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1、2015 年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知集合 A=x|2 x4，B=x|（x1）（x3）0，则 AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）2（5 分）若复数 z 满足=i，其中 i 为虚数单位，则 z=（）A1i B1+i C 1i D1+i 3（5 分）设 a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则 a，b，c 的大小关系（）Aabc Bacb Cbac Dbca 4（5 分）要得到函数 y=sin（4x）的图象，只需要将函数 y=sin
2、4x 的图象（）个单位 A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移 5（5 分）当 m N*，命题“若 m 0，则方程 x2+xm=0有实根”的逆否命题是（）A若方程 x2+xm=0有实根，则 m 0 B若方程 x2+xm=0有实根，则 m 0 C若方程 x2+xm=0没有实根，则 m 0 D若方程 x2+xm=0没有实根，则 m 0 6（5 分）为比较甲，乙两地某月 14 时的气温，随机选取该月中的 5 天，将这 5天中 14 时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月
3、14 时的平均气温；甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A B C D 7（5 分）在区间0，2 上随机地取一个数x，则事件“1log（x+）1”发生的概率为（）A B C D 8（5 分）若函数 f（x）=是奇函数，则使 f（x）3 成立的 x 的取值范围为（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）9（5 分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A B C2 D4 1
4、0（5 分）设函数f（x）=，若f（f（）=4，则b=（）A1 B C D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11（5分）执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 12（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+3y 的最大值为 13（5 分）过点 P（1，）作圆 x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则=14（5 分）定义运算“”x y=（x，yR，xy0）当 x0，y0 时，x y+（2y）x 的最小值为 15（5 分）过双曲线 C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C于点 P若点 P的横坐标为 2a，则 C的离
5、心率为 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16（12 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30（）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率 17（12 分）ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 cosB=，
6、sin（A+B）=，ac=2，求 sinA 和 c 的值 18（12 分）如图，三棱台 DEF ABC中，AB=2DE，G，H分别为 AC，BC的中点（1）求证：BD 平面 FGH；（2）若 CFBC，AB BC，求证：平面 BCD 平面 EGH 19（12 分）已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前 n 项和为（1）求数列an的通项公式；（2）设 bn=（an+1）2，求数列bn的前 n 项和 Tn 20（13 分）设函数 f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 2xy=0 平行（）求 a 的值；（）是否存在自然数 k，使得方程 f
7、（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；（）设函数 m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示 p，q 中的较小值），求 m（x）的最大值 21（14 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：=1（ab0）的离心率为，且点（，）在椭圆 C上（）求椭圆 C的方程；（）设椭圆 E：=1，P 为椭圆 C上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m交椭圆 E与 A，B两点，射线 PO交椭圆 E于点 Q （）求的值；（）求ABQ面积的最大值 2015 年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5
8、分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5 分）已知集合 A=x|2 x4，B=x|（x1）（x3）0，则 AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【分析】求出集合 B，然后求解集合的交集【解答】解：B=x|（x1）（x3）0=x|1 x3，A=x|2 x4，AB=x|2 x3=（2，3）故选：C【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力 2（5 分）若复数 z 满足=i，其中 i 为虚数单位，则 z=（）A1i B1+i C 1i D1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解：=i，则=i（1i）=1+i，可得 z
9、=1i 故选：A【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查 3（5 分）设 a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则 a，b，c 的大小关系（）Aabc Bacb Cbac Dbca【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小【解答】解：函数 y=0.6x为减函数；故 a=0.60.6b=0.61.5，函数 y=x0.6在（0，+）上为增函数；故 a=0.60.6c=1.50.6，故 bac，故选：C【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档 4（5 分）要得到函数 y=sin（4x）的图象，只需要将函数 y=sin4x 的图象（）个单位 A
10、向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可【解答】解：因为函数 y=sin（4x）=sin4（x），要得到函数 y=sin（4x）的图象，只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移单位 故选：B【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中 x 的系数是易错点 5（5 分）当 m N*，命题“若 m 0，则方程 x2+xm=0有实根”的逆否命题是（）A若方程 x2+xm=0有实根，则 m 0 B若方程 x2+xm=0有实根，则 m 0 C若方程 x2+xm=0没有实根，则 m 0 D若方程 x2+xm=0没有实根，则 m 0【分析】直接利用
11、逆否命题的定义写出结果判断选项即可【解答】解：由逆否命题的定义可知：当 m N*，命题“若 m 0，则方程 x2+xm=0有实根”的逆否命题是：若方程 x2+xm=0没有实根，则 m 0 故选：D【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用 6（5 分）为比较甲，乙两地某月 14 时的气温，随机选取该月中的 5 天，将这 5天中 14 时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；
12、甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A B C D【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31 乙：28，29，30，31，32；可得：甲地该月14 时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，乙地该月 14 时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，故甲地该月 14 时的平均气温低于乙地
13、该月14 时的平均气温；甲地该月 14 时温度的方差为：=（2629）2+（2829）2+（2929）2+（3129）2+（3129）2=3.6 乙地该月 14 时温度的方差为：=（2830）2+（2930）2+（3030）2+（3130）2+（3230）2=2，故，所以甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温标准差 故选：B【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题 7（5 分）在区间0，2 上随机地取一个数x，则事件“1log（x+）1”发生的概率为（）A B C D【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间 0，2 的长度求比
14、值即得【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度 1log（x+）1 解得 0 x，0 x2 0 x 所求的概率为：P=故选：A【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 8（5 分）若函数 f（x）=是奇函数，则使 f（x）3 成立的 x 的取值范围为（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）【分析】由 f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式【解答】解：f（x）=是奇函数，f（x）=f（x）即 整理可得，1a2x=a2x a=1，f（x）=f（x）=3 3
15、=0，整理可得，12x2 解可得，0 x1 故选：C【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题 9（5 分）已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A B C2 D4【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体 V=2 Sh=2R2h=2（）2=故选：B 【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力 是基础题 10（5 分）设函数 f（x）=，若 f（f（）=4，则 b=（）A1 B C D【分析】直接利用分段函数以及函数的零
16、点，求解即可【解答】解：函数 f（x）=，若 f（f（）=4，可得 f（）=4，若，即 b，可得，解得 b=若，即 b，可得，解得 b=（舍去）故选：D【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 y 的值是 13 【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的 x，y 的值，当 x=2 时不满足条件x2，计算并输出 y 的值为 13【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=1 满足条件 x2，x=2 不满足条件 x2，y=13 输出 y 的值为
17、 13 故答案为：13【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查 12（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+3y 的最大值为 7 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z=x+3y 对应的直线进行平移，可得当 x=1 且 y=2 时，z 取得最大值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由 可得 A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当 l 经过点 A时，目标函数 z 达到最大值 z最大值=1+23=7 故答案为：7 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x+3y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的
18、平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 13（5 分）过点 P（1，）作圆 x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则=【分析】根据直线与圆相切的性质可求 PA=PB，及APB，然后代入向量数量积的定义可求【解答】解：连接 OA，OB，PO 则 OA=OB=1，PO=，2，OA PA，OB PB，RtPAO中，OA=1，PO=2，PA=OPA=30，BPA=2 OPA=60=故答案为：【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题 14（5 分）定义运算“”x y=（x，yR，xy0）当 x0，y0 时，x y+（2y）x 的最小值为 【分析】
19、通过新定义可得x y+（2y）x=，利用基本不等式即得结论【解答】解：x y=，x y+（2y）x=+=，由x0，y0，x2+2y22=xy，当且仅当 x=y 时等号成立，=，故答案为：【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题 15（5 分）过双曲线 C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C于点 P若点 P的横坐标为 2a，则 C的离心率为 2+【分析】求出 P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论【解答】解：x=2a 时，代入双曲线方程可得 y=b，取 P（2a，b），双曲线 C：（a0，b0）的右
20、焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，=e=2+故答案为：2+【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16（12 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30（）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选1 人，求 A1
21、被选中且 B1未被选中的概率【分析】（）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（）先求基本事件总数，即从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而 B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可【解答】解：（）设“至少参加一个社团”为事件 A；从 45 名同学中任选一名有 45 种选法，基本事件数为 45；通过列表可知事件 A的基本事件数为 8+2+5=15；这是一个古典概型，P（A）=；
22、（）从 5 名男同学中任选一个有 5 种选法，从 3 名女同学中任选一名有 3 种选法；从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的选法有 53=15，即基本事件总数为 15；设“A1被选中，而 B1未被选中”为事件 B，显然事件 B包含的基本事件数为 2；这是一个古典概型，【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用 17（12 分）ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求 sinA 和 c 的值【分析】利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；利用正弦定理解之【解答】解：因为A
23、BC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c 已知 cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以 sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以 sinA+cosA=，结合平方关系 sin2A+cos2A=1，由解得 27sin2A6sinA16=0，解得 sinA=或者 sinA=（舍去）；由正弦定理，由可知 sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以 a=2c，又 ac=2，所以 c=1【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识 18（12 分）如图，三棱台 DEF ABC中，AB=2DE，G，H分别为
24、 AC，BC的中点（1）求证：BD 平面 FGH；（2）若 CFBC，AB BC，求证：平面 BCD 平面 EGH 【分析】（I）证法一：如图所示，连接 DG，CD，设 CD GF=M，连接 MH 由已知可得四边形 CFDG 是平行四边形，DM=MC 利用三角形的中位线定理可得：MH BD，可得 BD 平面 FGH；证法二：在三棱台 DEF ABC中，AB=2DE，H为 BC的中点可得四边形 BHFE为平行四边形BE HF 又 GH AB，可得平面 FGH 平面 ABED，即可证明 BD 平面 FGH （II）连接 HE，利用三角形中位线定理可得 GH AB，于是 GH BC 可证明 EFCH
25、是平行四边形，可得 HE BC 因此 BC平面 EGH，即可证明平面 BCD 平面 EGH 【解答】（I）证法一：如图所示，连接 DG，CD，设 CD GF=M，连接 MH 在三棱台 DEF ABC中，AB=2DE，G为 AC的中点，四边形 CFDG 是平行四边形，DM=MC又 BH=HC，MH BD，又 BD 平面 FGH，MH 平面 FGH，BD 平面 FGH；证法二：在三棱台 DEF ABC中，AB=2DE，H为 BC的中点，四边形 BHFE 为平行四边形 BE HF 在ABC中，G为 AC的中点，H为 BC的中点，GH AB，又 GH HF=H，平面 FGH 平面 ABED，BD 平面
26、 ABED，BD 平面 FGH （II）证明：连接 HE，G，H分别为 AC，BC的中点，GH AB，AB BC，GH BC，又 H为 BC的中点，EFHC，EF=HC，CFBC EFCH 是矩形，CFHE CFBC，HE BC 又 HE，GH 平面 EGH，HE GH=H，BC 平面 EGH，又 BC 平面 BCD，平面 BCD 平面 EGH 【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题 19（12 分）已知数列an是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为（1）求数列an的通项公式；（2
27、）设 bn=（an+1）2，求数列bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）通过对 cn=分离分母，并项相加并利用数列的前 n 项和为即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过 bn=n4n，写出 Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的首项为 a1、公差为 d，则 a10，an=a1+（n1）d，an+1=a1+nd，令 cn=，则 cn=，c1+c2+cn1+cn=+=，又数列的前 n 项和为，a1=1 或1（舍），d=2，an=1+2（n1）=2n1；（2）由（1）知 bn=（an+1）2=（2n1+1）22n1=n4n，Tn=b1+b2
28、+bn=141+242+n4n，4Tn=142+243+（n1）4n+n4n+1，两式相减，得3Tn=41+42+4nn4n+1=4n+1，Tn=【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题 20（13 分）设函数 f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 2xy=0 平行（）求 a 的值；（）是否存在自然数 k，使得方程 f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由；（）设函数 m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示 p，q
29、中的较小值），求 m（x）的最大值【分析】（）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得 a=1；（）求出 f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在 k=1；（）由（）求得 m（x）的解析式，通过 g（x）的最大值，即可得到所求【解答】解：（）函数 f（x）=（x+a）lnx 的导数为 f（x）=lnx+1+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 f（1）=1+a，由切线与直线 2xy=0 平行，则 a+1=2，解得 a=1；（）由（）可得 f（x）=（x+1）lnx，f（x）=lnx+1+，令 h（x）=lnx+
30、1+，h（x）=，当 x（0，1），h（x）0，h（x）在（0，1）递减，当 x1 时，h（x）0，h（x）在（1，+）递增 当 x=1 时，h（x）min=h（1）=20，即 f（x）0，f（x）在（0，+）递增，即有 f（x）在（k，k+1）递增，g（x）=的导数为 g（x）=，当 x（0，2），g（x）0，g（x）在（0，2）递增，当 x2 时，g（x）0，g（x）在（2，+）递减 则 x=2 取得最大值，令 T（x）=f（x）g（x）=（x+1）lnx，T（1）=0，T（2）=3ln20，T（x）的导数为 T（x）=lnx+1+，由 1x2，通过导数可得 lnx 1，即有 lnx+1+
31、2；ex1+x，可得，可得 lnx+1+2+=0，即为 T（x）0 在（1，2）成立，则 T（x）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数 k=1，使得方程 f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；（）由（）知，m（x）=，其中 x0（1，2），且 x=2 时，g（x）取得最大值，且为 g（2）=，则有 m（x）的最大值为 m（2）=【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题 21（14 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：=1（ab0）的离心率为，且点（，）在椭圆 C上（）求椭圆 C的方程
32、；（）设椭圆 E：=1，P 为椭圆 C上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m交椭圆 E与 A，B两点，射线 PO交椭圆 E于点 Q （）求的值；（）求ABQ面积的最大值【分析】（）通过将点点（，）代入椭圆 C方程，结合=及 a2c2=b2，计算即得结论；（）通过（I）知椭圆 E的方程为：+=1（i）通过设 P（x0，y0）、=可得 Q（x0，y0），利用+=1 及+=1，计算即可；（ii）设 A（x1，y1）、B（x2，y2），分别将 y=kx+m代入椭圆 E、椭圆 C的方程，利用根的判别式 0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可【解答】解：（）点（，）在椭圆 C上，=，a2c2=
33、b2，=，联立，解得：a2=4，b2=1，椭圆 C的方程为：+y2=1；（）由（I）知椭圆 E的方程为：+=1 （i）设 P（x0，y0），=，由题意可得 Q（x0，y0），+=1，及+=1，即（+）=1，=2，即=2；（ii）设 A（x1，y1），B（x2，y2），将 y=kx+m代入椭圆 E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得 m24+16k2，由韦达定理，可得 x1+x2=，x1x2=，|x1x2|=，直线 y=kx+m交 y 轴于点（0，m），SOAB=|m|x1x2|=|m|=2，设 t=，将 y=kx+m代入椭圆 C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0，可得 m21+4k2，又m24+16k2，0t 1，S=2=2=2，当且仅当 t=1，即 m2=1+4k2时取得最大值 2，由（i）知 SABQ=3S，ABQ面积的最大值为 6【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题