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1、第 113 页 共 113 页 31函数的概念及其表示31.1 函数的概念1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念2体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域知识点一函数的有关概念(一)教材梳理填空(1)函数的概念函数的定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域函数值与x的值相对应的y值值
2、域函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集(2)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可(二)基本知能小试1判断正误(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合()(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域()答案：(1)(2)(3)(4)2函数符号yf(x)表示()Ay等于f与x的乘积Bf(x)一定是一个式子C
3、y是x的函数D对于不同的x，y也不同解析：选Cyf(x)表示的是y是x的函数，故选C.3函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域是x|x4答案：x|x0，xR，By|yR，对应关系f：xy23x；Ax|xR，By|yR，对应关系f：xyx2；A(x，y)|xR，yR，BR，对应关系f：(x，y)sxy；Ax|1x1，xR，B0，对应关系f：xy0.A BC D解析(1)中，因为在集合M中当10，那么可以构建如下情境：某工厂现有原材料300 t，平均每天用去x t，这批原材料能用y天，则y，其中，x的取值范围是Ax|0x300，y的取值范围是By|y1，对应关系f把每
4、天的使用量x，对应到唯一确定的使用天数y.题型二已知函数解析式求定义域 学透用活典例2求下列函数的定义域(1)y3x；(2)y；(3)y；(4)f(x).解(1)函数y3x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x10，即x1.又x20，即x2，所以x2且x1.所以函数y的定义域为x|x2且x1(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x5，且x3，所以函数y的定义域为x|x5且x3(4)要使函数f(x)有意义，则即解不等式组得1x1.因此函数f(x)的定义域为x|1x1求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等
5、于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义对点练清1设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RM为()A(2，) B(，2)C(，2 D2，)解析：选A由2x0解得x2，所以M(，2，所以RM(2，)2函数f(x)的定义域为_解析：要使有意义，需满足解得x0且x1，故函数f(x)的定义域为x|x0且x1答案：x|x0且x1题型三求函数的值、值域问题 学透用活典例3(1)f(x)2x22，g(x)，则f(2)_；g(f(
6、2)_；g(a)g(0)(a2)_.(2)(2018杭州七校联考)求下列函数的值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y；y2x.解析(1)因为f(x)2x22，所以f(2)222210，又因为g(x)，所以g(f(2)g(10)，g(a)g(0)(a2)答案：10(2)观察法：因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6配方法：yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)分离常数法：y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)换元法：设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t22，由
7、t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换
8、元法对点练清1变条件在本例(1)的条件下，若f(b)10，求b的值解：因为f(x)2x22，所以f(b)2b2210，解得b2.2变问法在本例(1)的条件下，判断点(3,20)是否在函数f(x)的图象上解：因为f(3)232220，所以点(3,20)在函数f(x)的图象上3求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解：(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以02，则y(1,1所以所求函数的值域为(1,1题型四同一个函数的判断问题 学透用活典例4下列各组函数是同一个函数的是_(填序号)f(x)与g(x)x；f(x)x0与g(x)；f(x
9、)x22x1与g(t)t22t1.解析f(x)x，g(x)x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数；f(x)x01(x0)，g(x)1(x0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数答案判断两函数为同一个函数的方法判断两函数是否为同一个函数，关键是树立定义域优先的原则(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同对点练清判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)f(x)，g(x)x5；(2)f(x)，g(x).解：(1)两函数定义域不同，所以不
10、是同一个函数(2)f(x)的定义域为x|x1，而g(x)的定义域为x|x1或x1，定义域不同，所以不是同一个函数课堂一刻钟巩固训练一、基础经典题1函数y1的定义域为()A1，)B(，1C2，) D(，2解析：选D要使函数式有意义，需2x0，解得x2.2用区间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|21，且x2_.答案：(1)1，)(2)(2,4(3)(1,2)(2，)3已知函数f(x)2x3，xxN|1x5，则函数f(x)的值域为_解析：定义域为1,2,3,4,5，逐一代入求值可得值域为1,1,3,5,7答案：1,1,3,5,7二、创新应用题4若f(x)(x1)，求f(0)，f(1)，f(1
11、a)(a2)，f(f(2)的值解：f(0)1，f(1)0，f(1a)(a2)，f(f(2)2.课下双层级演练过关A级学考水平达标练1已知f(x)x21，则f(f(1)()A2B3C4 D5解析：选D因为f(1)(1)212，所以f(f(1)f(2)2215.2已知Mx|2x2，Ny|0y2，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()解析：选BA项中函数的定义域为2,0，C项中对任一x都有两个y值与之对应，D项中函数的值域不是0,2，均不是函数f(x)的图象故选B.3下列各组函数表示相等函数的是()Ay与yx3(x3)By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dy2x1，x
12、Z与y2x1，xZ解析：选C选项A、B及D中对应关系都不同，故都不是相等函数4函数f(x)的定义域是()A. B.C. D.解析：选B由可得x1，从而得B答案5若函数f(x)ax21，a为一个正数，且f(f(1)1，那么a的值是()A1 B0C1 D2解析：选Af(x)ax21，f(1)a1，f(f(1)f(a1)a(a1)211.a(a1)20.又a为正数，a1.6若a,3a1为一确定区间，则a的取值范围是_解析：若a,3a1为一确定区间，则a3a1，解得a，所以a的取值范围是.答案：7设f(x)，则f(f(a)_.解析：f(f(a)(a0，且a1)答案：(a0，且a1)8函数y2x4的值域
13、为_(用区间表示)解析：令t，则x1t2(t0)，y2x422t24t2(t1)24.又t0，当t1时，ymax4.故原函数的值域是(，4答案：(，49已知函数f(x)x.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)当a1时，求f(a1)的值解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x0，f(x)的定义域是(，0)(0，)(2)f(1)12，f(2)2.(3)当a1时，a10，f(a1)a1.10求函数y的定义域，并用区间表示解：要使函数解析式有意义，需满足：即所以2x3且x.所以函数的定义域是.用区间表示为.B级高考水平高分练1已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于
14、腰长x的函数式为y102x，则此函数的定义域为_解析：ABC的底边长显然大于0，即y102x0，x5，又两边之和大于第三边，2x102x.x，此函数的定义域为.答案：2设函数yf(x)对任意正实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，已知f(8)3，则f()_.解析：因为f(xy)f(x)f(y)，所以令xy，得f(2)f()f()，令xy2，得f(4)f(2)f(2)，令x2，y4，得f(8)f(2)f(4)，所以f(8)3f(2)6f()，又f(8)3，所以f().答案：3试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)(x1)21，x1,0,1,2,3；(2)f(x)；(3)f(x)x.解：(
15、1)函数的定义域为1,0,1,2,3，则f(1)(1)1215，同理可得f(0)2，f(1)1，f(2)2，f(3)5，所以函数的值域为1,2,5(2)函数的定义域是x|x1，y5，所以函数的值域为y|y5(3)要使函数式有意义，需x10，即x1，故函数的定义域是x|x1设t，则xt21(t0)，于是f(t)t21t2.又t0，故f(t).所以函数的值域是.4试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y10(1x)2描述解：把y10(1x)2看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是By|y0，对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数10(1x)2.如果对x的取值范围作出限制
16、，例如xx|0x1，那么可以构建如下情境：临沂市蒙阴县岱崮“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约有10万人次，设观赏人数年平均增长率为x，预计2020年观赏人数为y，那么y10(1x)2.其中，x的取值范围是Ax|0x1，y的取值范围是By|10y0) Byx(x0)Cyx(x0) Dyx(x0)解析：选C正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为，由勾股定理得(2y)222，y2，即yx(x0)6已知函数f(x)x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为_解析：将点(5,4)代入f(x)x，得m5.答案：57已知f(x)是一次函数，满足3f(x1)6x4，则f(x
17、)_.解析：设f(x)axb(a0)，则f(x1)a(x1)baxab，依题设，3ax3a3b6x4，则f(x)2x.答案：2x8已知a，b为常数，若f(x)x24x3，f(axb)x210x24，则5ab_.解析：由f(x)x24x3，f(axb)x210x24，得(axb)24(axb)3x210x24，即a2x2(2ab4a)xb24b3x210x24，由系数相等得解得a1，b7或a1，b3，则5ab2.答案：29已知函数pf(m)的图象如图所示求：(1)函数pf(m)的定义域；(2)函数pf(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应解：(1)观察函数pf(m)的图象，可以看
18、出图象上所有点的横坐标的取值范围是3m0或1m4，故定义域为3,01,4(2)由图知值域为2,2(3)由图知：p(0,2时，只有唯一的m值与之对应10已知f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.解得f(x)x2x3.B级高考水平高分练1某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2019年5月1日1235 0002019年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为_升解析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量4868.答案：82已知函数f(2x1)3x2，且f(a)4，则a_.解析：因为f(2x1)(2x1)，所以f(a)a.又f(a)4，所以a4，a.答案：3设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式解：法一：设f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(x2)得4ab