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1、2015 年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）已知集合 A=x|x24x+30，B=x|2 x4，则 AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）2（5 分）若复数 z 满足=i，其中 i 为虚数单位，则 z=（）A1i B1+i C 1i D1+i 3（5 分）要得到函数 y=sin（4x）的图象，只需要将函数 y=sin4x 的图象（）个单位 A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移 4（5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=60，则=（）Aa2 Ba2 Ca2 Da2 5（5 分）不等式|
2、x 1|x 5|2 的解集是（）A（，4）B（，1）C（1，4）D（1，5）6（5 分）已知 x，y 满足约束条件，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（）A3 B2 C2 D3 7（5 分）在梯形 ABCD中，ABC=，AD BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形 ABCD绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A B C D2 8（5 分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）=68.26%，P（2+2）=95.44%
3、）A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%9（5 分）一条光线从点（2，3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或 B或 C或 D或 10（5 分）设函数 f（x）=，则满足 f（f（a）=2f（a）的 a 的取值范围是（）A，1 B 0，1 C，+）D1，+）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（5 分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；照此规律，当nN*时，C+C+C+C=12（5 分）若“x0，tanx m”是真命题，则实数 m的最小值为 13
4、（5 分）执行右边的程序框图，输出的T的值为 14（5 分）已知函数 f（x）=ax+b（a0，a1）的定义域和值域都是 1，0，则 a+b=15（5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：=1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 三、解答题 16（12 分）设 f（x）=sinxcosx cos2（x+）（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值 17（12 分）如图，在三棱台 DEF ABC中，AB=2D
5、E，G，H分别为 AC，BC的中点（）求证：BD 平面 FGH；（）若 CF平面 ABC，AB BC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面 ACFD所成的角（锐角）的大小 18（12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足 anbn=log3an，求bn的前 n 项和 Tn 19（12 分）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得
6、分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除，参加者得0 分，若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分，若能被 10整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分 X的分布列和数学期望 EX 20（13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是 F1，F2，以 F1为圆心以 3 为半径的圆与以 F2为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上（）求椭圆 C的方程；（）设椭圆 E：+=1，P 为椭圆 C上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m交椭圆 E于 A，B两点，射线
7、PO交椭圆 E于点 Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值 21（14 分）设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中 aR，（）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围 2015 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）已知集合 A=x|x24x+30，B=x|2 x4，则 AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【分析】求出集合 A，然后求出两个集合的交集【解答】解：集合 A=x|x24x+30=x|1 x3，B=x|2
8、 x4，则 AB=x|2 x3=（2，3）故选：C【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力 2（5 分）若复数 z 满足=i，其中 i 为虚数单位，则 z=（）A1i B1+i C 1i D1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解：=i，则=i（1i）=1+i，可得 z=1i 故选：A【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查 3（5 分）要得到函数 y=sin（4x）的图象，只需要将函数 y=sin4x 的图象（）个单位 A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可【解答】解：因为函数 y=sin（4x）=sin
9、4（x），要得到函数 y=sin（4x）的图象，只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移单位 故选：B【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中 x 的系数是易错点 4（5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=60，则=（）Aa2 Ba2 Ca2 Da2【分析】由已知可求，根据=（）=代入可求【解答】解：菱形ABCD 的边长为a，ABC=60，=a2，=aacos60=，则=（）=故选：D【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 5（5 分）不等式|x 1|x 5|2 的解集是（）A（，4）B（，1）C（1，4）D（1，5）【分析】运用零点分区间
10、，求出零点为 1，5，讨论当 x1，当 1x5，当 x5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可【解答】解：当 x1，不等式即为x+1+x52，即42 成立，故 x1；当 1x5，不等式即为 x1+x52，得 x4，故 1x4；当 x5，x1x+52，即 42 不成立，故 x 综上知解集为（，4）故选：A【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题 6（5 分）已知 x，y 满足约束条件，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（）A3 B2 C2 D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值【
11、解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）则 A（2，0），B（1，1），若 z=ax+y 过 A时取得最大值为 4，则 2a=4，解得 a=2，此时，目标函数为 z=2x+y，即 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件，若 z=ax+y 过 B时取得最大值为 4，则 a+1=4，解得 a=3，此时，目标函数为 z=3x+y，即 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条件，故 a=2，故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意
12、义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键 7（5 分）在梯形 ABCD中，ABC=，AD BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形 ABCD绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A B C D2【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为 1，高为 2的圆柱，挖去一个相同底面高为 1 的倒圆锥，几何体的体积为：=故选：C 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力画出几何体的直观图是解题的关键 8（5 分）已知某批零件的长
13、度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）=68.26%，P（2+2）=95.44%）A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%【分析】由题意 P（33）=68.26%，P（66）=95.44%，可得 P（36）=（95.44%68.26%），即可得出结论【解答】解：由题意 P（33）=68.26%，P（66）=95.44%，所以 P（36）=（95.44%68.26%）=13.59%故选：B【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中
14、两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 9（5 分）一条光线从点（2，3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或 B或 C或 D或【分析】点 A（2，3）关于 y 轴的对称点为 A（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：点 A（2，3）关于 y 轴的对称点为 A（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），化为 kxy2k3=0 反射光线与圆（x+3）2+（y2）2=1 相切，圆心（3，2）到直线的距离 d=1，化为 24k2+50k+24=0，
15、k=或 故选：D【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题 10（5 分）设函数 f（x）=，则满足 f（f（a）=2f（a）的 a 的取值范围是（）A，1 B 0，1 C，+）D1，+）【分析】令 f（a）=t，则 f（t）=2t，讨论 t 1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论 t 1 时，以及 a1，a1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：令 f（a）=t，则 f（t）=2t，当 t 1 时，3t 1=2t，由 g（t）=3t12t的导数为 g（t）=32tln2，在 t 1 时，g（
16、t）0，g（t）在（，1）递增，即有 g（t）g（1）=0，则方程 3t 1=2t无解；当 t 1 时，2t=2t成立，由 f（a）1，即 3a11，解得 a，且 a1；或 a1，2a1 解得 a0，即为 a1 综上可得 a 的范围是 a 故选：C【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（5 分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；照此规律，当nN*时，C+C+C+C=4n1 【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果【解答】
17、解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当 nN*时，C+C+C+C=4n1；故答案为：4n1【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键 12（5 分）若“x0，tanx m”是真命题，则实数 m的最小值为 1 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到 m的范围【解答】解：“x0，tanx m”是真命题，可得 tanx 1，所以，m 1，实数 m的最小值为：1 故答案为：1【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力 13（5 分）执行右边的程序框图，输出的
18、 T的值为 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：赋值：n=1，T=1，判断 13，执行 T=1+=1+=1+，n=2；判断 23，执行 T=+=，n=3；判断 33 不成立，算法结束，输出 T=故答案为：【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题 14（5 分）已知函数 f（x）=ax+b（a0，a1）的定义域和值域都是 1，0，则 a+b=【分析】对 a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案【解答】解：当 a1 时，函数 f（x）=ax+b
19、在定义域上是增函数，所以，解得 b=1，=0 不符合题意舍去；当 0a1 时，函数 f（x）=ax+b 在定义域上是减函数，所以，解得 b=2，a=，综上 a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题 15（5 分）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：=1（a0，b0）的渐近线与抛物线 C2：x2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB的垂心为 C2的焦点，则 C1的离心率为 【分析】求出 A的坐标，可得=，利用OAB的垂心为 C2的焦点，可得（）=1，由此可求 C1的离心率【解答】解：双曲线 C1：=1（a0，b0）的渐近线方程为 y=x
20、，与抛物线 C2：x2=2py 联立，可得 x=0 或 x=，取 A（，），设垂心 H（0，），则 kAH=，OAB的垂心为 C2的焦点，（）=1，5a2=4b2，5a2=4（c2a2）e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 A的坐标是关键 三、解答题 16（12 分）设 f（x）=sinxcosx cos2（x+）（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值【分析】（）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x ，由 2k2x2k，kZ 可解得 f（x）的单调递增区
21、间，由 2k2x2k，kZ可解得单调递减区间（）由 f（）=sinA=0，可得 sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当 b=c 时等号成立，从而可求bcsinA，从而得解【解答】解：（）由题意可知，f（x）=sin2x =sin2x =sin2x 由 2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；由 2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；所以 f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）；（）由 f（）=sinA=0，可得 sinA=，由题意知 A为锐角，所以 cosA=，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，可得：1+bc=b2+c22bc，即 bc，
22、且当 b=c 时等号成立 因此 S=bcsinA，所以ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查 17（12 分）如图，在三棱台 DEF ABC中，AB=2DE，G，H分别为 AC，BC的中点（）求证：BD 平面 FGH；（）若 CF平面 ABC，AB BC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面 ACFD所成的角（锐角）的大小 【分析】（）根据 AB=2DE 便可得到 BC=2EF，从而可以得出四边形 EFHB 为平行四边形，从而得到 BE HF，便有 BE 平面 FGH，再证明 DE 平面 FGH，从而得到平面 BD
23、E 平面 FGH，从而 BD 平面 FGH；（）连接 HE，根据条件能够说明 HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标连接 BG，可说明为平面 ACFD的一条法向量，设平面 FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面 FGH与平面 ACFD所成的角为，根据cos=即可求出平面 FGH与平面 ACFD 所成的角的大小【解答】解：（）证明：根据已知条件，DF AC，EFBC，DE AB；DEF ABC，又 AB=2DE，BC=2EF=2BH，四边形 EFHB 为平行四边形；BE HF，HF 平面 FGH，BE 平面 FGH；B
24、E 平面 FGH；同样，因为 GH为ABC中位线，GH AB；又 DE AB；DE GH；DE 平面 FGH，DE BE=E；平面 BDE 平面 FGH，BD 平面 BDE；BD 平面 FGH；（）连接 HE，则 HE CF；CF平面 ABC；HE 平面 ABC，并且 HG HC；HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（1，0，0）；连接 BG，根据已知条件 BA=BC，G为 AC中点；BG AC；又 CF平面 ABC，BG 平面 ABC；BG CF，AC CF=C
25、；BG 平面 ACFD；向量为平面 ACFD 的法向量；设平面 FGH的法向量为，则：，取 z=1，则：；设 平 面FGH 和 平 面ACFD 所 成 的 锐 二 面 角 为，则：cos=|cos|=；平面 FGH与平面 ACFD 所成的角为 60【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义 18（12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求an
26、的通项公式；（）若数列bn，满足 anbn=log3an，求bn的前 n 项和 Tn【分析】（）利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3；当 n1 时，2Sn1=3n1+3，两式相减2an=2Sn2Sn1，可求得 an=3n1，从而可得an的通项公式；（）依题意，anbn=log3an，可得 b1=，当 n1 时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，于是可求得 T1=b1=；当 n1 时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），利用错位相减法可求得bn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3，当 n1 时
27、，2Sn1=3n1+3，此时，2an=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即 an=3n1，所以 an=（）因为 anbn=log3an，所以 b1=，当 n1 时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以 T1=b1=；当 n1 时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），所以 3Tn=1+（130+231+332+（n1）32n），两式相减得：2Tn=+（30+31+32+32n（n1）31n）=+（n1）31n=，所以 Tn=，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析
28、、运算能力，属于中档题 19（12 分）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除，参加者得 0 分，若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得1 分，若能被 10整除，得 1 分（）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分 X的分布列和数学期望 EX 【分析】（）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是
29、5 的“三位递增数”；（）随机变量 X的取值为：0，1，1 分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望【解答】解：（）根据定义个位数字是 5 的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量 X的取值为：0，1，1，当 X=0时，可以选择除去 5 以外的剩下 8 个数字中选择 3 个进行组合，即；当 X=1 时，首先选择 5，由于不能被 10 整除，因此不能选择数字 2，4，6，8，可以从 1，3，7，9 中选择两个数字和 5 进行组合，即；当 X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选 5，然后从 2，4，6，8 中选择
30、2 个数字和 5 进行组合，即；第二种方案：首先选 5，然后从 2，4，6，8中选择 1 个数字，再从 1，3，7，9 中选择 1 个数字，最后把 3 个数字进行组合，即 则 P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=1）=，X 0 1 1 P EX=0+（1）+1=【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键 20（13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是 F1，F2，以 F1为圆心以 3 为半径的圆与以 F2为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上（）求椭圆 C的方程；（）设椭圆 E：+
31、=1，P 为椭圆 C上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m交椭圆 E于 A，B两点，射线 PO交椭圆 E于点 Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值【分析】（）运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，计算即可得到 b，进而得到椭圆 C的方程；（）求得椭圆 E的方程，（i）设 P（x0，y0），|=，求得 Q的坐标，分别代入椭圆 C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设 A（x1，y1），B（x2，y2），将直线 y=kx+m代入椭圆 E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线 y=kx+m代入椭圆 C的方程，由判别式大于 0，可得 t 的范围，结合二次函数的最值
32、，又ABQ的面积为 3S，即可得到所求的最大值【解答】解：（）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得 a=2，又=，a2c2=b2，可得 b=1，即有椭圆 C的方程为+y2=1；（）由（）知椭圆 E的方程为+=1，（i）设 P（x0，y0），|=，由题意可知，Q（x0，y0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以=2，即|=2；（ii）设 A（x1，y1），B（x2，y2），将直线 y=kx+m代入椭圆 E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得 m24+16k2，则有 x1+x2=，x1x2=，所以|x1x2|=，由直线 y=kx+m与 y 轴
33、交于（0，m），则AOB的面积为 S=|m|x1x2|=|m|=2，设=t，则 S=2，将直线 y=kx+m代入椭圆 C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0 可得 m21+4k2，由可得 0t 1，则 S=2在（0，1 递增，即有 t=1 取得最大值，即有 S，即 m2=1+4k2，取得最大值 2，由（i）知，ABQ的面积为 3S，即ABQ面积的最大值为 6 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题 21（14 分）设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中 aR，（）
34、讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围【分析】（I）函数 f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中 aR，x（1，+）=令 g（x）=2ax2+axa+1对 a 与分类讨论可得：（1）当 a=0 时，此时 f（x）0，即可得出函数的单调性与极值的情况（2）当 a0 时，=a（9a8）当时，0，当 a时，0，即可得出函数的单调性与极值的情况（3）当 a0 时，0即可得出函数的单调性与极值的情况（II）由（I）可知：（1）当 0a时，可得函数 f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出（2）当a1 时，由 g（0）0，可得 x20，函数 f（
35、x）在（0，+）上单调性，即可判断出（3）当 1a 时，由 g（0）0，可得 x20，利用 x（0，x2）时函数 f（x）单调性，即可判断出；（4）当 a0 时，设 h（x）=xln（x+1），x（0，+），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数 f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中 aR，x（1，+）=令 g（x）=2ax2+axa+1（1）当 a=0 时，g（x）=1，此时 f（x）0，函数 f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点（2）当 a0 时，=a28a（1a）=a（9a8）当时，0，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点 当 a时，
36、0，设方程 2ax2+axa+1=0 的两个实数根分别为 x1，x2，x1x2 x1+x2=，由 g（1）0，可得1x1 当 x（1，x1）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（x1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增 因此函数 f（x）有两个极值点（3）当 a0 时，0由 g（1）=10，可得 x11x2 当 x（1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递减 因此函数 f（x）有一个极值点 综上
37、所述：当 a0 时，函数 f（x）有一个极值点；当 0a时，函数 f（x）无极值点；当 a时，函数 f（x）有两个极值点（II）由（I）可知：（1）当 0a时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增 f（0）=0，x（0，+）时，f（x）0，符合题意（2）当a1 时，由 g（0）0，可得 x20，函数 f（x）在（0，+）上单调递增 又 f（0）=0，x（0，+）时，f（x）0，符合题意（3）当 1a 时，由 g（0）0，可得 x20，x（0，x2）时，函数 f（x）单调递减 又 f（0）=0，x（0，x2）时，f（x）0，不符合题意，舍去；（4）当 a0 时，设 h（x）=xln（x+1），x（0，+），h（x）=0 h（x）在（0，+）上单调递增 因此 x（0，+）时，h（x）h（0）=0，即 ln（x+1）x，可得：f（x）x+a（x2x）=ax2+（1a）x，当 x时，ax2+（1a）x0，此时 f（x）0，不合题意，舍去 综上所述，a 的取值范围为0，1 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题