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1、一般地，如果一般地，如果 y=ax2+bx+c一、一、定义定义二、二、图象特点图象特点 和性质和性质四、四、解析式的求法解析式的求法三、三、图象位置与图象位置与a、b、c、的的正负关系正负关系五、五、函数的应用函数的应用(a、b、c是常数，是常数，a0)，的函数叫做二次函数，的函数叫做二次函数，其中其中a为二次项系数，为二次项系数，b为为一次项系数，一次项系数，c为常数项。为常数项。y yaxax2 2a0a0a0a0a0h0h0(,0)二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值 抛物
2、线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=a(x-h)2+k (a0)y=a(x-h)2+k (a0)（h h，k k）（h，k）直线直线x=h直线直线x=h向上向上向下向下当当x=h时时,最小值为最小值为k.当当x=h时时,最大值为最大值为k.根据图形填表：根据图形填表：当当x x h h时时,y,y随着随着x x增大而增大增大而增大.当当x x h h时时,y,y随着随着x x增大而减小增大而减小.2.一般二次函数一般二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象特点和函数性质的图象特点和函数性质一、一、定义定义二、二、图象特点图象特点 和性质和性质四、四、
3、解析式的求法解析式的求法三、三、图象位置与图象位置与a、b、c、的的正负关系正负关系二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0
4、c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=00a0c=0c0ab=0ab0=0 0-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac=0-4ac=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0若两交点坐标分别为（若两交点坐标分别为（x1,0）、）、（x2,0）则则x1+x2，x1 x2，两交点的距离为两交点的距离为x1-x2 解析式解析式 使用使用
5、范围范围一般式一般式已知任意三个点顶点式顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)一、一、定义定义二、二、图象特点图象特点 和性质和性质三、三、解析式的求法解析式的求法四、四、图象位置与图象位置与a、b、c、的的正负关系正负关系 一、基础知识一、基础知识 巩固练习巩固练习:例例1、填空：、填空：（1）二次函数）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标的图象顶点坐标是是_对称轴是对称轴是_,当函数值当函数值y随随x的增大而减小时，的增大而减小时，x的取值的取值范围是范围是x（2）抛物线抛物线y=
6、-2x2+4x与与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是_（4）二次函数）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象的图象经过原点，则经过原点，则m=_。（，-）125 24x=12（0，0）（2，0）2练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)，且经过点且经过点(3，1)；(3)、图象经过、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3。xyOAxyOBxyOCxyOD 例例2:在同一直角坐在同一直角坐标标系中，一次系中
7、，一次函数函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的的图图象大致象大致为为(二二)根据函数性质判定函数图象之间的位根据函数性质判定函数图象之间的位置关系置关系答案答案:B 例例3、二次函数的图象如图所示，则在下列二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是各不等式中成立的个数是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 03个(三三)图象位置与图象位置与a、b、c、的的正负关系正负关系 例例4、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6
8、）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即：y=-2x2+4x(四四)根据函数性质求函数解析式根据函数性质求函数解析式例例5、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值
9、时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y08)=360该抛物线与该抛物线与x轴一定有两个交点轴一定有两个交点(2)解解:抛物线与抛物线与x轴相交轴相交时时x2-2x-8=0解方程得解方程得:x1=4,x2=-2AB=4-(-2)=6AB=4-(-2)=6而而P P点坐标是点坐标是(1,-9)(1,-9)SABCABC=27=27xyABP（1）抛物线）抛物线 y=2(x-1/2 )2+1 的开口向的开口向 ,对称轴对称轴 ,顶点坐标是顶点坐标是 （2）若抛物线）若抛物线y=a(x+m)2+n开开口向下，顶点在第四象限，则口向下，顶点在第四象限，则a
10、 0,m 0,n 0。上X=1/2（1/2，1）w二次函数二次函数y=axbxc的图象和的图象和x轴交点的横坐标，便是对应轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程的一元二次方程axbxc=0的解。w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况:w(1)(1)有两个交点有两个交点w(2)(2)有一个交点有一个交点w(3)(3)没有交点没有交点4、二次函数与一元二次方程的关系b2 4ac 0b2 4ac=0b2 4ac 0若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有交点轴有交点,则则b2 4ac0例例(1)(1)如果关于如果关于x
11、 x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个相等的有两个相等的实数根实数根,则则m=m=,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m-2x+m与与x x轴有轴有 个交点个交点.(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 28x+c8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上,则则c=c=.1116 (3)(3)一元二次方程一元二次方程 3x3x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根是的两个根是x x1 1=-2,x=-2,x2 2=5/3,=5/3,那么二次函数那么二次函数y=3xy=3x2 2+x-10+x-10与与x x轴的交点坐标是轴的交
12、点坐标是.（-2、0）（）（5/3、0）5、抛物线的平移左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图的图象。象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2练一练:1.抛物线 的顶点坐标是(
13、).(A)(-1,-3)(B)(1,3)(C)(-1,8)(D)(1,-8)2.在同一直角坐标系中，抛物线 与坐标轴的交点个数是()(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 3.已知二次函数的图象如图所示，则有（）()a0,b0,c0 ()a0,b0,c0 (C)a0,b0,c0 (D)a0,b0,c0练习：练习：（3）由二次函数）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 y=x2如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)
14、求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米 (3)墙的可用长度为8米 (2)当x 时，S最大值 36（平方米）Sx（244x）4x224 x （0 x6）0244x 8 4x6当x4cm时，S最大值32 平方米 例1、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获
15、利润最大？并且求出最大利润是多少？解：设利润为y元，售价为x元，则每天可销售100-10(x-10)件，依题意得：y=(x-8)(100-10(x-10)化简得 y=-10 x2-280 x-1600 配方得 y=-10(x-14)2+360 当(x-14)2=0时，即x=14时，y 有最大值是360 答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元。典型例题例例2：（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两两点，求点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）x为何值时，为
16、何值时，y随的增大而减少，随的增大而减少，x为何值时，为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x为何值时，为何值时，y0？已知二次函数已知二次函数 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期
17、少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析:调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元，买进商品需付 元因此，所得利润为元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即(0X30)(0X30)可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐
18、标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10 x)元，因此，得利润答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元 做一做由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?(0 x20)归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤:求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。