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1、专题39 有界磁场问题1带电粒子在有界磁场中运动的常见情形（1）直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。（5）三边形边界：如图所示是正ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。已知边长为2a，D点距A点a，粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。2带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。（2）三个角：速度偏转角
2、、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍。3几点注意（1）当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。（2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。4求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不
3、是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切。），然后应用数学知识和相应物理规律分析求解。（1）两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。（2）两种方法一是物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。二是数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求
4、极值；利用不等式的性质求极值；利用图象法等。（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。一、带电粒子在圆形磁场中的运动 【题1】圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求OP的长度和电子通过磁场所用的时间。【答案】由于原有BPOB，可见O、B、P在同一直线上
5、，且OOP=AOB=，在直角三角形OOP中，OP=（L+r）tan，而，所以求得R后就可以求出OP了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。由得R=， ， 例2、如图，半径为r=10cm的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感强度B=0.332T，方向垂直纸面向里。在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为v=3.2106m/s的粒子。已知粒子质量m=6.6410-27kg，电量q=10-27C，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角。 【答案】60 由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角。在半径R一定的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心
6、角最大，应使其所对弦最长。该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦。显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径。即粒子应从磁场圆直径的A端射出。 如图，作出磁偏转角及对应轨道圆心O，据几何关系得，得=60，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60。 例4、如图所示，在真空中坐标xoy平面的x0区域内，有磁感强度B=1.010-2T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p（10，0），点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v=1.0104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.610-25kg，电量为q=1.610-18C，求带电粒子能打到y轴上的范围。 【答案】如图所示，当带电粒子打到
7、y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点。因，则。 当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于B点时，B点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得。 综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：。 三、带电粒子在长方形磁场中的运动 例5、如图，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，两板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率应满足什么条件。 【答案】：或 则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率小于v1时可不打在板上。 设粒子以速率v2运动时，粒子正好打在右
8、极板边缘（图中轨迹2），由图可得，则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率大于v2时可不打在板上。 综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：或。例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是： A使粒子的速度v； C使粒子的速度v； D使粒子速度v时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有r2，又由r2m=得v2v2时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。 四、带电粒子在“三角形磁
9、场区域”中的运动 例7、在边长为2a的ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距A点的D点垂直AB方向进入磁场，如图所示，若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出。【答案】见解析 又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应大于v1。 如图所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与BC边相切于F点，与AC相交于G点。易知A点即为粒子轨迹的圆心，则。 又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应小于等于v2。 综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足。 粒子从距A点的间射出。 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区
10、域”中的运动 例8、如图所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d=1.010-2m，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在03.2107m/s范围内的电子，Q为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B=1.010-3T，已知电子的质量m=9.110-31kg，电子电量e=1.610-19C，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地。求： （1）沿PQ方向射出的电子击中A、B两板上的范围。 （2）若从P点发出的粒子能恰好击中Q点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围。【答案
11、】（1） 电子能击中B板Q点右侧与Q点相距2.6810-3m1.010-2m的范围。电子能击中A板P点右侧与P点相距02.010-2m的范围。（2）vsin=8106，且， 该电子运动轨迹圆心在A板上H处，恰能击中PQ板M处。随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小。击中B板的电子与Q点最远处相切于N点，此时电子的轨迹半径为d，并恰能落在A板上H处。所以电子能击中B板MN区域和A板PH区域。 在MFH中，有， ， ，。 电子能击中B板Q点右侧与Q点相距2.6810-3m1.010-2m的范围。电子能击中A板P点右侧与P点相距02.010-2m的范围。 （2）如图所示，要使P点发出的电子能击中
12、Q点，则有，。 解得vsin=8106。 v取最大速度3.2107m/s时，有，；v取最小速度时有，vmin=8106m/s。 所以电子速度与之间应满足vsin=8106，且， 六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 例9、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度d；（2）带电粒子从O点开
13、始运动到第一次回到O点所用时间t。【答案】（1）（2） 可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图所示，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为 （2）在电场中， 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间， 则粒子第一次回到O点的所用时间为。七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动 例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场
14、的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为=4107C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。【答案】（1）1.5107m/s（2）1.0107m/s 由图中知，解得r1=0.375m由得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为v1=1.5107m/s。（2）当粒子以v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以v1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。由图中知由得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v2=1.0107m/s 例11、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为、带电量为q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）【答案】