（4）（5）3 3、数值计算、数值计算 为了利用表为了利用表1中中t和和r的数据由（的数据由（6）确定原子弹爆炸的能）确定原子弹爆炸的能量量E，必先估计，必先估计 的大小。的大小。（7）（8）其中其中 是待定系数，对（是待定系数，对（8 8）取对数后用线性最小）取对数后用线性最小二乘拟合，根据表二乘拟合，根据表1 1中中t t和和r r的数据得到的数据得到原子弹爆炸原子弹爆炸的能量是的能量是19.1863千吨千吨原子弹爆炸能量的实际值原子弹爆炸能量的实际值21千吨千吨基本一致基本一致