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1、3.1.1函数的概念函数的概念一二一、函数的概念1.(1)初中我们已经学习过函数的概念,它是如何用函数描述变量之间的依赖关系的呢?提示:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.(2)教材P60中的问题1,你能得出列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车行进的路程吗?t的变化范围是多少?变量t与变量S之间有什么关系?提示:列车运行0.1 h,0.2 h,0.5 h时列车行进的路程分别为35 km,70 km,175 km.其中t的变化范围是0t0.5.在t的变化范围内,任给一个t,按照给定的关
2、系式,都有唯一的一个路程S与之对应.三一二(3)教材P61中的问题2与问题1有什么区别?提示:两个问题中自变量的取值范围不同,从而因变量取值也不相同.(4)教材P61中的问题3,你能从图中看出大约哪个时刻空气质量最差吗?哪个时刻AQI的值大约为50?提示:从图中可以看出,大约10:00时空气质量最差.大约8:00和15:00这两个时刻AQI的值大约为50.(5)教材P61中的问题4,自变量的取值集合是什么?提示:2 006,2 007,2 008,2 009,2 010,2 011,2 012,2 013,2 014,2 015.这是一个数集.三一二(6)由初中函数定义可知上述问题14都是函数
3、,它们有哪些共同特征?提示:(1)每个问题中的变量均涉及两个非空数集,用A,B来表示;(2)两个数集间都有一种确定的对应关系,在此关系下,对于数集A中任意一个x,数集B中都有唯一确定的数y和它对应.2.填表 三一二3.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么?提示:定义域A、对应关系f和值域f(x)|xA,共三个要素.起决定作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一定相同.4.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系?提示:值域是集合B的子集.5.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同?提示:两个定义中的定义
4、域与值域的意义完全相同;两个定义中的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发.三一二6.判断正误:(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.()(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.()答案:(1)(2)三一二二、区间的概念及表示1.阅读教材P64相关内容,关于区间的概念,请填写下表:设a,bR,且aa,xa,xa如何用区间表示?提示:3.判断正误:(1)所有的数集都能用区间表示.()(2)所有的区间都能用数集表示.()答案:(1)(2)三一二4.做一做:用区间表示下列集合:(1)x|21
5、,且x2用区间表示为;(3)x|x-3或x10用区间表示为.解析:(1)x|21,且x2用区间表示为(1,2)(2,+).答案:(1)(2,4(2)(1,2)(2,+)(3)(-,-3)10,+)三一二三三、同一个函数1.(1)一个函数有自变量和因变量两个变量,两个变量和对应关系可以用任意的字母表示,如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a等,那么,不同的字母表示对两个函数是否为同一个函数有影响吗?提示:自变量、因变量和对应关系用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.如f(x)=2x,f(t)=2t,g(a)=2a,只要自变量取值范围相同,它们就是同一个函数.一二三(2)如何理
6、解“当两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致时,两个函数才是同一个函数”这句话?提示:这句话说明:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系不同,两个函数也就不相同;(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一个函数.例如:函数y=2x和函数y=x-1,其定义域都是R,值域都是R.但它们的对应关系是不同的,因此这两个函数不是同一个函数.2.填空如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.一二三3.做一做已知函数f(x)=|x|,则下列哪个函数与y=f(x)表示同一个函数()答案:B探究一探究二探究三
7、探究四思想方法随堂演练函数的定义函数的定义例例1下列对应是实数集R到R上的一个函数的是.(只填序号)答案:反思感悟反思感悟 结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y值与之对应.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练 1集合A=x|0 x4,B=y|0y2,下列不表示从A到B的函数的是()答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法区间区间例3已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,则AB用区间可表示为.解析:A=x|5-x0,A=x|x5.B=x|x|-30,B=x|x3.AB=x|x-3或-3x3或3x5,即AB=(-,-3)(-3,3)(3,5
8、.答案:(-,-3)(-3,3)(3,5反思感悟 (1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练 2(1)集合x|0 x1或2x11用区间表示为.(2)若集合A=2a-1,a+2,则实数a的取值范围用区间表示为.解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或a,b)成立的条件是ab.A=2a-1,a+2,2a-1a+2.a3,实数a的取值范围是(-,3).答案:(1)(0,1)2,11(2)(-,3)随堂演练探究一探究二探
9、究三探究四思想方法求函数的定义域求函数的定义域例3求下列函数的定义域:分析:观察函数解析式的特点列不等式(组)求自变量的取值范围随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量
10、取值集合的交集).随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法同一个函数同一个函数例4 试判断以下各组函数是否表示同一个函数:(2)y=x0与y=1(x0);(3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ).分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法所以它们不表示同一个函数.(2)因为y=x0要求x0,且当x0时,y=x0=1
11、,故y=x0与y=1(x0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一个函数.(3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一个函数.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤 随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练4下列各组函数: f(x)=x+1,g(x)=x+x0;汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0t5)与一次函数g(x)=80 x(0 x5).其中是同一个函函数的是(填上所有正确的序号).随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法解析:f(x)与g(x)的
12、定义域不同,不是同一个函数;f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一个函数;f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.答案:随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练用逆向思维解决函数定义域(或值域)问题分析:把求函数定义域问题转化为方程ax2+4ax+3=0无实根问题.解:依题意,要使函数有意义,必须ax2+4ax+30.即要使函数的定义域为R,必须方程ax2+4ax+3=0无实根.当a=0时,方程ax2+4ax+3=0无实根;当a0时,若方程ax2+4a
13、x+3=0无实根,则有判别式0对xR恒成立,有a=b=0,c0或a0时,=b2-4ac0.(2)ax2+bx+c0对xR恒成立,有a=b=0,c0或a0时,=b2-4ac0.(3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c0或a0时,0.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解析:原问题化为ax2-x+a0对xR恒成立问题.(1)当a=0时,显然不合题意.(2)当a0时,只需0即可,即(-1)2-4a20,解得答案:B探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练A.(-,+)B.(-,-1C.(-1,+)D.-1,0)(0,+)解析:要使函数有意义,则 解得f(x)的定义域为-1,0)(0,+).故选D.答案:D2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是()解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.答案:ACD探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练3.(1)函数y=2x+1,x(-1,1的值域是.(用区间表示)(2)函数y=x2+x+2,xR的值域是.(用区间表示)(1)求f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(2)的值;(3)当a-1时,求f(a+1)的值.解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x0,故f(x)的定义域是(-,0)(0,+).