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1、专题18 直线与方程第一部分 真题分类1（2020浙江高考真题）已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即故选：D.2（2020全国高考真题（文）点(0，1)到直线距离的最大值为（ ）A1BCD2【答案】B【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.3（2021全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交
2、y轴于M，N两点，则取值范围是_【答案】【解析】由题意，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：4（2019江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【答案】4.【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为5（2021江苏高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.(1) 求实数的值；(2) 求的值；(3) 求函数的解析式.【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】(1) 由直线过定点可得：，由
3、，解得，所以直线过定点.又因为时，所以，有，.(2) ，因为为偶函数，所以，所以. (3) 由(1)知，当时，.当时，又为偶函数，所以，综上可知，.6（2019江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并
4、说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PBAB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处
5、.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，
6、AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为.因为PBAB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.
7、由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.第二部分 模拟训练一、单选题1已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】D【解析】设的坐标为，由左焦点，所以函数的导数，则在处的切线斜率，即，得，则，设右焦点为，则，即，双曲线的离心率.故选：D2直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则
8、线段的长度为（ ）ABCD【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，设与相交于A点，与相较于B点，由解得，由解得，所以，故选：A.3过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】联立，解得，即交点为，又所求直线与直线垂直，则所求直线斜率为2，则所求直线方程为，即.故选：C.4若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有（ ）A1条B2条C3条D4条【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为2，设圆心关于直线的对称点为，则由，求得，故，可得圆的方程为，由于圆心距，满足：，故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，故选：B.5已知函数，若且，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】当
9、时，求导，令，得当时，单调递减；当时，单调递增；如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，令，得，切点坐标为，此时，故选：B.6直线被圆所截得的弦长为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，即，该圆圆心为，半径为直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为，解得故选：A 二、填空题7若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实数_.【答案】【解析】直线方程即为，其法向量为，直线的方向向量为，由题意，解得故答案为：8已知双曲线的左右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则=_【答案】【解析】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：，因为直线、的斜率均为，所以直线，在三角形中，设，则，设的倾斜角为，则由余弦定理得，解得，同理可得：，所以四边形的面积，解得或者（舍去），故.故答案为：9已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是_.【答案】【解析】，设与曲线相切，且与直线平行的直线为，切点则，解得，故切点为曲线上的点到直线的最短距离故答案为：10若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为_【答案】【解析】由椭圆方程可知则所以椭圆右焦点为长半轴为.根据题意可知，为圆心，为圆的半径.则圆的方程为.故答案为：.