平面向量及其应用题型全归纳.pdf

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1、 1 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）平面向平面向量量 一、一、平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 基础知识基础知识 1、向量的定义及表示：向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量以 A 为起点、B 为终点的向量记作 AB，也可用单个小写字母，来表示向量；2、向量的长度向量的长度(模模)：向量 AB 的大小即向量 AB 的长度(!)，记为|AB|；3、零向量：零向量：长度为零的向量，零向量记作，其方向是任意的；4、单位向量：单位向量：长度等于个单位的向量，单位向量记作，；5、平行向量：平行向量：方向相同或相反的非零向量（也

2、叫共线向量），与任意向量共线；6、相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量；相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；7、相反向量：相反向量：长度相等且方向相反的两个向量；若与为相反向量，则；8、向量的加法：向量的加法：首尾相接，首指向尾。（三角形法则、平行四边形法则）遵守交换律、结合律；9、向量的减法：向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量。（三角形法则、平行四边形法则）遵守交换律、结合律；10、向量的数乘：向量的数乘：求实数与向量的积的运算。运算律；11、共线向量定理：共线向量定理：向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得；12、中点向量公式：中点向量公式：若为线段的中点

3、，为平面内任意一点，则；13、分点向量公式：分点向量公式：若为线段靠近点的等分点，为平面内任意一点，则；14、三点共线定理：三点共线定理：OA OB OC (，为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则 1。abc00a|0aaa=0abba-=la+=+=+=babaaaaaalllllll)()()()(b0balbal=PABOOBOAOP2121+=PABAnOOBnOAnnOP11+-=2 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）题型一题型一 平面向量的有关概念平面向量的有关概念 例题例题1、（2021 春三明期中）下列命题正确的是（）A单位

4、向量都相等 B若 与 都是单位向量，则 C D若 与 共线，与 共线，则 与 共线 解题技法解题技法 (1)向量定义的关键是方向和长度；(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等；(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度；(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线。变式训练变式训练1、（2021 春江阴市校级月考）下列说法中正确的是（）A单位向量都相等 B若满足|且 与 同向，则 C对于任意向量，必有|+|D平行向量不一定是共线向量 变式训练变式训练2、（2021 春广东期末）下列说法中，正确的是（）A任意单位向量的模都相等

5、 B若 A，B 是平面内的两个不同的点，则 C若向量 ，则 D零向量与任意向量平行 题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例题例题2、（1）、（20202 月份模拟）如图所示，ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A的三等分点，则（）3 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A B C D（2）、（2021北京模拟）如图，每个小正方格的边长都是 1，），则 的值为（）A1 B C D 解题技法解题技法 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求

6、首尾相连的向量的和用三角形法则；(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值。变式训练变式训练1、（2020遂宁模拟）如图，在ABC 中，若，则+的值为（）A B C D 4 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）变式训练变式训练2、（2020婺城

7、区校级模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是线段 AE 上靠近点 A 的三等分点，则（）A B C D 变式训练变式训练3、（2021阳泉三模）如图，正方形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、CD 的中点，若+，则+（）A2 B C D 变式训练变式训练4、（2021三明模拟）在ABC 中，点 D 满足，点 E 为线段 AD 的中点，则向量（）A B C D 变式训练变式训练5、（2021 春慈溪市期中）若点 M 是ABC 所在平面内一点，且满足：则ABM与ABC 的面积之比为（）A B C D 题型三题型三 共线向量定理的应用共线向量定理的应用 例题例题3、（

8、1）、（2021江西模拟）设，是两个不共线的平面向量，若 32，+k，且与 共线，则实数 k 的值为（）A B C D 5 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（2）、（2021涪城区校级模拟）、是平面内不共线的两向量，已知k，2+，3，若 A、B、D 三点共线，则 k 的值是（）A1 B2 C3 D4 解题技法解题技法 1、向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用。2、证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才

9、能得到三点共线。变式训练变式训练1、（2021江西模拟）已知向量，不共线，且（3k+2）+，+k，若 与 方向相反，则实数 k 的值为（）A1 B C1 或2 D1 或 变式训练变式训练2、（2020上饶一模）已知是不共线的向量，若 A、B、C 三点共线，则、满足（）A3 B+3 C+2 D2 变式训练变式训练3、（2021山西二模）平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 边上的中点，连接 BE 交 AC 于点 G，若，则+（）A1 B C D 6 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）二、二、平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示

10、基础知识基础知识 1、平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。2、平面向平面向量的坐标运算，量的坐标运算，设（1）加法：（2）减法：（3）数乘：（4）模：（5）共线：若，则 3、向量坐标的求法：向量坐标的求法：设，则 题型四题型四 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 例题例题4、（1）、（2021广东模拟）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4CD，M 为 AD 的中点，则+（）1e2ea1l2l2211eeall+=),(),(2211yxbyxa=),(2121yyxxba+=+),(2121

11、yyxxba-=-),(11yxalll=2121|yxa+=ba/1221yxyx=),(),(2211yxByxA),(1212yyxxAB-=7 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A B C D（2）、（2020大同模拟）在ABC 中，点 P 满足，过点 P 的直线与 AB，AC 所在的直线分别交于点 M，N，若，（0，0），则+的最小值为（）A B C D 解题技法解题技法 1、平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基

12、底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理 2、应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算 变式训练变式训练1、（2021山西三模）已知ABC 的重心为 O，则向量（）A B C D 变式训练变式训练2、（2021安徽模拟）在ABC 中，+，则（）A B1 C2 D3 变式训练变式训练3、（2021迎江区校级三模）ABC 中，AB2，AC4，点 O 为ABC 的外心，若，则实数的值为（）A7 B C D 8 学习资料分享

13、/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）变式训练变式训练4、（2021江苏模拟）若，是平面 内的一组基底，则下列四组向量能作为平面 的一组基底的是（）A，B+，C23，6+4 D2+，题型题型五五 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例题例题5、（1）、（2021 春海淀区期中）已知点 A（5，2），B（1，4），C（3，3），M 是线段 AB 的中点，求点 M 和的坐标；（2）、（2021 春南开区月考）已知（x+3，x23x4），A（1，2），B（3，2），且，求 x 的值；解题技法解题技法 1、平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、

14、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解。2、向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同；(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算；(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分。变式训练变式训练1、（2021东城区二模）在平行四边形 ABCD 中，已知（2，2），（1，5），E 为 CD的中点，那么（）A（2，4）B（2，3）C（1，4）D（1，3）9 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：1802

15、0133571（同微信）变式训练变式训练2、（2021中卫三模）若向量（5，6），（2，3），则（）A（3，3）B（7，9）C（3，3）D（6，10）题型题型六六 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 例题例题6、（2021奉新县校级三模）已知向量，若向量与向量 共线，则（）A B C D 解题技法解题技法 1、平面向量共线的充要条件的 2 种形式(1)若，则的充要条件是x1y2x2y10；(2)若，则。2、两个向量共线的充要条件的作用 判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值 变式训练变式训练1、（2021长

16、春模拟）若|2，（1，2），则 的坐标可以是（）A（2，4）B（2，4）C（2，4）D（4，2）变式训练变式训练2、（2021南明区校级模拟）已知向量，若与 共线，则实数 m（）A0 B1 C1 D2 变式训练变式训练3、（2021拉萨一模）已知向量，若向量与向量共线，则 m 的值为（）),(),(2211yxbyxa=ba/)0(/bbabal=10 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A3 B3 C D 变式训练变式训练4、（2021未央区校级模拟）在平行四边形 ABCD 中，E 为线段 CD 的中点，其中 x，yR，且均不为 0若，则 三、

17、三、平面向量的数量积平面向量的数量积 基基础础知知识识 1、向量的向量的夹夹角：角：已知两个非零向量和，作，则（）叫做向量与的夹角，记作。注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角。2、平面向量数量积的定义：平面向量数量积的定义：已知两个非零向量和，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，其中是与的夹角。规定：零向量与任一向量的数量积为零。3、平面数量积的运算律：平面数量积的运算律：（1）交换律：（2）数乘结合律：（3）分配律：4、平面向量数量积的性平面向量数量积的性质质：（1）abaOA=bOB=q=AOB001800qabba,abqcos|baabqcos|baba=qa

18、babba=)()()(bababalll=cbcacba+=+)(0=baba22|aaaa=aaa=|30 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐（3）（4）5、平面向量数量积的坐标表示：平面向量数量积的坐标表示：（1）（2）（3）（4）题型题型七七 平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的运算 例题例题7、（1）、（2021兴宁区校级二模）已知，则（）A0 B1 C1 D2【解答】由已知条件可得，因此，0 故选：A（2）、（2021上海）如图正方形 ABCD 的边长为 3，求 【解答】由数量积的定义，可得，因为，所以 9 故答案为：9|cosbaba=q|baba2121|yxa+=0

19、2121=+yyxxba2121yyxxba+=222221212121cosyxyxyyxx+=q 31 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐（3）、（2021凯里市校级三模）在菱形 ABCD 中，AB2，BAD60，则（）A8 B9 C10 D12【解答】在菱形 ABCD 中，因为BAD60，AB2，所以，所以（）（）+22+22+229 故选：B 解题技法解题技法 (1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算。(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量，然后根据平面向量

20、的数量积的定义进行计算求解。(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出，的坐标，通过坐标运算求解。变式训练变式训练1、（2021晋城三模）若向量（1，2），（3，4），则（）A8 B10 C8 D10【解答】，又（1，2），（3，4），故选：B 变式训练变式训练2、（2021上饶模拟）在等腰ABC 中，底边 AB4，则（）A4 B6 C8 D16【解答】如图，作 CDAB 交 AB 于点 D，因为ABC 为等腰三角形，所以 D 为 AB 中点 则（+）+48，故选：C abab 32 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 变式训练变式训练3、（2021凯里市校级三模）在菱形 A

21、BCD 中，BAD60，AB2，则（）A8 B9 C10 D12【解答】在菱形 ABCD 中，BAD60，AB2，所以（）（）+2+229 故选：B 变式训练变式训练4、（2021河北模拟）ABC 中，AB3，AC4，BC5，点 D，E 是边 BC 的三等分点，则（）A4 B C5 D【解答】如图，以 A 为坐标原点，AC，AB 所在直线为 x，y 轴，AB3，AC4，BC5，所以 D（，2），E（，1），所以 故选：D 变式训练变式训练5、（2021道里区校级模拟）在直角梯形 ABCD 中，ADAB，CDAB，AB2AD2DC2，E为 BC 边上中点，的值为（）A1 B C D2 33 学习

22、资料分享/升学政策解读/优质师资推荐【解答】根据题意，可得 AB2，ADCD1，AC，DACDCACAB45，在三角形 ABC 中，根据余弦定理可得，BC，即得 AC2+BC2AB2，即ABC 为等腰直角三角形，又因为 E 为 BC 边上的中点，故有，因此可得 故选：D 题型题型八八 平面向量的模平面向量的模 例题例题8、（1）、（2021昌平区二模）已知向量（1，1），（1，1），则|+2|【解答】向量（1，1），（1，1），+2（3，1），|+2|，故答案为：（2）、（2021 春福清市期中）已知向量，满足|1，|2，向量 与 的夹角为 60，则|2 3|【解答】，故答案为：题型题型九九

23、平面向量的平面向量的夹夹角角 例题例题9、（1）、（2021武进区校级模拟）已知+（1，3），（3，1），则 cos，（）A0 B C D【解答】设，所以，且，解得，即，则有 故选：A（2）、（2021湖北模拟）已知单位向量，满足|+|2|，则 与 的夹角为 34 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐【解答】，解得，且，题型题型十十 平面向量的平面向量的垂直垂直 例题例题10、（1）、（2021 春浙江期中）已知平面向量，若，则实数 x 的值是（）A B1 C5 D8【解答】根据题意，平面向量，则 （x2，2），若，则（）2（x2）60，解可得 x5；故选：C（2）、（2021迎江区校级三

24、模），为非零向量，满足|，且（）（3+2），则 tan，（）A1 B1 C D【解答】设向量 与 的夹角为，由，不妨设，则，即，32（3m）26m2，0，tan，tan1 故选：A 解题技法解题技法 1、利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可。2、已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 35 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数。变式训练变式训练1、（2021定远县校级模拟）已知向量（1，2），5，|

25、2，则|等于（）A B C5 D25【解答】（1，2），5，|2，510+20，25，|b|5，故选：C 变式训练变式训练2、（2021鼓楼区校级模拟）已知，为单位向量，且 0，若 3，则 cos，（）A B C D【解答】，为单位向量，且 0，3，则 cos，故选：C 变式训练变式训练3、（2021兴宁区校级模拟）已知向量（3，6），（m，1），若（），则实数 m的值为（）A9 B17 C7 D21【解答】根据题意，向量（3，6），（m，1），则，因为，所以，解可得：m17；故选：B 变式训练变式训练4、（2021 秋临渭区校级月考）已知平面向量，满足|1，|2，且（+），则，的夹角的余弦值

26、为（）A B C D【解答】因为（+），即（+）+1+0，所以1，则 cos，36 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 故选：B 变式训练变式训练5、（20213 月份模拟）已知单位向量，满足 0，若向量+，则 sin，（）A B C D【解答】单位向量，满足 0，且向量+，|2，cos，sin，故选：B 变式训练变式训练6、（2021河南模拟）已知，为单位向量，且（+2），则向量 与 的夹角为 【解答】设向量 与 的夹角为，|cos11coscos，（+2），（+2）+20，得 1+2cos0，可得：cos，0，故答案为：变式训练变式训练7、（2021十八模拟）已知向量（1，2），（4

27、，7），若 ，（+），则|【解答】因为 ，可设 c（x，2x），由（+）可得（1，2）（4+x，7+2x）0，所以 4+x+2（7+2x）0，解得 x2，所以 c（2，4），故|c|2 故答案为：2 变式训练变式训练8、（2021广东模拟）已知向量，的夹角为 30，|2，|，则|+2|【解答】因为向量，的夹角为 30，|2，|，所以（）2+4+422+4+428，所以|2 故答案为：2 37 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 变式训练变式训练9、（2021 秋包头月考）已知两非零向量 与 的夹角为，且，则cos（）A B C D【解答】因为，所以 44+28，即 44422cos+42

28、8，解得 cos 故选：B 变式训练变式训练10、（2021湖北模拟）已知（0，2），|2，若4，则 sinBAC（）A B C D【解答】设 A（0，0），C（m，n），（0，2），|2，4，可得2，2（n2）4，解得 n4，所以 m2，2cosBAC（0，2）（2，4）8，所以 cosBAC，sinBAC 故选：D 变式训练变式训练11、（2020新课标）已知向量，满足|5，|6，6，则 cos，+（）A B C D【解答】向量，满足|5，|6，6，可得|7，cos，+故选：D 变式训练变式训练12、（2021陕西模拟）已知（1，2），（m，1），（3，4），若（+），则向量，夹角的正切值为（）A B1 C D 38 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐【解答】根据题意，设向量，夹角为，（1，2），（m，1），（3，4），则+（1+m，3）若（+），则有（+）3（1+m）120，解可得 m3；则（3，1），则有|，|，3+25，则 cos，又由 0，则，故 tan1；故选：B