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1、专题20 曲线与方程第一部分 真题分类1（2021浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A直线和圆B直线和椭圆C直线和双曲线D直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2（2020全国高考真题（文）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A圆B椭圆C抛物线D直线【答案】A【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.3以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足
2、，则点的轨迹是A直线B圆C椭圆D双曲线【答案】A【解析】因为 同理：又因为，所以则，即 设，则为直线本题正确选项： 第二部分 模拟训练一、单选题1在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）A椭圆B抛物线C圆D直线【答案】C【解析】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设，所以，由得：，即，所以点C的轨迹为圆.故选：C.2如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）A线段B圆C椭圆的一部分D抛物线的一部分【答案】A【解析】连接，因为，且，所以，即，所以点E是体对角线上的定点，连接AE，则直线AE也是定直线因为，所以动点P必定在线段AE的中垂面上
3、，所以中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段故选：A3设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是（ ）A x23y21(x0，y0)Bx23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)【答案】A【解析】设A(a，0)，B(0，b)，a0，b0.由,得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(x，y)，由，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将ax，b3y代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x0
4、，y0)故选：A4如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（ ）ABCD【答案】A【解析】解：由正方体的特点可知平面，在，上分别取点，使得，连接，则，平面平面，平面，的轨迹为正方体棱长为3，的周长为 故选：5阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）A1BCD【答案】B【解析】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两
5、点也满足该关系式. ，解得，故选：B.6如图在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一个动点，若平面，则面积最小值为 （ ）A BC D【答案】A【解析】如图补全截面为截面，易知分别为对应边的中点.易知平面平面，直线平面， 则,当最小时，的面积最小作于点，且当与重合时，最短，此时的面积最小，由等面积法： 得 又平面，为直角三角形，故故选：A 二、填空题7曲线C：，点P在曲线C上给出下列三个结论：曲线C关于y轴对称；曲线C上的点的横坐标的取值范围是2，2；若A（1，0），B（1，0），则存在点P，使PAB的面积大于其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】解：用x代替x，有3成立，即正确；y20，
6、3，故（x21）29，即3x213，即2x24，解得2x2，即正确；，若存在点P，使PAB的面积大于，则，即3，y22，故不存在点P符合题意，即错误故答案为：8已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为_.【答案】.【解析】如图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，则而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构成的图形的面积为.9在平面直角坐标系中，已知点P分别到点的距离之和为3，记点P的轨迹为曲线W，关于曲线W有如下命题：曲线W关
7、于y轴对称曲线W关于坐标原点对称存在实数，对于曲线W上任意一点都有；曲线W过坐标原点O；点M是曲线W上的动点，则面积的最大值为.其中所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】解：设点，则点P的轨迹曲线W的方程为：，对于 ，将点带入得则 曲线W关于y轴对称正确；对于 ，将点带入得则 曲线W关于坐标原点对称错误；对于 ，将点带入得成立，则 正确；对于 ， 则， 则，故存在实数，对于曲线W上任意一点都有， 正确；对于，则点到直线的距离为,则，由 知，等号取不到，则的面积取不到， 错误.故答案为：.10在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点P的轨迹为曲线W.给出下列三个结论：曲线W关于原点对称；曲线W关于直线对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，或，函数的图象如图所示曲线关于直线对称；曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；故答案为：