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1、D.-1 -/)D.(0,1)D.-1 62022年广东省深圳市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）已知复数2=（1+f）i （i为虚数单位），则其共轮复数2=（）A.1+i B.1 -j C.-1+/2.（5 分）设集合 M=x|y=五,N=yy=-?,则 M C N=（A.（-8,0 B.1,+8）C.0,1 3.（5分）（l-2 x）（x+2）3 的各项系数和为（）A.-2 7 B.2 7 C.1 64.（5 分）已知s in（a+$=,，JJl!|co s（a （）4A 3A.一 B.
2、-p C.一5 5 55.（5分）为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：6 0,7 0）,7 0,80）,80,9 0）,9 0,1 0 0）,1 0 0,1 1 0）,1 1 0,1 2 0）,1 2 0,1 3 0）,1 3 0,1 4 0）,1 4 0,1 5 0 ,并绘制成如图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中成绩/分A.9 9 B.1 0 0 C.1 0 1 D.1 0 216.（5 分）设实数 0,则“2 2”是“，o ga（a+*）0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.（5分）在正方体
3、A B C D-A i B i G O i 中，O 为正方形A 8 C D 的中心，P 为4 4 i的中点，则直线P O与A D 所成的角为（）第1页 共1 8页8.（5分）阿波罗尼斯（公元前2 6 2年 公 元 前1 9 0年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满 足 解=入（入0,且入W 1）的点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点M满足|M P|=2|M Q|,记M的轨迹为C,若与C无公共点的直线/上存在点R,使得|M R|的最小值为6,且
4、最大值为1 0,则C的长度为（）A.2 1 T B.4T T C.8TI D.1 6 n二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。（多选）9.（5分）已知点。是边长为1的 正 方 形 的 中 心，则下列结论正确的为（）1 A.4 0 =（AB +4 D）B.AB B O 0C.AO=B O D.2AB-AD =y/5（多选）1 0.（5分）已知d为等差数列 如 的公差，S”为其前项和，若%为递减数歹U,则下列结论正确的为（）A.数列 为递减数列B.数列 沿 是等差数列C.S
5、3,S 6,S 9依次成等差数列D.若 S 1 5 O,S 1 6 S 9（多选）1 1.（5分）在平面直角坐标系x O y中，点A （1,0）,动点M（%o，和）（xoe O）,记M到y轴的距离为d.将满足H M|=d+l的M的轨迹记为r,且直线/：kx-y+k=0与 交于相异的两点尸（xb y i）,Q（X2,”），则下列结论正确的为（）A.曲线的方程为 2=2X B.直线/过定点（-1,0）C.X 1%2=1 D.左 可能是整数（多选）1 2.（5分）在 A BC中，A B V B C,且4 c=2,8 c=1,若将A BC沿A C边上的中线B。折起，使 得 平 面 平 面B CD点E在
6、由此得到的四面体A BC。的棱A C上运动，则下列结论正确的为（）7 7A.Z.AD C=J第 2 页 共 1 8 页B.四面体ABC。的体积为工8C.存在点E 使得8OE的面积为:4137rD.四面体ABCD的外接球表面积为可三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5 分）已知函数/（X）的图象关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的基函数可以为/（x）=.exx,x lx2 y215.（5 分）在平面直角坐标系xOy中，尸为双曲线C：=1（b a 0）的一个焦点，以F 为圆心的圆与C 的两条渐近线交于O,A,B 三点，若四边形O A F B的面积为|。月
7、2,则 C 的离心率为.16.（5 分）已知存在实数x,ye（0,1）,使得不等式工+一 2/力+t成立，则实数fX 1-x的 取 值 范 围 为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10分）设ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cosC=生管史.（1）求角8 的大小；（2）若边AB上的高为-，求 cosC.418.（12分）已知数列 斯 满足ai=l,=2,且即+2=3斯+1-2即（6N*）.（1）证明：数列 斯+1-念 是等比数列：（2）记 斯 的前项和为S,”若V N*,均有5”6 0)上，过点B(2,-1)的直线/与C
8、交于M,N两点(异于点A),记直线AM,A N的斜率分别为由,ki,当心=1时，H M=竽.(1)求C的方程；(2)证明：幻+依为定值.2 2.(1 2分)已知定义在R上的函数/(x)=ea x1-x(aeR).(1)求/(x)的单调递增区间；(2)对于Vx e(0,+8),若不等式f(x)(1 -/n r)-o r恒成立，求a的取值范围.第4页 共1 8页2022年广东省深圳市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)已知复数2=(1+/)i(i 为虚数单位)，则其共轨复数5=
9、()A.l+i B.1 -z C.-l+z D.-1 -/【解答】解：z=(1+/)/=-l+i,.,.z=1 -i.故选：D.2.(5 分)设集合 M=x|y=代,N=y|y=l-,则 M A N=()A.(-8,0 B.1,+8)C.0,1 D.(0,1)【解答】解：集合M=x|y=xk20,N=y|y=l-/=y|yWl,.MnN=3(X W l.故选：c3.(5 分)(1-2x)(x+2)3的各项系数和为()A.-27 B.27 C.16 D.-16【解答】解：令 x=l,则(1 -2 0 (x+2)3的各项系数和为(1-2X 1)(1+2)3=-27,故选：A.4.(5 分)已知s讥
10、(戊+卞=一亮，则c o s(a-*=()4 4 3 3A.-B.一U C.-D.5 5 5 5 jr 7 T T C T C【解答】解：因为 cos(a-5)=cos(-a)=cos-(a+)J=sin(a+亨)=故选：D.5.(5 分)为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150,并绘制成如图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数汇(k,K 1),则整数的值为()第5页 共1 8页成绩/分6.A.99 B.100
11、C.101 D.102【解答】解：考试成绩在 90,100）内的频率为：P=-（0.004+0.008+0.015+0.025+0.015+0.006+0.004+0.002）X 10=0.21,该次考试成绩的中位数为加，则 0.04+0.08+0.15+0.21+（.m-100）X0.025=0.5,解 得%=100.86（匕 fc+1）,所以 100.故选：B.（5 分）设实数。0,则“2。2”是“，oga（a+0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：.实数。0,贝 I 由“2。2，可得”1,可得1oga（a+0,故充分性成立；
12、若（oga（a+0,则 a l或 0aV 会 故必要性不成立；故选：4.（5 分）在正方体ABC。-AiBiCiOi中，。为正方形ABC。的中心，P 为 A 4 的中点，则直线PO 与 A G 所成的角为（）yrnA.B.-C2 3【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示，71D.-6第6页 共1 8页设正方体A 8C D-48iC iC i的棱长为2,则 P(2,0,1),O(1,1,0),A(2,0,0),D(0,0,2),：.PO=(-1,1,-1),值=(-2,0,2),J.PO AD=0,B P POLAD,n：.直线PO与 AD 所成的角为故 选:A.8.(5 分)阿波罗尼斯(公元
13、前262年 公 元 前 190年)，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：己知平面上两点4,B,则所有满足隅=入(入0,且入#1)的点尸的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点M 满足|MP|=2M Q,记 M 的轨迹为C,若与C 无公共点的直线I 上存在点R,使得网国的最小值为6,且最大值为1 0,则 C 的长度为()A.2n B.4JT C.8T T D.167r【解答】解：根据阿波罗尼斯圆的定义可知，M 的轨迹为C 为圆，设圆心到直线/的距离为d,圆的半径为r,因为直线/与圆无公
14、共点，所以 IA/RI”而=4-r,MRm ax=d+r,故解得 r=2,所以圆的周长为2irr=4n,故选：B.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有第 7 页 共 18页多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9.（5分）已知点。是边长为1的正方形A B C。的中心，则下列结论正确的为（）A.AO+AD）B.AB -B O 0C.AO=B O D.2AB-AD =5【解答】解：选项A,因为。为8。的中点，所以4。=*（A B +A D）,即A正确；选项 B,AB B O=AB B Ocos35 /4 x
15、1 -0 +1 =V 5,即。正确.故选：AD.（多选）1 0.（5分）已知d为等差数列 斯 的公差，品为其前项和，若“”为递减数列，则下列结论正确的为（）A.数列 S Q为递减数列B.数列 都 是等差数列C.S 3,S 6,S 9依次成等差数列D.若 S 1 5 0，S 1 6 S 9【解答】解：若a i 0,J 0,5 1 6=8 （ai+ai6）=8 （as+ag）0，a+a9 o）（x o O）,例到y轴的距离为4且满足|A M=+1，所 以 J（x（）-1尸+%2 =l+x（）,两边平方并整理得y o2=4 x o，所以曲线的方程为y 2=4 x,故A错误；将直线 I：kx-y+k=
16、O 变形为 y=k（x+1）,令x+l=0,y=0,可得=-1,y=0，所以直线/过定点（-1,0）,故8正确；联立?2=蓝+消去y整理得必/+（2庐-4）X+F=0,由韦达定理可知X 1 X 2=1,故C正确：直 线/过（-1,0）,当直线/与抛物线相切时，=（）,即（2必-4）2-4/=0,解得k=l,即当时，直线/与交于相异的两点，故 不可能为整数，。错误；故选：B C.（多选）1 2.（5分）在 A BC中，AB A.B C,且4 C=2,B C=,若将A BC沿A C边上的中线B O折起，使 得 平 面 平 面B C D 点E在由此得到的四面体A BC。的棱A C上运动，则下列结论正
17、确的为（）7 TA.AAD C=1B.四面体A 8 C。的体积为三C.存在点E使得A B O E的面积为二4137rD.四面体488的外接球表面积为丁【解答】解：对于A：取8 c的中点M,连接C M,因为8 c=8=1,所以又平面A B _L平面B C D,所以CM _L平面B C D,则CM _L A。，若/A C=$则A O _L平 面CM。，则A O L 8。，显然不可能，故A错误；第9页 共1 8页n对 于&考查三棱锥A-B C D 的体积，易知SCO的面积为一，在平面A8O中，4过 A 作 8。的垂线，交B D的延长线于点H,易知A H=亨，因为平面A8O_L平面BCD,所 以 平
18、面BCD,即三棱锥A-B C D的高为”所以三棱锥A-B C D的体积为V=|X x 12D 4 Z o1即四面体A B C D的体积为一，故B正确；对于C：显然当A C,平面BQE时，BCQ的面积取得最小值，易知7/=冬 且 AH=坐，所以AC=AM/P+m=争,又四面体A B C D的体积为士所以工=-xS x孚，8 8 3 2即 5=密V ，且BCQ的面积为省 之 所以存在点E 使得BDE的面积为士故41u 4-4 4 4C 正确；对于。：设BCO和A8O的外心依次为0|,0 2,过 01作平面BCD的垂线4,过。2第1 0页 共1 8页作平面A 8 C的垂线3则四面体A B C D的外
19、接球的球心为直线/1与h的交点，则四边形M O i O O2为矩形，且Q M=亭，O i C=*所 以 四 面 体A B C D的 外 接 球 的 半 径 为R=O C=J O。+。修2 =1 0 2 M 2+O Q =JU)则外接球的表面积为S=W=4T T X I f =警，故。正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.(5分)己 知 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幕函数可以为/(x)【解答】解：对于f(x)=/,是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增，符合题意，故答案为：?.%1【解答
20、】解：当x W l时，/(x)=/“(0,1 ,当 1 时，f(x)=i-x+l 是减函数，则/(x)0)的一个焦点，以F为圆心的圆与C的两条渐近线交于O,A,3三点，若四边形O A F B的面积为j l O/f,则C的离心率为 2 .第U页 共1 8页【解答】解：如图，由以尸为圆心的圆与C 的两条渐近线交于O,A,8三点，四边形O A F B的面积为j|0 F|2,可得三角形0 4 F 的面积为V一3c29,4又三角形O A F 的面积为尹1 92 s 讥N 4 F 0,A ZAFO=60 ,：./OAF为等边三角形,的取值范围为（3,+8）口使得不等式 +2,=+t 成 立,则实数,1 1
21、【解答】解:因为嚏+=x+1-x x+1-x+X 1-x=2+1 +含？2+2 反三=4,当且仅当X=-X,即x=4时取等号,所以存在实数ye（0,1）,使得4 2 必7 +3所以A4-2 好-y,当 O C y V l 时，一.W y 2-y（）,所以2 F 3,所以f 3.第1 2页 共1 8页故答案为：(3,+8).四、解答题：本大题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分)设 A B C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且co s C=生等里.(1)求角B的大小；(2)若边4 8上的高为工，求co s C.4【解答】解：(1)由于co s C
22、 =嘤型=0 2震 巴整理得：b2=a2+c2-2acsinB；由于 b2=a2+c1-2a cco s 3,所以 s i n 3=co s 3,所以 t a n B=l；由于 O V B V i r,故 B=?；(2)由于边A B上的高为A41 c 1所以SBC=2 4=2 acsE B,整理得a =*c,由余弦定理/=a2+c2-2accosB=(亨 +c2-2-亨 c 导=等，解得b=辛所以8$。=呼 理=一 络.18.(12 分)已知数列 0满足 a i =l,欧=2,且 a”+2=3a”+i -2斯 5CN*).(1)证明：数列 z+i -即 是等比数列；(2)记 即 的前项和为S”
23、若V 6 N*,均有S V A z i ,求实数人的最小值.【解答】(1)证明：因为即+2=3为+|-2%所以 Ctn+2-Cln+1=2(f ln+1 Un)又因为a2-ai ,所以仅”+I-即 是 以1为首项，2为公比的等比数列；(2)解：由(1),得 与+1-册=2=-1,第 1 3 页 共 1 8 页所以Qn-an_ i =2n=2,an -an_2=2n3,，a2 ar=2(n 2),所以=(an-an-0+(/l-0?-2)+(Q2-Q1)+1=2胃-2+27+20+I=27,（2 2）,经检验当=1时;i =l,亦满足%i =2nT,所以 a n=2nT（7i N*）,所 以 =
24、当 声=2几一1,因为任意“6 N*,均有S U M ,所 以 人 费=浸 =2六（n e N*）,又 因 为（N*）,所以入2 2,即实数人的最小值为2.19.（12分）己知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20,15,10.现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？（2）若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望.【解答】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为20：15：10=4：3：2
25、,.应从甲、乙、丙三个研究项目中分别抽取的人数为4x,3x,2x,；.4x+3x+2x=9,解得 x=L.应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取4人，3人，2人.（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=萼=*,P(X=l)P(X=2)P(X=3)一 幽_W一一 14=胆=clr-5.35Cr40,10亓cl 42,5,随 机变量x的分布列为:第 1 4 页 共 1 8 页E(X)=0 X 2 +1 X Y4+2 X 2J+3 X 42=X0123P121514102154220.(12分)如图，在三棱锥A-B C D 中，ZVIB。为等腰直角三角形，AB=A。，BC
26、D为等边三角形.(1)证明：BDLAC-,TT(2)若直线AC与平面A8O所成角为一，点 E 在棱4。上，且 O E=2E4,求二面角E-3C【解答】解：(1)证明：如图，取 8。的中点O,连 接。4,OC,AB=AD,J.BDLAO,：BCC 为等边三角形，J.BDLCO,又,.,AOCCO=O,OA,OCu平面 AOC,.8。_1平面40。，又；ACu平面 AOC,：.BDLAC-,(2)由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C 作直线AO的垂线，则该垂线亦为平面A B D的垂线，故直线A C在平面A B D内的射影为直线AO,：.Z O A C为直线A C与平面A B D所成角，即Z O
27、 A C=不妨设 80=2,V Z B A D=。为 8。的中点，OA=O8=OO=1,ABCD为等边三角形，0 C=V3,在OAC 中，由正弦定理得 sin/OAC=，；.O A C=*A Z A O C=,B P OALOC,L O Z由(1)知，OO_LOC,且。_LOA,以 O 为坐标原点，OC,OD,OA所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,第 15页 共 18页1 2易得。（0,0,0）,C（V 3,0,0）,B（0,-1,0）,E（0,一，-）,3 3T t 4 2则有8C=（V 3,1,0）,B E =（0,-）,3 3易知蔡=（0,0,1）为平面B C。的一个法向量，
28、设平面B C E的一个法向量为m =（x,y,z）,则 包 个=0,即 倍，1，一 ,令尸_ 扬贝z=2百,m-B E =0（3y +3z=0所以平面8 C E的一个法向量为祕=（1,-V 3,2 V 3）,/t、n-m 2/3 月cos 血 =迷 =向=丁 由图可知，二面角E-B C-。为锐角,二面角EMC-。的余弦值 为 圣 二面角EMC-。的大小%2 1.（1 2分）在平面直角坐标系x O y中,x2 y2点A （0,1）在椭圆C：/+0=1 （心 心0）上，过点B （2,-1）的直线/与C交于M,N两 点（异于点A）,记直线A M,AN的斜率分别为幻，上，当=1时，依用|=竽.（1）求
29、C的方程;（2）证明：向+依为定值.【解答】（1）解：点A （0,1）在椭圆C上，所以b=1,当心=1时，直线AM的方程为y=x+l,=x +1 2联立得（方+1）7+2%=0,解得 x=0 或一F+*=1 a2 az+l第 1 6 页 共 1 8 页：.AM=7 1+/X|0 -(一-|=挈，解得 J=2,az+l J故C的方程为:+/=1.(2)证明：由题意知，直线/的斜率存在，设其方程为y+I=k(x-2),M(x i，yi),N(必”),仅+1 =k（x-2）联立卜2 ,得（2 +1）x2-（8乒+4攵）x+8必+8攵=0,后+丁 用+12=8/C2+4/C2 d+1XX2=8/C2+
30、8/C2k+l._ J2T _ _ 切（依1-2 0 2）+”1（-2-2九 一2）X1 x2 xlx2 xlx2=2K全一（2 k+2）（4+x 2）=2k3+2）（8必+4 k）=_ （k+l k（2/c+l）_（X1X2 8 k2+8 k 械+1）-1,为定值,故命题得证.2 2.(1 2分)已知定义在R上的函数f(x)=e l-x (aG R).(1)求/(x)的单调递增区间；(2)对于V x e(o,+8),若不等式/(X)(1 -/)-or恒成立，求的取值范围.【解答】解:(1)/(x)=4尸1 -1,当 aW O 时，/(x)0 时，令 g (x)=a*7-l,则 g (x)=a
31、2eax 10,：.g(x)在R上单调递增,令g (x)=0,解得x=普，当X 6 (-8,1 :时 g(X)0,故/G)在(-8,上 手)上 单 调 递 减，在Y铲，+0 0)上单调递增，综上所述，当 0时，f(X)的单调递增区间为(与空，+0 0),当 W O,f(x)无单调递增区间.(2)由(1)可知，当”=1时，/(x)有最小值，且最小值为/(I)=0,第1 7页 共1 8页S P V x E R,dTx,当且仅当x=l时，等号成立，易知不等式/(x)27 a 一加2-公 等 价 于/1+奴7(1-服)+x,当 x=l 时，须有e成立，令 h(a)=ea!+,则(a)=ef l-1+l
32、 0,：.h(a)在 R 上单调递增，又 h(1)=2,：h(a)22等价于a 21,下证当a N l 时，VxG (0,+8),有不等式(1-/nx)+x恒成立，一方面，V V x G R,，12尤，A VxG (0,+8),e bvc-Inx,即2 N 1 仇x,即工2/(1-。优)，x/.VxG (0,+8),7 (1 -Inx)+xW2x,只 需 证 当 时，VxG (0,+8),有不等式e.i+ar22x恒成立即可，另一方面，VxG R,可得 冷-12 g.ecvc+ax2axf又当1 时，VxG (0,+8),显然有 2QX22X,当“2 1 时，VxG (0,+8),显然有不等式e以 一 i+ar22(1 -bvc)+x恒成立,当 时，VxG (0,+8),显然有不等式f(%)2/(1 -Inx)-ar恒成立,综上所述，实数的取值范围为1,+8).第1 8页 共1 8页