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1、第一章 集合与简易逻辑 第 1 课 集合的概念【知识在线】提示 仅（1）错误3 4 3 a4 5 7 法一 直接写出满足条件的X有：1,2 ，1,2,3 ，1,2,4，1,2,5 ，1,2,3,4 ，1,2,3,5 ，1,2,4,5 ，共 7 个.法二 依题意，即求从 3,4,5 三个元素中依次取 0 个，1 个，2 个的组合数的和，即0123337CCC 【训练反馈】提示 A 中2nx，B中21()2nxnZ，故 BA，选 A.B m=0或1m 或13m 提示 因为 131ABx mx，故由 BA知：13B或或，分别解得 m=0或1m 或13m.点评 本题若忽视B的情形，将失去 m=0这一解
2、.1 提示：依题设，0,1,aa只能0,1.ba 证明 因为,bA cA，所以可设1212,22mmnnbc，其中1212,m m n nN，所以2112121212121222,2222mmmmmmmmnnnnn nbcbc 因为2112121222mmnnmmn n、均为正的自然数，所以bcA，bcA 8解（）当a=4时，原不等式可以化为04542xx即0)2)(2)(45(4xxx，5(,2)(,2)4x ,故 M为5(,2)(,2)4 （）由 3M得：03532aa 且 50555:2aaM得 由得：51,)(9,25)3a 9解 要使lg()xy有意义，必须0.xy 若 x=1,则由
3、()知，y=1,又与元素的互异性矛盾 只能1.x 进而由()知1.y 说明 通过本题应进一步明确集合相等的意义及集合元素的互异性与无序性.（1）证明 xAf xff xx设，则x=fx，,xB 从而AB.（2）解 11111,3,33933fpqpAqfpq ，23f xxx.222333ff xxxxxx ，即 223230 xxx.3,1,3x ，从而3,1,3,3B.第 2 课 集合的运算【知识在线】提 示 利 用 抽 象 推 理 分 析 或 韦 恩 图 直 观 分 析.41(,0),)25 0 或 1 提示 集合 P中的元素是抛物线在两直线x=2，x=5 之间的点，集合 Q中的元素是垂
4、直于x轴的动直线上的点 当a5 时，两点集无公共点，即集合PQ是空集；当25a 时，两点集有 1 个公共点，即集合PQ中含有一个元素，故PQ中所含的元素个数为 0 或 1【训练反馈】D p 1 6 2 22m 提示 利用数形结合与平几知识直观求解 法一 当0,40Ap 时，得；当A时，方程2(2)10 xpx 有实根，但非正数，从而0，12120,0 xxx x，解得0p，综上，则4p 为所求.1210 x x 法二 求使AR的 p 的范围，注意到，应有1200 xx即4p ，再在实数集 R内求补集得4p 说明 在求参数取值范围时，若反面情形较为简单，则 可 考 虑 使 用“补 集 法”求 解
5、 由 题 设，得|22,|16,AxxxBxxCxx 或（1）|26,ABxxACR （2）|14,()|14IBCxxBCx xx 或于是()|24IABCx xx或 解 q0,在方程20 xpxq 中，240pq，故方程20 xpxq 有两个不等实根，设二根为x1、x2，即12,Ax x 12,ABxB xB 又12,ACAACxC xC 故x1、x2只能为3,7 121212()(37)4,(3)74,(3)721pxxqx xqx x 4,21pq 为所求 第 3 课 逻辑联结词和四种命题【知识在线】视的情形将失去这一解提示依题设只能证明因为所以可设其中所以因为均为正的自然数所以解当时
6、不等式可以化为即合相等的意义及集合元素的互异性与无序性证明设则从而解即从而第课集合的运算知识在线提示利用抽象推理分析或两点集无公共点即集合是空集当时两点集有个公共点即集合中含有一个元素故中所含的元素个数为或训练反馈提示利 提示 简单命题是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题，选择支 A、B、D 中分别含有逻辑连结词“或”、“且”、“非”提示、为真命题 提示 结合命题的等价关系进行判断 提示 此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；【训练反馈】1 提示 中涉及逻辑联结词“或”，中涉及逻辑联结词“且”B 提示：由 4 种命题的相互关系，可知否命题
7、与逆命题是逆否命题 7 8.提示 设使 p 的解集为(,)的a的集合为 A，使()f x在(,)内是增函数的a的集合为 B，则本题即求,AB答案为11(,)(,)23 证明 （用反证法）假设 a、b、c 都不大于 0，即0a，0,0bc，则有0abc 而222222236abcxyyzzx 2221113xyz,所以 0abc ，此与0abc 矛盾 故假设错误，从而原命题正确 说明 本题亦可直接转化为证明等价命题：0abc 第 4 课 充分条件和必要条件【知识在线】充分而不必要 提示 1a时二直线垂直；反之，当二直线垂直时，1a或0a 【训练反馈】提示 若a1，则22cossincos2,yx
8、xx T，故充分性具备；反之，由22cossincos2yaxaxax知周期22|Taa，由 T得1a ，故不是必要条件 （1）充分非必要（2）非充分也非必要（3）充分非必要 （）充要（）1q 提示 （1）“xM或xP”xR，()xMP(2,3)x，因 为“xM或xP”()xMP，但()xMPxMx或，故“xM或xP”是“()xMP”的必要不充分条件（2）0m 时,不等式24210mxmx 恒成立 2404160mmm40m 又0m 时，不等式24210mxmx 对xR恒成立故使不等式24210mxmx 恒成立的充要条件是40m 分析 易知MN的充要条件是方程组22229yxxay 至少有一个
9、实数解，且0 x，视的情形将失去这一解提示依题设只能证明因为所以可设其中所以因为均为正的自然数所以解当时不等式可以化为即合相等的意义及集合元素的互异性与无序性证明设则从而解即从而第课集合的运算知识在线提示利用抽象推理分析或两点集无公共点即集合是空集当时两点集有个公共点即集合中含有一个元素故中所含的元素个数为或训练反馈提示利即 222 190 xa xa 至少有一个非负根 由05a得，在此前提下，以下若顺向思维，则情形较繁；若变通思维角度，考虑至少有一个非负根的反面是有两个负根（只有一种情形），则易知其充要条件是12120,00.xxx x，解得3a 从而使MN的充要条件为35a 集合与简易逻辑
10、单元测试题 一、选择题：1C 2.B提示 函数()yf x的图象与 y 轴至多有 1 个公共点 3.B法一 由题意知：,ABMN又，故AB中无其它元素，即AB 法二（特例法）令 M 1,2 ，N3,4 ，则,1,2,1,2A，,3,4,3,4B，AB 4 提示 依题设有，ABA，B A 2xA，但21,1xx 即，只能x2=3 或2xx，（x=1 时与元素的互异性矛盾，故舍去）5C提示 若1M，则5M，1,5M符合要求；同理：2,4,3,1,5,2,4,1,5,3,2,3,4,1,2,3,4,5也都满足题设 6A 法一 赋值验证，分别令1,0,1,2,k 得 357,4 4444M ，35,4
11、 244N，可知 M N 法二 图示分析法:M：4 种终边（象限角分线）N：8 种终边（轴线角及象限角分线）法三 特例排除法.7 提示 的逆命题为假命题；的否命题为真命题；为真命题，故其逆否命题也为真命题 8.B 9.C 提示：利用菱形的性质 10 提示：xR时，()()()()f xg xf xg x的解集为 11 12 法一 结合图示，易知选 A法二 由211yxyxbx 消去y得2(1)10 xbxc .令 0，得22452442cbbcbb ；反 之，24420cbb ，故选 A 二、填空题：13 I211,2nAx xnN 注 若写成I211,2nAx xnN便错 146 提示:23
12、视的情形将失去这一解提示依题设只能证明因为所以可设其中所以因为均为正的自然数所以解当时不等式可以化为即合相等的意义及集合元素的互异性与无序性证明设则从而解即从而第课集合的运算知识在线提示利用抽象推理分析或两点集无公共点即集合是空集当时两点集有个公共点即集合中含有一个元素故中所含的元素个数为或训练反馈提示利2=6 15.必要不充分 16 x或y 提示 x为平面时，y、z为直线，符合；y为平面时，x、z为直线；z为平面时，x、y为直线，不合答案为x或y注 答出其中一个即算正确 三、解答题：17（1）解 2A，由已知得1112A 又由1A得111(1)2A，再由12A，得 12112A，故11,22
13、A.（2）证明 假设 A是单元素集，则必有 a=,11a即 2aa1=0 而=3 0，故此方程无实数解，假设不成立，从而 A不可能是单元素集 18解（1）这个命题是“非 p”形式，p:()AAB，p为真，非p是假命题（2）这个命题是“p且q”形式，p：菱形对角线互相垂直；q：菱形对角线互相平分因为p真q真，所以“p且q”为真命题 19解 2|60 3 2Ax xx ，B A，B或 3B 或2B 当B时，m=0；当 3B 时，13103mm，；当2B 时，12102mm ，m=0 或13m 或12m 故 B A 的一个充分不必要条件是取上述 m的一个值或两个值例如可回答为m=0；13m；m=0
14、或13m；13m 或12m 等 20解 B2,3 ，C4,2 ，AB ，AB非空 又AC，3A 将x3 代入22190 xaxa，得a2 或a5 当a5 时，A2,3 与2AC，矛盾，舍去；当a2 时，A3，5，符合要求，故所求a值应为a2 21解 由题设，123Byya ，且2a .1 当20a 时，24Cz az，由数轴知：CB不可能成立，无解；2 当02a 时，04,CzzCB,视的情形将失去这一解提示依题设只能证明因为所以可设其中所以因为均为正的自然数所以解当时不等式可以化为即合相等的意义及集合元素的互异性与无序性证明设则从而解即从而第课集合的运算知识在线提示利用抽象推理分析或两点集无
15、公共点即集合是空集当时两点集有个公共点即集合中含有一个元素故中所含的元素个数为或训练反馈提示利结合数轴知：02423aa 解得122a；3 当a2 时，20,CzzaCB，且24a,结合数轴知：2423aa，解得23a 综合 1、2、3可得，所求a的范围是11223322aaaaa 或 22解（1）正确在等差数列na中，12(),2nn aaS则11(),2nnSaan这表明点(,)nnSan 的坐标适合方程11()2yxa，于是点(,)nnSan均在直线11122yxa上 （2）正确设(,)x yAB,则（x，y）中的坐标x，y应是方程组1221122114yxaxy的解由方程组消去y得：2
16、1124(*)a xa，当a10 时，方程（*）无解，此时AB；当a10 时，方程(*)只有一个解21142axa，此时，方程组也只有一个解2112114244axaaya，故上述方程组至多有一解 AB至多有一个元素（3）不正确取a1=1,d=1，对一切的*,xN有1(1)0,0nnSaandnn ，这时 集合 A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于110a 如果AB，那么由（2）知AB中至多有一个元素00(,)xy，而21010014530,02224axaxya ，这样的00(,)xyA，矛盾，故a11，d1 时AB，所以a10 时，一定有AB是不正确的 视的情形将失去这一解提示依题设只能证明因为所以可设其中所以因为均为正的自然数所以解当时不等式可以化为即合相等的意义及集合元素的互异性与无序性证明设则从而解即从而第课集合的运算知识在线提示利用抽象推理分析或两点集无公共点即集合是空集当时两点集有个公共点即集合中含有一个元素故中所含的元素个数为或训练反馈提示利