结构动力计算结构力学学习资料.ppt

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1、1郑州大学土木工程学院 樊友景编制 基本要求：熟练掌握熟练掌握单自由度体系的自 由振动和简谐荷载作用下的受迫 振动、两个自由度体系的自由振 动及主振型的正交性。掌握计算频率的近似法、阻尼对振动 的影响。了解一般荷载作用下结构的动力反映 （杜哈梅积分）、无限自由度体 系的自由振动。结构动力计算特点和内容单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动无限自由度体系自由振动近似法求自振频率2郑州大学土木工程学院 樊友景编制1、结构动力计算的特点和内容动荷载(dynamic load)与静荷载(static load)的区别 动荷载：大小、方向或位置随时间而变

2、，静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，而且变得很快或变得很慢衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。与静力计算的区别。两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。动力计算的内容。研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。（自由振动）荷载的变化规律及其动力反应。（强迫振动）2、动荷载分类。按其变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）15-1 动力计算概述3郑州大学土木

3、工程学院 樊友景编制偏心质量m,偏心距e,匀角速度惯性力:P=m 2e,其竖向分量和水平分量均为简谐荷载.tP(t)tPt简谐荷载（harmonic load）一般周期荷载(periodic load)2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无 法事先确定。（如地震荷载、风荷载）P(t)t随即荷载(random load)PttrP突加荷载(Suddenly applied constant load)P(t)ttrP爆炸荷载4郑州大学土木工程学院 樊友景编制3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)确定运动过程中任意时刻全部

4、质量的位置所需独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系(single degree-of-freedom system)三个自由度体系演示5郑州大学土木工程学院 樊友景编制水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)三个自由度三个自由度复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办

5、法确定体系的自由度6郑州大学土木工程学院 樊友景编制xy(x)2）广义坐标法(generalized coordinate)将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线 为满足位移边界条件已知函数,称为形状函数,a1,a2,an为待定的参数（广义坐标）。烟囱底部的位移条件:于是近似设变形曲线为:n个自由度体系简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0于是近似设变形曲线为:n个自由度体系7郑州大学土木工程学院 樊友景编制几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它多，也可能比它少。2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力

6、计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。一个质点两个自由度两个质点一个自由度8郑州大学土木工程学院 樊友景编制.单自由度体系动单自由度体系动力分析的力分析的重要性重要性具有实际应用价值，或进行初步的估算。多自由度体系动力分析的基础。自由振动(free vibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）mky(t)y(t)1、刚度法(stiffness method)kmymky 从力系平衡建立的自由振动微分方程 2、柔

7、度法(flexibility method)从位移协调角度建立的自由振动微分方程 取振动体系为研究对象，惯性力：=1/k.15-2 单自由度体系的自由振动(DAlembers principle)9郑州大学土木工程学院 樊友景编制二、自由振动微分方程的解)(mk=w)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=yCyycossin)(21ww+=tCtCtyy(t)ty0y0y(t)tv0/v0/TtaaT/)(0akyym=+.02yy=+w.)0(010w=vCvy.10郑州大学土木工程学院 樊友景编制)sin()(aw+=tatysincos)(0

8、0www+=tvtyty001vytgwa-=22020,vyaw+=0cosavw=0sinaya=sincoscossintatawawa+=振幅:Amplitude of vibration初始相位角:initial phase angle三、结构的自振周期(natural period)sin()(aw+=taty)2(wp+=ty)2(sin(awpw+=ta)2sin(paw+=ta周期函数的条件:y(t+T)=y(t)sin()(aw+=taty是周期函数,且周期是:频率:(frequency)每秒钟内的振动次数.圆频率:(circular frequency)2秒内的振动次数.

9、无阻尼自由振动是简谐振动11郑州大学土木工程学院 樊友景编制自振周期计算公式的几种形式：gstD=p2gW=dp2m=dp2km=p2T=wp2圆频率计算公式的几种形式：stgD=Wg=dmk=wm=d1其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视、k、st 三则中哪一个最便于计算来选用。一些重要性质：（1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关

10、。干扰力只影响振幅 a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。W是质是质点的重力点的重力12郑州大学土木工程学院 樊友景编制例例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求P=13l/165l/32

11、P=1l/2据此可得：1:2:3=1:1.512:2 结构约束越强结构约束越强,其刚度越大其刚度越大,刚度越大刚度越大,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。13郑州大学土木工程学院 樊友景编制l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB例例2:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h314郑州大学土木工程学院 樊友景编制11l/32l/3m例例3例例4l/2lm115郑州大学土木工程学院 樊友景编制h1例例5解法1：求 k=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=EIBAC1解法2：求 16郑州大学土木工程

12、学院 樊友景编制例例6lEImk1k11k11k解：求 k对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：17郑州大学土木工程学院 樊友景编制 强迫振动(forced vibration)结构在荷载作用下的振动。ky(t)ymkymP(t)P(t)P(t)m弹性力ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:1、简谐荷载(harmonic load)：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=tytmFystqwqqwqws

13、in)1(1sin)1(22222-=-=单自由度体系强迫振动的微分方程特解：.mtFyyqwsin2=+.15-3 单自由度体系的强迫振动演示18郑州大学土木工程学院 樊友景编制最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。特解可写为：通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动19郑州大学土木工程学院 樊友景编制平稳阶段：最大动位移（振幅）为：动力系数(magnification factor)1023123wqb 重要的特性：当/0时

14、,1，荷载变 化得很慢，可当作静荷载处理。当0/1，并且随 /的增大而增大。当/1时,。即当荷 载频率接近于自振频率时，振幅 会无限增大。称为“共振”。通常 把0.75/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。当动荷载与惯当动荷载与惯性力共线时性力共线时,还有还有20郑州大学土木工程学院 樊友景编制例：已知m=300kg，EI=90105N.m2,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：1)求2)求3)求ydmax Mdmax21郑州大学土木工程学院 樊友景编制 例 15-3 有一简支梁

15、（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率 2）求动力系数175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.35可见，对于本例，采用可见，对于本例，采用较小的截面的梁既可避较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好免共振，又能获得较好的经济效益。的经济效益。52.3/57.4=0.91325149

16、.2 必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单必须特别注意，这种处理方法（比例算法）只适用于单自由度体系当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时的自由度体系当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时的情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自情况。对于动荷载不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。由度体系，均不能采用这一方法。22郑州大学土木工程学院 樊友景编制2、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应设体系在t=0时静止，然后 有瞬时冲量S作用。P(t)tP瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振

17、动。由动量定理：t tttsincos)(00www+=tvtyty23郑州大学土木工程学院 樊友景编制2、任意荷载P(t)的动力反应P(t)t时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:(Duhamel 积分)（15-29）初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:t24郑州大学土木工程学院 樊友景编制3、几种荷载的动力反应1）突加荷载 P(t)tPyst=P0=P0/m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst25郑州大学土木工程学院 樊友景编制2）短时荷载 P(t)tPu阶段(0tu)：无荷

18、载，体系以t=u时刻的位移 和速度为初始条件作自由振动。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel积分作26郑州大学土木工程学院 樊友景编制另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当0 u28郑州大学土木工程学院 樊友景编制3）线性渐增荷载 P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求:对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大的关系。其动力系数的反应谱如下：29郑州大学土木工程学院 樊友景编制01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0trP0动力系数反应谱动力系数反应

19、谱(spectrum of magnification factor)动力系数介乎1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。30郑州大学土木工程学院 樊友景编制ty 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线 因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。阻尼(damping)对振动的影响演示31郑州大学土木工程学院 樊友景编制忽略阻尼影响时所得结果忽略阻尼影响时所得结果 能不能能不能 反映实际结构的振动规律。反映实际结

20、构的振动规律。大体上大体上忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内 摩擦；周围介质的阻力。摩擦；周围介质的阻力。阻尼

21、力的确定：总与质点速度反向阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：大小与质点速度有如下关系：与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为因为 R(t)=Cy).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。32郑州大学土木工程学院 樊友景编制考虑阻尼的振动模型考虑阻尼的振动模型yk

22、ykmP(t)P(t)y动平衡方程：1、有阻尼的自由振动(阻尼比damping ratio）)1(2-=xxwl0222=+wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：(characteristicequation)1)1（低阻尼）情况.c33郑州大学土木工程学院 樊友景编制ae-ttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线阻尼对自振频率的影响.当0.2,则0.96r/1在工程结构问题中0.011 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。2、有阻尼的强迫振动单独由v0引起的自由振动：（低阻尼体系，1）瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振

23、动：将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量总反应P(t)tt1=cr37郑州大学土木工程学院 樊友景编制（1）突加荷载P0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。38郑州大学土木工程学院 樊友景编制（2）简谐荷载P(t)=Fsint设特解为：y=Asint+Bcost 代入（17-34）得：+Asint+Bcost齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间

24、而变.结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asint+Bcost=yPsin(t)振幅:yp，最大静力位移yst=F/k=F/m2.39郑州大学土木工程学院 樊友景编制与频率比/和阻尼比有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点讨论：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。当接近时，增加的x xb b21=共振时共振时 很快，对的数值影响 也很大。在0.75

25、/1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对的影响 较小，可按无阻尼计算。40郑州大学土木工程学院 樊友景编制max并不发生在共振/=1时，而发生在，由y=yPsin(t)可见，只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsint一个 相位角，但因很小，可近似地认为：当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡，FI 与y同向，y与P反向；位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：.41郑州大学土木工程学院 樊友景编制tqsinx21mFw2tFqsin-=k mwx22-=ty

26、mPqwqxsin2)-=tymFPI90）qqsin(2-=tkySPq),90sin(-=o当=时,90由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，yst 有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。k=m2=m2.tycycRPqq90cos(-=-=o.=P(t)42郑州大学土木工程学院 樊友景编制 强迫振动时的能量转换 振动荷载Fsint在振动一个周期所输入的能量.在时间段dt内在一个周期内.在时间段dt内在一个周期内.粘滞阻尼力cy 在振动一个周期所消耗的能量.当体系有

27、阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动不衰减,就必须经常补充以能量.当稳态振动时,UR=UP43郑州大学土木工程学院 樊友景编制弹性动内力幅值的计算 一般方法:由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角。比例算法:无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅yd的外力P为:这意味着，在位移达到幅值时，可用F 代替惯性力和荷载的共同作用（有无阻尼均如此）。F产生的动内力和动位移是F

28、产生的静内力和静位移倍。注意：位移达幅值时，速度为 零，故阻尼力为零，计算 时不必考虑阻尼力。44郑州大学土木工程学院 樊友景编制例15-4 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6103kN/m3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时 (1)自振频率；(2)机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。(3)如考虑阻尼，阻尼比=0.5，求振幅及地基最大压力。WP0sint解:(1)让振动质量向下单位位移需施加的力为：k=czA=0.6103 20 =12103kN/m45郑州大学土木工

29、程学院 樊友景编制解:(2)求荷载频率求动力系数竖向振动振幅地基最大压力解(3)：求动力系数竖向振动振幅地基最大压力46郑州大学土木工程学院 樊友景编制单自由度体系简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼)运动方程：m tFyyqwsin2=+.荷载幅值引起的静位移动力系数位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。惯性力与位移同方向同时达到幅值。动内力计算：当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系 数与位移动力系数相同。动内力幅值为：Md=Mst Mst是动荷载幅值引起的静内力。当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力 系数与位移动力系数不相同。可用以下三种方

30、法计算。稳态反应：振幅A：47郑州大学土木工程学院 樊友景编制将荷载化成作用在质点且与质点运动方向一致的荷载m(b)m()ty(c)=+(b)中质点无位移，无 惯性力，按静力法 计算反力。(c)所示是力 作用于 质点上的情况。内力及其它处位移为(b)(c)之和mlEI()ty(a)A内力动力系数与位移内力动力系数与位移动力系数不相同动力系数不相同48郑州大学土木工程学院 樊友景编制11l利用幅值方程求解位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。惯性力与位移同方向同时达到幅值。线弹性体系，位移达幅值时内力也达幅值稳态反应：振幅A：mlEIA振幅方程为：49郑州大学土木工程学院 樊友景编制直接建立运动方程求解。mlEI()ty宜列柔度方程：或：mEI()ty11l动内力计算50郑州大学土木工程学院 樊友景编制22qa82qa求质点稳态振幅及梁跨中动弯矩。l/2l/2al/2l/2aEIC51郑州大学土木工程学院 樊友景编制q振幅方程为：22qa4l求质点稳态振幅及梁跨中动弯矩。l/2l/2aEIC