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1、2019届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学（理）试卷此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知全集U=R,集合A=x|0x-10，则AB用区间可表示为A 0，32 B 1，3
2、2 C 32，2 D -,032，22已知向量， ，若，则实数的值为A B C D 3等差数列an中，a1+a5=14，a4=10，则数列an的公差为A 1 B 2 C 3 D 44若sin(2+)=-35，且为第二象限角，则tan=A -43 B -34 C 43 D 345在正项等比数列an中，若a1=2，a3=8,数列an的前n项和为Sn，则S6的值为A 62 B 64 C 126 D 1286函数f(x)=lnx-(12)x的零点个数为A 0个 B 1个 C 2个 D 3个7设可导函数f(x)在R上图像连续且存在唯一极值，若在x2处，f(x)存在极大值，则下列判断正确的是A 当x(-,
3、2)时,fx0, 当x2,+时,fx0, 当x2,+时,fx0.C 当x(-,2)时fx0.D 当x(-,2)时fx0, 当x2,+时,fx0.8设函数f(x)=(12)x-lnx，则使得f-3f2x-1成立的x的取值范围是A (-,-1)(2,+) B (-1,12）（12，2) C (-1,+) D (-,-1)9函数f(x)=1+cosx+2sinx2cosx2的最小正周期为A 4 B 2 C D 210在ABC中，若AB=3，AC=6，ABAC=9，则BC的值为( )A 33 B 23 C 27 D 6311设偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当x0,2时，f(x)=lnx
4、x，则f(x)在6,10上的单调性为A 递增 B 递减 C 先增后减 D 先减后增12设函数f(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数为f(x)，满足对于xR,f(x)f(x) 恒成立，则下列各式恒成立的是A f(1)ef(0),f(2018)ef(0),f(2018)e2018f(0)C f(1)ef(0),f(2018)e2018f(0) D f(1)e2018f(0)二、填空题13已知向量a=(-3,4),b=(1,3)，则a与b的夹角余弦值为_14在ABC中，若A=4,a=2，则a-b+csinA-sinB+sinC_.15若f(x)13x3f(1)x2x13，则在（1，f(1)
5、）处曲线y=f(x)的切线方程是_16关于函数f(x)=3cos2x-2sinxcosx,有如下命题：(1).x=3是f(x)图像的一条对称轴； (2).（6,0）是f(x)图像的一个对称中心（3）将fx的图像向左平移6，可得到一个奇函数图象.其中真命题的序号为 _三、解答题17已知等差数列an满足a4=7,2a3+a5=19。（1）求通项an；（2）设bn-an是首项为2，公比为2的等比数列，求数列bn通项公式及前n项和Tn.18若向量a=sinx,cosx,b=cosx,cosx,其中0, 记f(x)=ab+12,且最小正周期为，（1）求f(x)的表达式； （2）将f（x）的图象向右平移4
6、个单位后得到y=g（x）的图象，求y=g(x)在0,2上的值域19设数列an的前项和为Sn，满足Sn=2an-2nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log12an求数列1bnbn+1前项和Tn20设函数fx=lnx+2x2-5x.（1）求函数fx的极小值;（2）若关于x的方程fx=2m-1在区间1,e上有唯一实数解，求实数m的取值范围.21在ABC中，角A,B,C的对边的边长为a,b,c，且b=2acosBcosC+ccosBcosA。（1）求B的大小；（2）若a+c=5，且SABC=3，求边长b的值。22已知函数f（x）=lnxax，其中a为实数 （1）求出f（x）的单调区间；（
7、2）在a1时，是否存在m1，使得对任意的x（1，m）,恒有f（x）+a0，并说明理由.好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学（理）试卷数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】先化简集合A和B，再根据交集运算的定义求解。【详解】集合A=x|0x-11=x|1x0=x|x32所以AB=32，2，答案选C。【点睛】在进行集合运算时，当集合没有化简，要先化简集合；当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；当集合为无限集时，可借助数轴进行运算。集合的交、并、补运算口诀
8、如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集。2B【解析】向量， ，由，得，解得： ，故选B.3C【解析】【分析】利用等差数列的性质，a1+a5=14可化为a2+a4=14，可求a2，再运用公差计算公式d=an-amn-m即可求出结果。【详解】因为an为等差数列，所以a1+a5=a2+a4=14而a4=10，所以a2=4，所以公差d=a4-a24-2=3。答案选C。【点睛】本题考查了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。4A【解析】【分析】先由诱导公式得cos=-35，再求出sin=45，最后根据定义求tan。【详解】
9、因为sin(2+)=-35，所以cos=-35，又因为为第二象限角，所以sin0，sin=1-cos2=45所以tan=sincos= -43。答案选A【点睛】本题考查了诱导公式，同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。5C【解析】【分析】根据a1=2，a3=8先求出公比为2，再代入an的前n项和公式计算即可。【详解】因为an是正项等比数列，所以q2=a3a1，即q=2，所以an的前6项和为S6为a1(1-q6)1-q=2(1-26)1-2=126，答案选C【点睛】本题考查了等比数的公比计算公式及前n项和
10、公式，属于基础题。6C【解析】【分析】函数f(x)=lnx-(12)x的零点个数问题等价于方程lnx=(12)x解的个数问题，考查函数y=lnx和函数y=(12)x的图像交点个数，即可。【详解】作出函数y=lnx和函数y=(12)x的图像如下：由图像可知，函数y=lnx和函数y=(12)x的图像有两个交点，即方程lnx=(12)x有2个解，所以函数f(x)=lnx-(12)x的零点有2个，答案选C。【点睛】本题考查了函数与方程的关系，涉及函数数零点的问题可化为方程根的个数问题讨论，而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论，而数形结合是解决这类问题最主要的方法。7A【解析】【分析】根据函
11、数极值的判定方法，极大值点左侧导函数值为正，右侧为负，即可判断。【详解】由题意知，x2为导函数f(x)的极大值点，所以，当x(-,2）时，fx0；当x2,+时，fx0。故答案选A。【点睛】本题考查函数极值的判定方法，属于基础题。8B【解析】【分析】首先判断f(x)=(12)x-lnx为定义域(-,0)(0,+)上的偶函数，再讨论当x(0,+)和x(-,0)时的单调性，最后将不等式f-3f2x-1化为f-3f2x-1，即2x-13，求解即可。【详解】易知f(x)=(12)x-lnx为定义域(-,0)(0,+)上的偶函数，当x(0,+)时，f(x)=(12)x-lnx，因为(12)x和-lnx均为
12、减函数，所以f(x)在x(0,+)时为减函数。根据偶函数的性质可得，f(x)在x(-,0)时为增函数。所以不等式f-3f2x-1等价于02x-13或-32x-10，所以f(x)在0,2上单调增。另外，因为函数f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在-2，0）上单调减，所以f(x)在-2，2上先减后增；所以f(x)在6,10上的单调性为先减后增。答案选D。【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，根据函数的奇偶性，周期性和单调性的关系是解决问题的关键。本题是一道综合性较强的中档题。12B【解析】【分析】构造函数F(x)=f(x)ex，求出F(x)0，得到该函数为R上的增函数，故得F(0)F(1)，F
13、(0)F(2018)，从而可得到结论。【详解】设F(x)=f(x)ex，（xR）所以F(x)=f(x)ex=f(x)-f(x)ex因为对于xR,f(x)0，所以F(x)是R上的增函数，所以F(0)F(1)，F(0)F(2018)即f(0)f(1)e，f(0)ef(0)和f(2018)e2018f(0）。故答案选B。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题。1343-310【解析】【分析】将条件代入向量夹角计算公式即可。【详解】设a与b的夹角为，则cos=abab=-3+4352=43-310。【点睛】本题考查平面向夹角的计算，属于基础题。142【解析】【分析
14、】由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。【详解】因为asinA=bsinB=csinC=2R所以a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC所以a-b+csinA-sinB+sinC=2RsinA-2RsinB+2RsinCsinA-sinB+sinC=2R=asinA=2sin4=2。【点睛】本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题。152x-3y+1=0【解析】【分析】首先对函数求导得f(x)=x2-2f(1)x+1，把x=1代入可求f(x)=23，把x=1代入函数f(x)可求f(1)=1，用点斜式方程写出切线并化简即可。【详解】因为f(x)13x3f(1)x2x13，所以f
15、(x)=x2-2f(1)x+1把x=1代入，则f(1)=23，所以fx13x323x2x13，把x=1代入，则f(1)=1所以过点（1，f(1)）处曲线y=f(x)的切线方程y-1=23(x-1)整理得2x-3y+1=0。【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题。16(2)(3)【解析】【分析】运用二倍角、辅助角公式将函数f(x)=3cos2x-2sinxcosx化为f(x)=2cos(2x+6)，分别求其对称轴，对称中心，并进行图像平移，讨论三个结论即可。【详解】函数f(x)=3cos2x-2sinxcosx可化为f(x)=3cos2x-sin2x，所以f(x)=2cos(2x+6)，所
16、以函数f(x)的对称轴为x=k2-12，故命题（1）错误；函数f(x)的对称中心为(k2+6,0)，取k=0时，对称中心为(6,0)，命题（2）正确；函数f(x)向左平移6个单位，得g(x)=2cos2(x+6)+6=2cos2x+2=-2sin2x，g(x)为奇函数，命题（3）正确。故答案为(2)(3)。【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的图像平移，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的
17、知识点入手，然后集中精力突破较难的命题17（1）an=2n-1；（2）bn=2n+2n-1，Tn=2n+1+n2-2。【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组2(a1+2d)+a1+4d=19a1+3d=7，求解即可；（2）可先求出bn-an的通项，再解出数列bn通项公式，求其前n项和则运用分组求和的方法求解即可。【详解】（1）由题意得2(a1+2d)+a1+4d=19a1+3d=7，解得a1=1d=2，an=1+2(n-1)=2n-1.（2）bn-an=2n,bn=2n+2n-1，Tn=(2+22+2n)+1+3+2n-1，Tn=2n+1+n2-2。【点
18、睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。18（1）f(x)=22sin(2x+4)+1；（2）12，2+22。【解析】【分析】(1)运用向量的数量积计算公式代入，并对函数式进行三角恒等变换，可得f(x)的表达式；（2）先根据图像平移得到g(x)=22sin2x-4+1，再结合图像与性质求值域。【详解】（1）由向量a=sinx,cosx,b=cosx,cosx,其中0,记f(x)=ab+12得f(x)=sinxcosx+cosx2+12=12sin2x+12(cos2x+1)+12=22sin(2x+4)+1由T=得，=1，所以f(x)=
19、22sin(2x+4)+1。（2）将f(x)图像向右平移4个单位，可得g(x)=22sin2x-4+1，当0x2时，-42x-434，所以-22sin2x-41，故12g(x)2+22，即g(x)的值域为12，2+22。【点睛】本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域，属于中档题。形如y=Asin(x+)，xm,n的函数求值域，分两步：（1）xm,n求出t=x+的范围；（2）由t=x+的范围结合正弦函数的单调性求出sint，从而可求出函数的值域。19（1）an=2n；（2）Tn=nn+1。【解析】【分析】（1）根据数列的前n项和与数列的通项的关系an=Sn-Sn-1(n2)，可求通项；（2）先
20、由（1）的结论求出数列bn和1bnbn+1的通项公式，再运用裂项法求其前n项和。【详解】（1）当 时， Sn=2an-2nN+ Sn-1=2an-1-2nN+ -得an=2an-2an-1nN+；即 an=2an-1 又S1=2a1-2；得： ，数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列 an=2n （2）an=2n， bn=log122n=-n，1bnbn+1=1nn+1=1n-1n+1Tn=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1【点睛】本题考查数列的前n项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题。在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较
21、容易忘记关系式an=Sn-Sn-1(n2)中的条件，即求出通项后，一定要验证n=1 时，通项公式是否也成立。20（1）函数fx的极小值为f1=-3；（2）-1，e2-52e+1。【解析】【分析】（1）对函数求导并求导函数的零点，讨论函数单调性，确定极小值点，并求得极值。（2）结合（1）的结果“方程fx=2m-1在区间1,e上有唯一实数解”即为f12m-1fe，解不等式即可。【详解】（1）依题意知fx的定义域为(0,+)。fx=1x+4x-5=4x2-5x+1x=4x-1x-1x令fx=0,解得x=1,或x=14当0x1时，fx0,当14x1时，fx0所以fx的增区间为0,14和1,+,减区间为
22、14,1，所以函数fx的极小值为f1=-3。（2）由（1）得fx在1,e上为增函数所以要使方程fx=2m-1在区间1,e上有唯一实数解，只需f12m-1fe，所以-32m-12e2-5e+1，-1me2-52e+1。即m取值范围为-1，e2-52e+1。【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及讨论方程问题，属于中档题。21（1）B=3；（2）b=13。【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件b=2acosBcosC+ccosBcosA中的边化为角，进行三角恒等变形，可得B=3；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式。结合条件a+c=5，即求b=13。【详解】（1）由正弦定理得sinB=2sinA
23、cosBcosC+sinCcosBcosA=2cosBsinAcosC+sinCcosA=2cosBsinA+C 又因为在三角形中，可得，又，所以. 2由1及余弦定理得：b2=a2+c2-ac=a+c2-3aca+c=5b2=25-3ac， SABC=3,12acsinB=3，即ac=4 b2=13b=13【点睛】本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积。属于中档题。22（1）答案见解析；（2）在a1时，存在m1，使得对任意x（1，m）恒有f（x）+a0。理由见解析。【解析】【分析】（1）对函数求导，并分a0和a0两种情况讨论。可求出结果；（2）结合（1）将a1分为a0和0a0时,fx增区间为0,1a,减区间为1a,+ （2）在a1时，存在m1，使得对任意的x（1，m）恒有f（x）+a0。理由如下：由（1）得当a0时，函数f(x)在（1，m）递增，此时fxf1=-a，即fx+a0，当0a1 即f（x）+a0。综上可得：在a1时，存在m1，使得对任意x（1，m）恒有f（x）+a0。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力。属于中档题。好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共12页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共12页）