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1、第二节 一元二次不等式及其解法,基础梳理,1. 一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.,2. 一元二次不等式的解集如下表,3. 分式不等式与一元二次不等式的关系,设a0; 0等价于（x-a）(x-b)0； (2)8x-116x2.,分析 可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.,解 (1)两边同乘以-3，得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的根是 x1=1- ,x2=1+ , 所以原不等式的解集是x|1- x2 即 - 2, a2,即a4时,f(x)mi
2、n=f(-2)=7-2a.令7-2aa时,则a ,a. 由,得-7a2.即当a-7,2时，在x-2,2时，有f(x)a恒成立.,学后反思 (1)f(x)=ax2+bx+c0(a0)对xR恒成立时， a0只要求满足 0 即可.另外：ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0;ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0;ax2+bx+c0(a0)恒成立 a0, 0.(2) 区别“f(x)0对xR恒成立”与“f(x)0对xm,n恒成立”的不同.f(x)0对xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值f(x)min0,举一反三2. 不等式 对于xR恒成立，则a的取值范围是.,解析： (1)当a=2
3、时，不等式恒成立；(2)由 解得-2a2.综上,-2a2.,答案：(-2,2,题型三 一元二次不等式的实际应用,【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品m t,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.,分析 理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.,解 设税率调低后的税收总收入为y元, .1则y=2 400m(1+2x%)(8-x)%= (x2+
4、42x-400)(0x8). .4依题意,得y2 400m8%78%,即 (x2+42x-400)2400m8%78%. .7整理得x2+42x-880,解得-44x2. .10根据x的实际意义,知0x8,所以00),易知1 s走了 = (m),由题意得 x22t0+ 15,即 ，解得0x23.所以卡车的最大限速为23 km/h.,易错警示,【例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.,错解 ax2-（a+1）x+11,即01或a0时,不等式解集为x| x1.,错解分析 上述错解有如下错误：应首先对二次项x2的系数a的正负进行讨论.讨论时漏掉了a=0和a0，原不等式x- (x-1)1时，
5、式（*） 1;当a=0时，不等式解集为x|x1;当01时，不等式解集为x|1ax1.,考点演练,解析：由题意知a0,可设 而a0, -4a0的解集为（1,2）,若f(x)的最大值小于1，求a的取值范围.,11. (2010厦门质检)若不等式 对满足-2m2的所有m都成立，求实数x的取值范围.,解析: 设 要使f(m)0在-2m2上恒成立，只需 即 或 ,12.(2009南京模拟)已知不等式ax2-3x+64的解集为x|xb.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc4的解集为x|xb,所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b1,由根与系数关系得 1+b= , a=1, 1b= , 解得 b=2.,(2)ax2-(ac+b)x+bc2时,不等式(x-2)(x-c)2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|2xc;当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为,