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1、第二节一元二次不等式及其解法,最新考纲，1 .会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3 .会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.考 向预测考情分析：不等式解法是不等式中的重要内笈，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下.学科素养：通过一元二次不等式及恒成立问题的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必 记1个知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式/=。2 4
2、C/0/=0/0)的图象小 巧/1V7Jz。产5i以方程 ax2+b x+c=0(0)的根有两个不相等的实数根乃，X 2(X|0 (。0)的解集 X -5Rax1+b x+c 0)的解集二、必明3个常用结论1.分式不等式与整式不等式(1)磊0(0)0(l g(X)|=/(X)2 g(X)2；(2)|/U)|g(x)钝A x)g(x)或火X)g(x)；(3)|/(x)|g(x)o g(x)勺(x)0(a W 0)对任意实数x恒成立0卜 ，(A 0.(2)不等式a x 2+b x+c yO(a W O)对任意实数x恒成立I 0.()(2)若方程以2+法+。=0 3/0)没有实数根，则不等式ax2+
3、*6 *B.b x+c 0的解集为R.()(三)易错易混4.(不等式变形必须等价)不等式x(x+5)0 ,B=xx-0,则 4 c 舞B=()A.(一8,i)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+8)提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考 点 一 不含参数的一元二次不等式的 解 法 基础性1.不等式-2x 2+x+3 0的解集为()A.(一1,|)B.(一|,1)C.(一8,-l)u +8)D.(-8,一|)u(l,+)2.不等式的解集为()(3)若二次 函 数 的 图 象 开 口 向 下，则不等式ax2+b x+c 0的解集是(一之，0,则的值是A.-2,1JB.(-2,1C.(0,
4、2)U(1,+8)D.(8,2U(1,+8)反思感悟 解一元二 次 不 等 式 的4个步骤一化T把不嗦式变形为二次项系数大于陵的标准形式qT 吾家薪应务应前尻面受:泉山岳应正一元二黄方程正根，聂根服列别正弦庙方i:程有没有实根：T利 用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考 点 二 含参数的一元二次不 等 式 的 解 法 综合性 例1解 关 于x的 不 等 式n f(a+l)x+l 0).听 课 笔 记：反 思 感 悟 含 参 数 的一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向.(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数.(3)当/0时，
5、讨论相应一元二次方程两根的大小.(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.【对点训练】1 .已知不等式6 UC2 一法 一1 0的解集是 x|-i X -i ,则 不 等 式X2一法一的解集是.2.解不等式 l l x2o r A/gw R).考 点 三 一 元 二 次 不 等 式 恒 成 立 问 题 综合性角 度 1在 R 上的恒成立问题 例 2 对于任意实数x,不等式(a2)/2(a2)x40a0,zf0,K Oav2+/?x+c0a0,J0a+bx+cOa0,1WO角度2在给定区间上的恒成立问题 例 3 已知函数式)=小一底一 1.若对于xW 1,3 y(x)0(“0
6、)在区间 加，上恒成立=卜4 一 行，(f(n)0,b771 0,(2)一元二次不等式_/(x)0)在区间向，川上恒成立n n 3 一石，或lf(m)0,lmax/(m),/(n)0,l/(n)0.角度3给定参数范围的恒成立问题 例 4 若/nF如 一1 0对于 1,2 恒成立，则实数x 的取值范围为听课笔记：反思感悟 给定参数范围求X 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.【对点训练】1.若不等式以2x+e o对一切实数X
7、 都成立，则实数。的 取 值 范 围 为()A.a 一 或 B.或 a D.-a-2 2 22.当x g(l,2)时，不 等 式/+如 +4 0恒成立，则机的取值范围是()A.(8,4 B.(8,5)C.(-8,-5 J D.(-5,-4)微专题2 6转化与化归思想在不等式中的应用思想方法转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.例 关于x的不等式a W；%23 x+4 W b 的解集为 a,b,则 a/?=()4A.1 B.2C.-3 D.4解析：令於)=|r3%+4,则 y U)=3 X-2
8、)2+l,所以火X)m i n=/(2)=1,由 题 意 可 知 且 犬 )=#。)=da2,由寅份=h 得至*3 6+4=6,解得6=会舍去)或b=4,由抛物线的对称轴为x=2得到a=O,所以a =-4.故选D.答案：D名 师 点 评(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想；函数的值域和不等式的解集转化为a,6满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.(2)注意函数 r)的值域为 0,+8)与 x)2 0 的区别.变式训练 已知函数段）=/+奴+/。，8 咫的值域为 0,+8）,若关于犬的不等式y（x）c 的解集为（加，加+6）,则实数。的值为.第二节一元二次不等式及其解法积
9、累必备知识x|xXi 或 X*x|xi X0 得 x l,即 3=%|x l ,所以A n B =x l x W2 ,故选D.答案：D(一二+三二3 .解析：由题意知一鼠g 是 加+法+2=0的两根，则J 1：3 2/3解得尸=一 1 2 所以。+6=一 4.I b =2,答案：一144.解析：原不等式等价于（工+5）。-3）0,解得一5 4 3,即该不等式的解集为（一5,3）.答案：（一5,3）5 .解析：由（x+1）（3 2 x）2 0,得（x+l）（2 r 3）W 0,所以不等式的解集为 x|-1 x 0 =x x 3 ,5=小一1 0 =小1 ,A A n B =x|x l .故选A.
10、答案：A提升关键能力考点一1.解析：-2 x 2+x+3 0,即(x+l)(2 x 3)0,1 或 x|.故选c.答案：c2.解析：原不等式化为f(l-x)(2 +x)012+x 0 0,f(x-l)(x +2)0I x +2 H 0,解得一2 x Wl.故选B.答案：B考占一J !例1解析：原不等式变为（or l）（x 1）0,所以（X m（x i）o.所 以 当 时，解得匕1;a当。=1时，解集为。；当0 41时，解 得1%a综上，当0 质1时，不等式的解集为 x l x ；当a=时，不等式的解集为。；当时，不等式的解集为 x ：x 1 .对点训练1 .解析：由题意，知一,一 是方程a r
11、?匕x 1=0的两个根，且。o,即（4x+）（3%一。）0,令（4x+a）（3 x。）=0,解得为:一 巳X2=1.4 3当0时，不等式的解集为（一8,3）U（：,+8）；当。=0时，不等式的解集为（-8,0）U（0,+c o）.当a 0时，不等式的解集为（一8,|）U（-J,+0 0）.考点三例2解析：当。一2=0,即a=2时，一40恒成立；当 a-2 W 0,即 a W2 时，则有a 2 V 0,A =-2(a -2)2-4 x (a -2)x、(-4)0,解得一2 a 2.综上，实数”的取值范围是(-2,2 ,答案：D例 3 解析：要使贝x)一机+5在3 上恒成立，即?(x g)+一6
12、0 在无 1,3 上恒成立.2令 g(x)=M x-J +机一6,工 1,3 .当 心 0时，g(x)在 1,3 上单调递增,所以 g(X)m a x=g(3),即 7加一6 0,所以根1 所以0 7刀 q；当机=0时，-6 0 恒成立；当机 0 时，g(x)在 1,3 上单调递减，所以 g(X)m a x =g(l),即/H 6 0,所以ni6,所以机 0.综上所述，用的取值范围是(一8,).答案：(-8,.例 4解析：设 g(机)=/a 1=(/一外相一,其图象是直线，当相 1,2 时，图象为一条线段，则即(x 2-x-l。，lg(2)0,(2x2-2 x-l 0,1一包 1+3-X 0不
13、恒成立，故。=0不合题意;当时，卜。，即(a 0,(A 0 11-4 a2 0.解 得 耳.答案：C2.解析：令)=/+优+4,A xe(l,2)时，7U)v0 恒成立，.(f(l)o,即(1+m +4 W0,lf(2)0,(4 4-2m+4 0,解得m W 5.答案：C微专题26转化与化归思想在不等式中的应用变式训练22解析：由题意知危)=x2+a r+b=(x+3+b 学因为式x)的值域为 0,+),所以/79=0,即=9，所以兀v)=(x+|).2又因为y(x)c,所以(x+|)c,即|Vc|+Vc.-Vc =m,(T)所 以a2 r 二-+vc =m +6.一得2五=6,所以c、=9.答案：9