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1、第十一章第十一章 量纲分析法量纲分析法（续）（续）流体力学流体力学1量纲、量纲和谐性原理量纲、量纲和谐性原理2问题1 什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？区别和联系？答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。度的性质。3问题2 量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？答：答：
2、1.1.提出根据提出根据（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。法来表示。（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。2.2.作用作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。验过程、整理实验成果提供理论指导。4问题3 凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项凡是正确反映客观规律的物理方程
3、，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式但是在曼宁公式 中，谢齐系数中，谢齐系数C的量纲为的量纲为 ，R的量纲为的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲是不和谐为无量纲量，很明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。5解：解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。只有两个
4、同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。所替代。6瑞利法瑞利法
5、7问题4 试用瑞利法分析溢试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量流堰过流时单宽流量q 的表达式。已知的表达式。已知q 与堰与堰顶水头顶水头H、水的密度、水的密度和和重力加速度重力加速度g 有关。有关。81.分析影响因素，列出函数方程分析影响因素，列出函数方程解解：根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q q 与堰顶与堰顶水头水头H H、水的密度、水的密度和重力加速度和重力加速度g g 有关，用函数关有关，用函数关系式表示为系式表示为2.将将q写成写成H，g的指数乘积形式，即的指数乘积形式，即 93.写出量纲表达式写出量纲表达式 4.选选L、T、M作为基本量纲，表示各物
6、理量的量作为基本量纲，表示各物理量的量纲为纲为 5.由量纲和谐性原理求各量纲指数由量纲和谐性原理求各量纲指数 L L：2=a-3b+cT T：-1=-2c M M：0=ba=3/2b=0c=1/2 106.代入指数乘积式，得代入指数乘积式，得 其中，其中，k1为无量纲系数，即流量系数为无量纲系数，即流量系数m，由实验由实验来确定。来确定。即即11问题5 求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率率N 与单位体积水的重量与单位体积水的重量 、流量、流量Q、扬程、扬程H有关。有关。121.分析影响因素，列出函数方程分析影响因素，列出函数方程解解：根据题意可知
7、，水泵的输出功率根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水与单位体积水的重量的重量 、流量、流量Q、扬程、扬程H 有关有关,用函数关系式用函数关系式表示为表示为2.将将N写成写成，Q，H的指数乘积形式，即的指数乘积形式，即 133.写出量纲表达式写出量纲表达式 4.选选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量作为基本量纲，表示各物理量的量纲为纲为 5.由量纲和谐性原理求各量纲指数由量纲和谐性原理求各量纲指数 L L：2=-2a+3b+cT T：-3=-2a-b M M：1=aa=1b=1c=1 146.代入指数乘积式，得代入指数乘积式，得 其中，其中，k为无量纲系数，通过实验来确定为无量纲系
8、数，通过实验来确定。15定理定理16问题6 简述布金汉简述布金汉定理的运用步骤？定理的运用步骤？答：答：1.1.确定关系式。确定关系式。根据对所研究现象的认识，确根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。定影响这个现象的各个物理量及其关系式。2.2.确定基本物理量。确定基本物理量。从从n n个物理量中选取所包含的个物理量中选取所包含的m m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。相互独立。173.确定基本物理量依次与其余物理量
9、组成的确定基本物理量依次与其余物理量组成的表达表达式。式。4.满足满足为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各项基本物理量的指数项基本物理量的指数a、b、c。5.写出描述现象的关系式。写出描述现象的关系式。18问题7 在用布金汉在用布金汉定理时，要选取定理时，要选取3个相互基本物理个相互基本物理量，如何合理的选择这量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？个基本物理量呢？答：（答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量
10、纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。（2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。（3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、
11、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。力学量中各选一个，即可满足要求。19问题8 文丘里流量计是用来测文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图量有压管路的流量，如右图所示，已知所示，已知1-1断面和断面和2-2断断面之间的压强差面之间的压强差p随流量随流量Q，流体密度，流体密度，液体粘度，液体粘度 以及大小直径以及大小直径D1，D2变化。变化。试用试用定律求出的压强降落定律求出的压强降落p表示的流量公式。表示的流量公式。文丘里流量计文丘里流量计201.分析影响因素，列出函数方程分析影响因素，列出函数方程解解：根据题意可知，压强差根据题意可知，压强差p p与通过的流量与通过的流量Q，流
12、体的，流体的密度密度，液体的粘度，液体的粘度 以及大小直径以及大小直径D1D1,D2D2有关，用函数有关，用函数关系式表示为：关系式表示为：可以看出函数中的变量个数可以看出函数中的变量个数 n6 621 选取三个基本物理量，它们分别是几何学量选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1，运动学量，运动学量Q 以及动力学量以及动力学量。2.选取基本物理量选取基本物理量量纲指数行列式量纲指数行列式由量纲公式：由量纲公式：故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。223.列出无量纲列出无量纲值值列出列出 个无量纲的个无量纲的值。值。其中其中 为待定指数。为待定指数
13、。234.根据量纲和谐性原理，确定各根据量纲和谐性原理，确定各 项的指数项的指数对于对于1，其量纲式为：，其量纲式为：所以所以：24对于对于2，其量纲式为：，其量纲式为：对于对于3，其量纲式为：，其量纲式为：255.写出无量纲量方程写出无量纲量方程 上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：它的无量纲性质。即：26问题9 流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿流，由于阻力的作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为程下降，通过观察，已知两
14、个相距为 l 的断面间的断面间的压强差的压强差p与断面平均流速与断面平均流速V，流体密度，流体密度，动力，动力粘性系数粘性系数以及管壁表面的平均粗糙度以及管壁表面的平均粗糙度等因素有等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用布金汉用布金汉定理求定理求p 的一般表达式。的一般表达式。271.列出上述影响因素的函数关系式列出上述影响因素的函数关系式 解解：2.在函数式中在函数式中n7；选取；选取3个基本物理量，依次为个基本物理量，依次为几何学量几何学量D、运动学量、运动学量V和动力学量和动力学量，三个基本物，三个基本物理量的量纲是理量的量纲是 2
15、8其量纲指数行列式为其量纲指数行列式为 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出可写出n3734个无量纲个无量纲项。项。293.列出无量纲列出无量纲值值其中，其中，为待定指数。为待定指数。304.根据量纲和谐性原理，各根据量纲和谐性原理，各项中的指数分别确定项中的指数分别确定如下（以如下（以1为例）为例）所以所以：31 同理可得同理可得5.写出无量纲量方程，其中写出无量纲量方程，其中2项根据需要取其倒数，项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以但不会改变其无量纲性质，所以 32 求压差求压差p 时，以时，以 ，代入，可得代入，可得 令令 ，最后可得
16、沿程水头损失公，最后可得沿程水头损失公式为式为 上式就是沿程损失的一般表达式。上式就是沿程损失的一般表达式。33问题10 试用瑞利法和试用瑞利法和定理（布金汉定理）推导圆柱绕流定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉的表达式，并说明瑞利法和布金汉定理各适定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力用于何种情况？已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径为与圆柱的直径为D、流体的流速为、流体的流速为V、流体的密度为和流体的动力粘滞系、流体的密度为和流体的动力粘滞系数为有关。数为有关。341.已知与阻力已知与阻力FD有关的物理量为有关的物理量为d，V，即，即 解解：一、瑞利法求
17、解一、瑞利法求解 2.将阻力写成将阻力写成d，V，的指数乘积形式，即的指数乘积形式，即 3.写出量纲表达式写出量纲表达式 35 因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。我们保留其中的不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定，待实验中去确定，并用它表示其余的指数并用它表示其余的指数 4.选选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲作基本量纲，表示各物理量的量纲 5.由量纲和谐性原理，求各量纲的指数由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L：1=a+b-3c-e M：1=c+eT：-2=-b-ea=2-e，b=2-e，c=1-e366.带入指数
18、乘积式，得带入指数乘积式，得 即即 如果令绕流阻力系数如果令绕流阻力系数 ，l为圆柱长，则得为圆柱长，则得阻力公式阻力公式 其中，绕流阻力系数其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数与物体的形状和雷诺数有关，最后由实验确定。有关，最后由实验确定。371.根据题意，本题共有根据题意，本题共有5个物理量，即个物理量，即n=5，这些，这些物理量之间存在下述关系式物理量之间存在下述关系式 2.选取选取3个基本物理量，依次为几何学量个基本物理量，依次为几何学量D、运动、运动学量学量V和动力学量和动力学量，三个基本物理量的量纲是，三个基本物理量的量纲是 二、二、定理求解定理求解38其量纲指数行列式为其量
19、纲指数行列式为 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出可写出n3532个无量纲个无量纲项。项。393.列出无量纲列出无量纲值值其中，其中，为待定指数。为待定指数。4.根据量纲和谐性原理，各根据量纲和谐性原理，各项中的指数分别确定项中的指数分别确定如下如下 对于对于1，其量纲式为，其量纲式为40对于对于1，其量纲式为，其量纲式为415.写出无量纲量方程，其中写出无量纲量方程，其中2项根据需要取其倒项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以数，但不会改变其无量纲性质，所以 式中：式中：，称为绕流阻力系数，与物体的形，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。状和雷诺数有关，由实验确定。由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数的问题，相关变量未知数n45个，而布金汉个，而布金汉定理定理是具有普遍性的方法。是具有普遍性的方法。42