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1、第 1 页（共 29 页）2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）复数zi（2+i）的共轭复数是（）A 1+2iB12iC 1+2iD 12i2（5 分）已知集合A x|ylg（2x），B x|x23x0，则 A B（）A x|0 x2B x|0 x2C x|2x3D x|2x33（5 分）设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和若 S525，a3+a48，则 an 的公差为（）A 2B1C1D24（5 分）已知某产品的销售额y 与广告费用 x 之间的关系如表：x（单位：万元）0
2、1234y（单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为 6 万元时的销售额为（）A 42 万元B45 万元C48 万元D51 万元5（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 64B68C80D1096（5 分）已知直线是函数 f（x）与的图象的一条对称轴，为了得到函数 yf（x）的图象，可把函数ysin2x 的图象（）A 向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度第 2 页（共 29 页）D 向右平行移动个单位长度7（5 分）在 ABC 中，ABC 6
3、0，BC2AB2，E 为 AC 的中点，则（）A 2BlC0Dl8（5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 AB2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BCAB，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交AB 于点 E则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点若在线段AB 上随机取一点F，则使得 BEAFAE 的概率约为（）（参考数据：2.236）A 0.236B0.382C0.472D0.6189（5 分）已知偶函数f（x
4、）的图象经过点（1，2），且当 0ab 时，不等式0 恒成立，则使得f（xl）2 成立的 x 的取值范困是（）A （0，2）B（一 2，0）C（，0）（2，+）D（，一2）（0，+）10（5 分）已知直线ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率为（）A BC2D11（5 分）已知A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC 60，AC2，P 为球 O的球面上的动点，记三棱锥p 一 ABC 的体积为V1，三棱锥 O 一 ABC 的体积为V2，若的最大值为3，则球 O 的表面积为（）第 3 页（共 2
5、9 页）A BCD612（5 分）若关于x 的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A 6B7C8D9二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13（5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数zx+y 的最大值为14（5 分）若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为15（5 分）已知点E 在 y 轴上，点F 是抛物线y22px（p 0）的焦点，直线EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，则 p?16（5 分）在如图所示的三角形数阵中，用ai，j（ij）表示第i 行第 j 个数（i，j N*），已知 ai，11（i N*），且当i 3 时，
6、每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即ai，jai1，j1+ai1，j（2j i1），若 am，2100，则正整数m 的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12 分）如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与 BD 为其对角线，已知BC 1，且 cosBCD（1）若 AC 平分 BCD，且 AB2，求 AC 的长；（2）若 CBD 45，求 CD 的长第 4 页（共 29 页）18（12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的菱形，BAD 45，PD 2，M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点F 在线段 PB 上，且 PF
7、3FB（1）求证：EF 平面 ABCD；（2）若平面 PDC 底面 ABCD，且 PD DC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值19（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M 是椭圆上异于A，B 的任意一点，直线MF交椭圆 C 于另一点N，直线 MB 交直线 x4 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上20（12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：第 5 页（共 29 页）（1）将去年的消
8、费金额超过3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在（0，1600 内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200 内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200，4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案
9、：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800 元方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300 元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3 次摸奖游戏（每
10、次摸奖的结果相互独立）以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由21（12 分）已知函数，其定义域为（0，+）（其中常数e2.71828?，是自然对数的底数）第 6 页（共 29 页）（1）求函数 f（x）的递增区间；（2）若函数 f（x）为定义域上的增函数，且f（x1）+f（x2）4e，证明：x1+x22请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
11、C 的极坐标方程为 2cos ，直线 l与曲线 C 交于不同的两点A，B（1）求曲线 C 的参数方程；（2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求的取值范围选修 4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|+|x 2|，g（x）x2+mx+1（1）当 m4 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）在2，上恒成立，求实数m 的取值范围第 7 页（共 29 页）2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）复数zi（2+i）的共轭复数是（）
12、A 1+2iB12iC 1+2iD 12i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数 i（2+i）2i 1 的共轭复数为12i故选：D【点评】本题考查共轭复数的定义、复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5 分）已知集合A x|ylg（2x），B x|x23x0，则 A B（）A x|0 x2B x|0 x2C x|2x3D x|2x3【分析】利用对数式的真数大于0 化简集合A，求解一元二次化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案【解答】解：Ax|y lg（2x）x|x2，B x|x23x0 x|0 x3，AB x|x 2 x|0 x3 x|0
13、x2 故选：B【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题3（5 分）设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和若 S525，a3+a48，则 an 的公差为（）A 2B1C1D2【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得 a1+a2+a3+a4+a55a325，解可得a35，又由 a3+a48，可得 a4 3，由等差数列的通项公式分析可得答案【解答】解：根据题意，等差数列 an 中，若 S525，即 a1+a2+a3+a4+a55a325，则 a35，又由 a3+a48，则 a4 3，则等差数列 an 的公差 da4a3352；故选：A【点评】本题考查等差数列的性质以及前
14、n 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，第 8 页（共 29 页）属于基础题4（5 分）已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如表：x（单位：万元）01234y（单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6 万元时的销售额为（）A 42 万元B45 万元C48 万元D51 万元【分析】由已知表格中数据求得，再由回归直线方程过样本中心点求得a，得到回归方程，取x 6 即可求得答案【解答】解：，a226.529则，取 x6，得故选：C【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题5（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是由一
15、个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 64B68C80D109【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，画出直观图，数形结合可得答案【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示，底面正方形的边长为4，高为 5 棱锥的高为3，第 9 页（共 29 页）该几何体的体积为：64，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥、棱柱的体积，简单几何体的三视图，是基本知识的考查6（5 分）已知直线是函数 f（x）与的图象的一条对称轴，为了得到函数yf（x）的图象，可把函数ysin2x 的图象（）A 向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C
16、向左平行移动个单位长度D 向右平行移动个单位长度【分析】由三角函数图象的性质可得：yf（x）sin（2x+）sin2（x+），由三角函数图象的平移可得：为了得到函数y f（x）的图象，可把函数ysin2x 的图象向左平移个单位长度，得解【解答】解：令 2x+k，由 x是此方程的一个解，则 k+，又|，所以 ，即 yf（x）sin（2x+）sin2（x+），所以为了得到函数yf（x）的图象，可把函数 ysin2x 的图象向左平移个单位长度，第 10 页（共 29 页）故选：C【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的平移，属中档题7（5 分）在 ABC 中，ABC 60，BC2AB2，
17、E 为 AC 的中点，则（）A 2BlC0Dl【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式即可求出【解答】解：E 为 AC 的中点，BE（+），?（+）?|?|?cos60 12 1，故选：B【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于基础题8（5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BCAB，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点 D；（3）以 A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点 E则点 E
18、 即为线段AB 的黄金分割点若在线段AB 上随机取一点F，则使得BEAFAE 的概率约为（）（参考数据：2.236）A 0.236B0.382C0.472D0.618【分析】由勾股定理可得：AC，由图易得：0.764 AF 1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得BEAF AE 的概率约为0.236，得解【解答】解：由勾股定理可得：AC，由图可知：BCCD 1，第 11 页（共 29 页）ADAE1.236，BE 21.236 0.764，则：0.764 AF1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得 BEAF AE 的概率约为 0.236，故选：A【点评】本题考查了勾股定理、几何概型中
19、的线段型，属简单题9（5 分）已知偶函数f（x）的图象经过点（1，2），且当 0ab 时，不等式0 恒成立，则使得f（xl）2 成立的 x 的取值范困是（）A （0，2）B（一 2，0）C（，0）（2，+）D（，一2）（0，+）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得点（1，2）也在函数f（x）的图象上，结合函数单调性的定义分析可得f（x）在0，+）上为减函数，据此原不等式可以等价转化为|x1|1，解可得x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，且经过点（1，2），则点（1，2）也在函数f（x）的图象上，当 0a b 时，不等式0 恒成立，则函数f（x）在 0，+）上为减函
20、数，f（xl）2?f（|x1|）f（1）?|x 1|1，解可得：x2 或 x0，即 x 的取值范围为（，0）（2，+）；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数单调性的定义以及判断方法，属于基础题10（5 分）已知直线ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两点，第 12 页（共 29 页）以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 ABF 的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）A BC2D【分析】根据以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB 为直径的圆的方程为 x2+y2c2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可【解答】解
21、：以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，以 AB 为直径的圆的方程为x2+y2c2，由对称性知 ABF 的面积 S2SOBF2hch4a2，即 h，即 B 点的纵坐标为y，则由 x2+（）2c2，得 x2c2（）2c2，B 在双曲线上，则 1，即1，即（1+）1，即?1，即1，即1，得 16a4（c2a2）2，即 4a2c2a2，得 5a2c2，得 ca，则离心率e，方 法2：设 双 曲 线 的 左 焦 点 为F ，由 图 象 的 对 称 性 得，圆O经 过 点 F ，第 13 页（共 29 页）且|BF|AF|，设|BF|AF|m，|BF|n，BFAFSABFmn 4a2，m2+n2
22、4c2，则 mn 8a2，|BF|BF|2a，mn 2a则 m2 2mn+n24a2，4c2 16a24a2，即 c25a2，则 ca，即离心率 e，故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B 的坐标，代入双曲线方程第 14 页（共 29 页）是解决本题的关键考查学生的运算能力，运算量较大11（5 分）已知A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC 60，AC2，P 为球 O的球面上的动点，记三棱锥p 一 ABC 的体积为V1，三棱锥 O 一 ABC 的体积为V2，若的最大值为3，则球 O 的表面积为（）A BCD6【分析】根据题意作出图形关键部分，利用同底三棱锥体积
23、比等于高的比可得R，r 之间的关系，由正弦定理可得r，问题得解【解答】解：如图，设 ABC 的外接球球心为O，其半径为r，球 O 的半径为R，由题意可知，3，可得 R，2r，r，当球心 O 在三棱锥 PABC 外时，结果不变故选：B第 15 页（共 29 页）【点评】此题考查了球内接几何体，同底三棱锥体积比等于高的比，正弦定理等，难度适中12（5 分）若关于x 的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A 6B7C8D9【分析】原不等式转化为，令f（x），利用导数和函数的单调性即可求出【解答】解：不等式，x9，2ln3，x N*，0，令 f（x），则 f（x），当 x（0，e）时，f（x）0，函
24、数 f（x）单调递增，当 x（e，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，2e3，f（2），f（3），第 16 页（共 29 页）f（2）f（3）只需 f（3），即 6 时，即实数的最小值为6，故选：A【点评】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想，属于中档题二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13（5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数zx+y 的最大值为3【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Zx+y 的最大值【解答】解：x，y 满足约束条件，表示的区域是如下图示的三角形，3 个
25、顶点是A（1，2），B（2，0），C（1，0），目标函数zx+y 在（1，2）取最大值 3故答案为：3【点评】本题考查线性规划的简单应用，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值14（5 分）若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为15【分析】由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x 的指数等于1 求得 r 值，则答案可第 17 页（共 29 页）求【解答】解：由已知可得，2n32，即 n5，其二项展开式的通项取，得 r 4展开式中x 的系数为故答案为：15【点评】本题考查
26、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题15（5 分）已知点E 在 y 轴上，点F 是抛物线y22px（p 0）的焦点，直线EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，则 p8?【分析】画出图形，利用抛物线的性质以及抛物线的定义，转化列出方程，求解即可【解答】解：点 E 在 y 轴上，点F 是抛物线y22px（p0）的焦点，直线EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，F（，0），则 M（，），E（0，P），cos EFO，作 NS 垂直 y 轴与 S，NS 12（12+）cos EFO，解
27、得 p8，故答案为：8第 18 页（共 29 页）【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用16（5 分）在如图所示的三角形数阵中，用ai，j（ij）表示第 i 行第 j 个数（i，j N*），已知 ai，11（i N*），且当i 3 时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即ai，jai1，j1+ai1，j（2j i1），若 am，2100，则正整数m 的最小值为103【分析】根据条件先求出数列 an，2 的通项，利用累加法进行求解即可【解答】解：an，11，an1，11，（n2），下面求数列 an，2 的通项，由题意知 an，2an1，1+an1
28、，2，（n3），第 19 页（共 29 页）an，2an1，2 an1，11，（n3），an，2（an，2an1，2）+（an1，2an2，2）+（a3，2a2，2）+a2，2+n，数列 an，2是递增数列，且 a102，2100a103，2，m 的最小值为 103，故答案为：103【点评】本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列 an，2 的通项是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12 分）如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与 BD 为其对角线，已知 BC1，且 cosBCD（1）若 AC 平分 BCD，且 AB2，求
29、 AC 的长；（2）若CBD45，求 CD 的长【分析】（1）由已知利用二倍角公式可求cos ACB，由余弦定理可得：AC2AC30，即可解得AC（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin BCD，结合 CBD 45，利用两角和的正弦函数公式可求sin CBD 的值，在 BCD 中，由正弦定理可求CD 的值【解答】（本题满分为12 分）解：（1）AC 平分 BCD，可得：BCD 2ACB2ACD，cos BCD 2cos2ACB1，cos ACB0，cos ACB，3 分第 20 页（共 29 页）在 ABC 中，BC 1，AB2，cosACB，由余弦定理AB2BC2+AC2 2BC?AC?c
30、os ACB，可得：AC2AC30，解得：AC，（负值舍去），AC 的值为6 分（2）cos BCD，sinBCD，7 分又 CBD 45，sinCDB sin（180 BCD 45）sin（BCD+45）（sinBCD+cosBCD），9 分在 BCD中，由正弦定理，可得：CD 5，即 CD 的长为 5 12 分【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题18（12 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的菱形，BAD 45，PD 2，M 为 PD
31、 的中点，E 为 AM 的中点，点F 在线段 PB 上，且 PF 3FB（1）求证：EF 平面 ABCD；（2）若平面 PDC 底面 ABCD，且 PD DC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【分析】（1）设 DM 中点为 N，连接 EN，NF，BD，则 NEAD，可得 NE 平面 ABCD，第 21 页（共 29 页）再由，得 NF DB，则 NF平面ABCD，由面面平行的判定可得平面NEF平面 ABCD 从而得到EF平面 ABCD；（2）由平面 PDC 底面 ABCD，且 PD DC，可得 PD 底面 ABCD，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，求出平面PB
32、C 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：设DM 中点为 N，连接 EN，NF，BD，则 NE AD，NE?平面 ABCD，AD?平面 ABCD，NE平面 ABCD，又，NFDB，NF?平面 ABCD，BD?平面 ABCD，NF平面 ABCD，又 NENFN，平面 NEF 平面 ABCD 则 EF 平面 ABCD；（2）解：平面PDC 底面 ABCD，且 PD DC，PD 底面 ABCD，如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，则 D（0，0，0），P（0，0，2），A（1，0，0），C（，0）
33、，（，2），设平面 PBC 的一个法向量为，由，取，得又平面 PAD 的一个法向量为设平面 PAD 与平面 PBC 所成的二面角为，则 cos 即平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为第 22 页（共 29 页）【点评】本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题19（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点（1，）在椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M 是椭圆上异于A，B 的任意一点，直线MF交椭圆
34、 C 于另一点N，直线 MB 交直线 x4 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上【分析】（1）不妨设椭圆的方程为+1，ab 0，由题意可得，解得即可，（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），直线 MN 的方程为xmy+1，由方程组，第 23 页（共 29 页）消去 x 整理得（3m2+4）y2+6my 9 0，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出，且向量和有公共点A，即可证明【解答】解：（1）不妨设椭圆的方程为+1，ab0，由题意可得，解得 a24，b23，故椭圆的方程+1，证明：（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），直线 MN 的方程为 xmy+1，由方程
35、组，消去 x 整理得（3m2+4）y2+6my90 36m2+36（3m2+4）0y1+y2，y1y2，直线 BM 的方程可表示为 y（x 2），将此方程与直线 x4 成立，可求得点 Q 的坐标为（4，），（x2+2，y2），（6，），6y2（x2+2）0，第 24 页（共 29 页）向量和有公共点A，A，N，Q 三点在同一条直线上【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识20（12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）将去年的消费金额超过3200 元的消费者称为“健
36、身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在（0，1600 内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200 内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200，4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡
37、会员，金卡会员中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800 元方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300 元奖励金；其他情第 25 页（共 29 页）况不给予奖励规定每位普通会员均可参加1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3 次摸奖游戏（每次摸奖的结
38、果相互独立）以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由【分析】（1）根据题意计算随机抽取的2 人中去年消费金额超过4000 元的概率值；（2）计算方案1 奖励的总金额1和方案 2 奖励的总金额2，比较大小即可【解答】解：（1）随机抽取的2 人中，去年的消费金额超过4000 元的消费者有X 人，则 X 的可能取值为0，1，2；P（X 1）P（X1）+P（X2）+；（或 P（X1）1P（X0）1），即去年的消费金额超过4000 元的概率为；（2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员
39、，金卡会员的人数分别为25 7，2515，253，按照方案 1 奖励的总金额为 17 500+15600+380014900（元）；方案 2：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，200，300；由摸到红球的概率为P，P（0）?+?，P（200）?，P（300）?，的分布列为：0200300P数学期望为 E 0+200+30076.8（元），按照方案 2 奖励的总金额为第 26 页（共 29 页）2（28+2 60+3 12）76.8 14131.2（元），由 12知，方案2 投资较少【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题21（12 分）已知
40、函数，其定义域为（0，+）（其中常数e2.71828?，是自然对数的底数）（1）求函数 f（x）的递增区间；（2）若函数 f（x）为定义域上的增函数，且f（x1）+f（x2）4e，证明：x1+x22【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证f（x1）+f（2x1）4e，令 h（x）f（x）+f（2x），0 x 1，即证 0，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）易知 f（x），若 a0，由 f（x）0，解得：x1，故函数 f（x）在（1，+）递增，若 0a1，令 f（x）0，解得：0 x，或 x1，令 f（x）0，解得：x1，故 f（x）在
41、（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增，若 a1，则 f（x）0，故函数 f（x）在（0，+）递增，若 a1，令 f（x）0，解得：0 x1 或 x，令 f（x）0，解得：1 x，故 f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+）递增，综上，若 a0，f（x）在（1，+）递增，若 0a 1，f（x）在（0，），（1，+）递增，若 a1，f（x）在（0，+）递增，若 a1，f（x）在（0，1），（，+）递增；（2）函数 f（x）在（0，+）递增，第 27 页（共 29 页）a1，即 f（x）ex（x2），注意到 f（1）2e，故 f（x1）+f（x2）4e2f（1），即证 4ef（
42、x1）f（2x1），即证 f（x1）+f（2x1）4e，令 h（x）f（x）+f（2x），0 x1，只需证明 h（x）h（1），故 h（x）f（x）f（2x）e2x（x1）2，下面证明 h（x）0，即证0，由熟知的不等式 ex1+x 可知 e2x2（ex1）2（1+x1）2 x2，当 0 x 1 时，即1，故x+1，易知当 0 x1 时，x22x10，故 x33x2+x+1（x1）（x2 2x1）0，故0，故 h（x）0，即 h（x）递增，即h（x）h（1），从而 x1+x22【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在第
43、 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos ，直线 l与曲线 C 交于不同的两点A，B（1）求曲线 C 的参数方程；第 28 页（共 29 页）（2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求的取值范围【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系H和三角函
44、数关系式的恒等变变换的应用求出结果【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 2cos ，转换为直角坐标方程为：x2+y22x0转换为参数方程为：（为参数），（2）把直线 l 的参数方程为（t 为参数），代入 x2+y22x0，得到：t26cos t+80由已知得：36cos2 320，故：，由于 cos2 1，所以：设方程的两实数根为t1和 t2，由参数的几何意义可得：|PA|+|PB|t1+t2|6|cos|，|PA|PB|t1?t2|8所以，由于，故：，即：【点评】1 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二
45、次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+1|+|x 2|，g（x）x2+mx+1（1）当 m4 时，求不等式f（x）g（x）的解集；第 29 页（共 29 页）（2）若不等式f（x）g（x）在 2，上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）求出 f（x）的分段函数的形式，代入m 的值，求出g（x）的解析式，通过讨论 x 的范围，解不等式求出不等式的解集即可；（2）问题等价于g（x）3 恒成立，即g（x）min3，求出 m 的范围即可【解答】解：（1）f（x）|x+1|+|x 2|，f（x），当 m 4 时，g
46、（x）x24x+1，当 x1 时，原不等式等价于x2+2x0，解得：2x0，故 2x 1；当 1x2 时，原不等式等价于x2+4x+2 0，解得：2x 2+，故 1x 2+；x2 时，g（x）g（2）11，而 f（x）f（2）3，故不等式 f（x）g（x）的解集是空集；综上，不等式f（x）g（x）的解集是（2，2+）；（2）当 2x 1 时，f（x）g（x）恒成立等价于 mxx22x，又 x0，故 mx2，故 m4；当 1x时，f（x），g（x）恒成立等价于 g（x）3 恒成立，即 g（x）min3，只需即可，即，综上，m（，）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，转化思想以及分类讨论思想，是一道常规题