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1、2021-2022学 年 辽 宁 省 沈 阳 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.若，l-i,则 目=（）A.1 B.8 C.2 D.2夜 B【分 析】先 由 复 数 的 乘、除 法 公 式 化 简 z=l+i,再 由 复 数 的 模 长 公 式 即 可 求 出 答 案.2（l+i）h i【详 解】由 题 得 0-i）0+i）,所 以 忖=故 选：B.2.已 知 向 量“=（-21），刃=（U）,c=a+kb a l c,则=（）A.5 B.3 C.0 D.-3A【分 析】利 用 向 量 线 性 运 算 法 则 和 垂 直 关 系 得 到 方 程，求 出=5【详
2、 解】因 为 向 量（一 21），1=（1，1）,所 以?=。+以=（-2+左,1+左）因 为 a_Lc,所 以 4-2%+1+%=0,解 得:k=5,故 选：A.2 sin（a+2022K）-cos（a+兀）（3叫 1-2cos a-3cosa3若 I 2）,11 11tan|a+斗 则 I,J（）3 3A.3 B.3DC.11D.11【分 析】利 用 诱 导 公 式、同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 化 简 已 知 条 件，求 得 面 1。，进 而 tan a+求 得 I 4人 2 sin（a+2022TI）-co（3兀 1 2cos a-3c【详 解】依 题 意：I 2）s
3、（a+兀）os a2 sin a+cosa 2 tan a+1 7-=-=2 tan c c=即 一 s in a-3 c o s a-t a n a-3,解 得 4,（兀、tan a+1 3tan a+=-=-所 以 I 4j l-t a n a 11故 选：D4.已 知 a=cosl,6=sin2,c=t a n 3,则（）A.abc B.cba c.bca Q cabD【分 析】依 次 判 断 出 a，。的 范 围，再 比 较 大 小 即 可.0 a=co sl=sin 2 sin-=-【详 解】由 题 意 知，c=tan 3 0,4 2,3 2,故 c a b.故 选：D.5.在 中，
4、三 内 角/,B,C 对 应 的 边 分 别 为。，b,c,且 6=2,8=4 5。.若 利 用 正 弦 定 理 解 ANBC仅 有 唯 一 解，则（）A.0 a2 B.2a2C.0 区 2 或 介 2及 D.0 好 2 或 a=2 收 D【分 析】由 正 弦 定 理 判 断.=b _ 22【详 解】解：由 正 弦 定 理 得：嬴 7/一 一,所 以。=2 j s in 4,因 为 8=4 5,所 以 力+C=180。45。=1 3 5,因 为 仅 有 唯 一 解，所 以 a c 的 值 确 定，0 9（T,仅 有 唯 一 解，此 时 2,贝 I J 0 a 2,当 月=90时，C=45,A/
5、8 C 仅 有 唯 一 解，此 时 a=20，当 4 5/1 3 5。，且/*90。时，8 c 有 两 解，不 符 合 题 意,综 上：0 日 2 或。=2&.故 选：D.6.如 图，一 个 底 面 半 径 为 2 a的 圆 锥，其 内 部 有 一 个 底 面 半 径 为。的 内 接 圆 柱，且 此 内 接 圆 柱 的 体 积 为 6 兀,则 该 圆 锥 的 体 积 为（）.2-3 8 6 3A.3 M B.3 c.4后/D.8行/B【分 析】作 出 该 几 何 体 的 轴 截 面，求 出 内 接 圆 柱 的 高，利 用 三 角 形 相 似 求 出 圆 锥 的 高,即 可 求 的 其 体 积.
6、【详 解】作 出 该 几 何 体 的 轴 截 面 如 图 示：为 圆 锥 的 高，设 内 接 圆 柱 的 高 为 心 而 BC=2a,BD=r=a,因 为 内 接 圆 柱 的 体 积 为 百 兀 即 兀=也 兀/,h DC由 于/8 皮），故 勿 ft CED,则 茄 一 正 6 a _2a-a即 AB-2a,故 43=2 6?,V=Ttx（2a）2 x lyja=-7ta3所 以 圆 锥 体 积 为 3 3,故 选：B7.圭 表（如 图 甲）是 我 国 古 代 一 种 通 过 测 量 正 午 日 影 长 度 来 推 定 节 气 的 天 文 仪 器，它 包 括 一 根 直 立 的 标 竿（称
7、为“表”）和 一 把 呈 南 北 方 向 水 平 固 定 摆 放 的 与 标 竿 垂 直 的 长尺（称 为“圭”）.当 太 阳 在 正 午 时 刻 照 射 在 表 上 时，日 影 便 会 投 影 在 圭 面 上，圭 面 上 日 影 长 度 最 长 的 那 一 天 定 为 冬 至，日 影 长 度 最 短 的 那 一 天 定 为 夏 至.图 乙 是 一 个 根 据 某 地 的 地 理 位 置 设 计 的 圭 表 的 示 意 图，已 知 某 地 冬 至 正 午 时 太 阳 高 度 角（即 N/8 C）大 约 为 15。，夏 至 正 午 时 太 阳 高 度 角（即/）大 约 为 60。，圭 面 上 冬
8、 至 线 与 夏 至 线 之 间 的 距 离（即 的 长）为 m 则 表 高（即/C 的 长）为（）O、夏 至 时 太 阳 育 度 冬 至 时 太 阳 M A.C M)3+V3-aB.4G-iC.43-V3-aD.4D【分 析】根 据 图 形,找 到 角 度 与 边 长 之 间 的 关 系 求 解.【详 解】1-5 _tan Z.ABC=tan 15=tan(45-30)=-1=-尸=2-百 I J3 34-5/3+T在“BC中，CD=BC=-=(2+434Ctan Z.ABC,在 4ZX?中,AC 拒“=-=ZCtan ZADC tan 600 3DB=BC-CD=(2+y 4 C-由/C=
9、2+3,得 AC=$6+2 百 4故 选：D.8.已 知 正 三 棱 锥 底 面 边 长 为 3,高 为 1,四 边 形 EFG H为 正 三 棱 锥 P-/8 C 的 一 个 截 面，若 截 面 为 平 行 四 边 形，则 四 边 形 E F G/面 积 的 最 大 值 为（）A.2 B.23C.2V3D.4C【分 析】又 正 三 棱 锥 的 性 质 求 得 三 棱 锥 的 侧 棱 长，结 合 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 及 基 本 不 等 式 求 最 值 即 可 得 解.【详 解】设 侧 棱 长 为。，则 由 底 面 边 长 为 3,高 为 1,由 J/一（百=1可 求 得。=
10、2,AE,FG BF AE EH,EF GH、，如 图，设/p _，则 p c _ p _/p _ p c _，且 一，于 是 7/=2尢 尸=3（1-2）/l+l-z l Y 3-2-）2A=-当 且 仅 当 久=1-4即 2 时 取 等 号 3故 四 边 形 的 面 积 最 大 值 为 5,故 选：C.二、多 选 题 9.已 知 A/8 C 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,下 列 四 个 命 题 中 正 确 的 命 题 是（）A.若 sin4 sin8,贝 B.若 A48C是 锐 角 三 角 形，则 s i n/cos8 恒 成 立 C.若 6 c o s
11、c-c c o s 8=a,则 一 定 是 直 角 三 角 形 D.若 s i n J+s i/C+c o s 1，则 8 C 一 定 是 锐 角 三 角 形 ABC【分 析】利 用 正 弦 定 理 边 角 互 化 可 以 判 断 出 A 正 确；由 三 角 形 内 角 和 为 万，结 合 诱 导 公 式 可 推 得 B 正 确；利 用 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 即 可 判 断 出 C 正 确；利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 及 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 结 合 三 角 形 知 识 判 断 出 D.a b【详 解】对 于 A,因 为 s i n s
12、i n 8,所 以 由 正 弦 定 理 得 2R 2 7?,所 以。6,所 以 A正 确；A+B-4 8 G(0,9对 于 B,若 A4 8 C为 锐 角 三 角 形，可 得 2 且,吟-可 得 且/吟 sin A sin（-B）根 据 正 弦 函 数 的 单 调 性，可 得 2,所 以 s i n/c o s 8,所 以 B 正 确;对 于 C,由 正 弦 定 理 及 bcOsC-ccos8=，知 5布 885。-5皿。058=5亩，所 以 sin(8-C)=sin4,因 为 一 乃 3。犯 0 4 1,贝 ijsinJ+siYC-sinZB。,由 正 弦 定 理 得 2+c2-fe2 0,
13、则 角 8 为 锐 角，但 A/8 C 不 一 定 是 锐 角 三 角 形，故 D 错 误；故 选：ABC./,(x)=J sin(ryx+)4 0 皿 0,|同 四 10.已 知 函 数,I 2J的 部 分 图 象 如 图 所 示，下 列 说 A.函 数，=/。)的 图 象 关 于 点(1)对 称 _ 5兀 B.函 数=/()的 图 象 关 于 直 线 才 一 一 区 对 称 2兀 兀 c.函 数 y=/G)在 1 3 1 单 调 递 减 兀 D.该 图 象 向 右 平 移 7 个 单 位 可 得？=2sin2x的 图 象 A BD根 据 函 数 的 图 象，可 求 出 了(X)的 解 析
14、式，进 而 对 选 项 逐 个 分 析，可 得 出 答 案.7=4仁-工=兀 0【详 解】由 函 数 的 图 象 可 得/=2,周 期(3 12；，所 以 T 兀 x=/(E=2sin(2xE+e=2当 12时，函 数 取 得 最 大 值，即 U 2 J I 12)，所 以 12 2(皿),则 称 3,又 因 2,得“3,f(x)=2sin|2x+-I故 函 数 I 3X=/f-l=2sinf-x2+-K2sin0=0对 于 A,当 6 时，I 6J I 6 3J,即 点 I 6 J是 函 数/（X）的 一 个 对 称 中 心，故 A 正 确；x=_ 2/，玛=2sinJ纪 x2+0=2sin
15、，3=-2对 于 B,当 12时，（12 3j I 2；，即 直 线 _ 5兀）一-区 是 函 数/（X）的 一 条 对 称 轴，故 B 正 确；兀-I-兀，3兀 人,兀 兀，对 于 C,令 2+2kn 2x+3 2+2%兀 2（1 _ 7）,解 得 12+H x 12+%兀,则 函 数 兀 7兀/（X）的 单 调 递 减 区 间 为【12+*12+J（G Z）,故 C 错 误；兀 对 于 D,将/G）的 图 象 向 右 平 移 k 个 单 位 后，得 到=2 sin|2x-2 x+|=2 sin 2xI 6 3 J 的 图 象，即 D 正 确.故 选：ABD.本 题 考 查 根 据 图 象
16、求 三 角 函 数 解 析 式 以 及 三 角 函 数 性 质，考 查 推 理 能 力 与 计 算 求 解 能 力，属 中 档 题.11.已 知 复 数 2=。+&（其 中 i为 虚 数 单 位，aeR,beR）则 下 列 说 法 正 确 的 有（）_=G RA.z=z,zeR B.若 Z，贝 iJzeR一 1C.若 z Z,则 目=1 D.若 z2=z：则 Z=AC【分 析】利 用 共 轨 复 数 的 定 义 与 复 数 的 四 则 运 算 法 则 计 算 判 断.【详 解】当 z=W,即 a+bi=a-bi,得 6=,z e R,A 正 确；z=a+bi=a2-b2 1 lab.z a-b
17、i a2+b2 a2+b2,z 2ab 八 f ah=O当=Z w R,则-r=0=。-+次/0,当”0,g 0 时，zeR,B 错 误；-1Z=7,即（+）（a-6i）=l,得+=1,=一 正 确;z2=z2,即(a+b i)2=(a-b i)得 2 i=-2 i,-ab=O,当 a x O/=O 时，z#0,D 错 误；故 选：AC1 2.三 棱 锥 S-/8 C 中，平 面 8 L 平 面 4 5 c,SA B=Z A B C 3Z B A C=90,SA=AC=2,则（）A.SA I B C8乃 B.三 棱 锥 S-N 8 C 的 外 接 球 的 表 面 积 为 了 正 C.点 4 到
18、 平 面 S 2 C的 距 离 为 62 GD.二 面 角 S-8 C/的 正 切 值 为 亍 AD【分 析】根 据“,平 面/8 C 可 判 断 A 正 误；求 出 直 径 S C,再 根 据 球 的 表 面 积 公 式 课 判 断 B 的 正 误；根 据 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知 点 A 到 平 面 SB C的 距 离 为 A G,求 出 N G可 判 断 C 正 误：根 据 题 意 可 知 NS8/为 二 面 角 S-8 C-1 的 平 面 角，进 而 求 出 正 切 值 可 判 断 D 正 误.【详 解】对 于 A,因 为 平 面”8,平 面/8 C,8=90。，即“
19、工”8,平 面 8 n 平 面/8 C=N 8,S N u 平 面 弘 以 所 以 S/，平 面 力 8C,又 因 为 8 C u 平 面 月 8 C,所 以 故 A 正 确；对 于 B,因 为“LBC,4B L B C,S A c 4 B=A,所 以 8C_L平 面”8,因 为 S B u平 面 s/8,所 以 8 C L S 8,又 S4_L平 面/8 C,I C u 平 面 所 以 弘 J./C,即 N S/C=NS8C=90。，所 以 三 棱 锥 S-1 8 C 外 接 球 的 直 径 为 s c.因 为 S/=4 C=2,所 以 SC=J SA2+AC2=2V 2,所 以 三 棱 锥
20、 S-4 8 C 的 外 接 球 的 表 面 积 I 2）7，故 B 错 误;对 于 C,因 为 8C_L平 面 S45,8 C u 平 面 SBC,所 以 平 面 8 平 面 S B C,过 点 Z 作/G 工 S B,交 S 3于 点 G,根 据 面 面 垂 直 的 性 质 定 理，可 得 N G J平 面 S8C,故 点/到 平 面 S 8 c的 距 离 为 4 G,由 乙 18c=3NA4c=90。，AC=2t.D A SB=J 22+(73 j=7 7 ABxSA 7 3 x 2 2V21A G=-=-尸 一=-则 SB J 7 7,故 c 错 误；对 于 D,SB L B C,AB
21、 L B C,所 以 4 s氏 4 为 二 面 角 S-8 C-Z 的 平 面 角,-SA 2 2 G在 向 AS/8 中，AB V3 3,故 口 正 确；故 选：AD.三、填 空 题 a O，n sinf-=-A13.若 1 4 九 I 4；1 3,则 c o s 2 a=.120169.(7t 5s i n-a=【分 析】由 题 设 条 件 可 解 得 14 J 1 3,而 cos2cr=sin-2 a=sin 2(2 J=2sin 巳-a cos(4 J71-a,故 由 平 方 关 系 解 得 COSa,代 入 即 得 所 求【详 解】sin a-l 4-=sin 仕-a 13(4)51
22、3冗 a E 0,又 I 4八 万 冗 n 0-a 4 4cos 26z=sin I-2a i=sin 2120T69120故 16914.已 知 函 数 x)=sinx(0)在 区 间(6 上 是 增 函 数，将 函 数=的 图 像 向 兀 2兀 左 平 移 3 个 单 位 后 得 到 的 图 像 与 将 其 向 右 平 移 了 个 单 位 后 所 得 到 的 图 像 重 合.则 的 值 为.2【分 析】根 据 增 函 数 确 定”的 范 围，结 合 平 移 图 像 间 的 关 系 可 得。的 值.【详 解】因 为 函 数/(x)=sins30)在 区 间 6 上 是 增 函 数，所 以 6
23、 2,即 0 69 3.71函 数 y=/(x)的 图 像 向 左 平 移 3 个 单 位 后 得 到 的 函 数 为(T C A.(即、=sin 691 X+y I=sin I+I2 71函 数 y=/a)的 图 像 向 右 平 移 丁 个 单 位 后 所 得 到 的 函 数 为(2冗).(2COTIJ/=Sin 691 X-I=sm I 69X I6JH(2anC-=2kn因 为 二 者 的 图 像 重 合，所 以 3 I 3)，左 e Z,即。=2上 所 以。=2.故 2.15.在 三 棱 锥 P-/8C 中，PZ1 平 面/BC,4 c l e 8,PA=AC=BC=4.以 4 为 球
24、 心，表 面 积 为 36万 的 球 面 与 侧 面 P B C 的 交 线 长 为.7C【分 析】利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 及 判 定 定 理 证 得 平 面 P 8 C,进 而 知 球 面 与 侧 面 P 3 C 的 交 线 为 以 H 为 圆 心，半 径 为 1的 半 圆 弧，利 用 弧 长 公 式 求 解.【详 解】设 以/为 球 心 的 球 的 半 径 为 R,则 4乃 铸=367，解 得 R=3如 图，取 中 点，由 P4=4C,又 平 面/8C,8 C u 平 面/8C,又 NCLC8,A C c P A=A,所 以 8cl.平 面 尸/c,又 Z u 平 面
25、尸/C,，8 c,又 8 C c P C=C,平 面 P8C,又 尸/=/C=8C=4,AH=242,PB=4也 又 一 函=1,EH PH作 HE 工 PB,则 尸 PCS,CBPB,r,PH CB 2及 x4 276,/.EH=-=-=-1PB 4 石 3所 以 球 面 与 侧 面 P 8C的 交 线 为 以“为 圆 心，半 径 为 1的 半 圆 弧，故 所 求 长 为 7 乂 1=%故 乃 四、双 空 题 1 6.已 知 平 面 单 位 向 量 万，6,且+印=有 m-自，则 在 在 1方 向 上 的 投 影 向 量 为；H 一 4 I（2 e R）的 最 小 值 是.【分 析】分 别
26、根 据 投 影 向 量 的 定 义 和 单 位 向 量 的 模 化 简 即 可 求 解.【详 解】由 1万+司=6 团-刈，两 边 平 方 得“-5,而 分 在 方 方 向 上 的 投 影 向 量 为 a-A b=71+22-2=/（/l-i）2+-2=-、2 4 2,（当 2时 取 得 最 小 值）所 以 其 最 小 值 为 皂 21-V3a 故 2,2五、解 答 题 1 7.已 知 向 量 刀=（，一 6）,丽=（8，。），OC=M（1）若 点/,B,C三 点 共 线，求 实 数 x,y 满 足 的 关 系；若 尸 1且 4 c B 为 钝 角，求 实 数 y 的 取 值 范 围.3 x-
27、4 y-2 4=0；21y。-7 y l 且.4.【分 析】（1）根 据 三 点 共 线 可 得 而，结 合 共 线 向 量 的 坐 标 表 示 可 得 答 案；（2）根 据 4 c 8 为 钝 角，可 得 而 宜 0且 无 不 共 线，利 用 坐 标 表 示 可 得 结 果.【详 解】（1）因 为 4 B,C三 点 共 线，即 声 既，C/=（-x,-6-y）,C8=（8-x,-y）,所 以 盯 _（_6 _ y）（8 x）=0,即 3 x-4 y-2 4=0；,i.-（2）因 为 N 4 8 为 钝 角，所 以 C Z,C 3 y w-因 为。，C 8不 共 线，所 以.4,衰=（-1,-
28、6-夕），荏=（7,-y）,CA-CB=-l+6y+y2 0解 得：21所 以 一 7”1且 4.1 8.如 图，已 知 等 腰 梯 形/B C。的 外 接 圆 半 径 为 2,AB/CD,/8=2 8,点 尸 是 上 半 圆 上 的 动 点（不 包 含 4 8 两 点），点。是 线 段 口 上 的 动 点，将 半 圆 Z P 8所 在 的 平 面 沿 直 径 A B 折 起 使 得 平 面 PAB 1 平 面 ABCD.(1)求 三 棱 锥 P-A C D体 积 的 最 大 值；PQ 当 PC 平 面 QBD时，求 1川 的 值.2 G(1)3 5【分 析】(1)根 据 平 面 平 面/S
29、C。，可 知 尸 0，平 面.8 时，三 棱 锥 尸 一 NC。体 积 最 大，利 用 锥 体 的 体 积 公 式 可 求 答 案；(2)根 据 PC 平 面。8。，确 定 的 位 置，结 合 比 例 关 系 可 得 答 案.【详 解】(1)当 时，。0：平 面 尸 4 3,由 平 面 尸/8 1 平 面 4 8 c D,平 面 尸/8 c 平 面 知 皿 平 面 W D,此 时，P到 平 面“8CO的 距 离 最 大，为 1 尸 1=2,x5.r Dx|P(?l=x x 2x73x2=-所 以，i。的 最 大 值 为 3 1 1 3 2 3.(2)连 接/C 交 5。于 点 M,连 接 刊，
30、则 平 面 尸 为 C D平 面=,依 题 意，PC 平 面 Q8,P C u平 面 P Z C,所 以 PC。股，同|=|叫 所 以，画 一 网，等 腰 梯 形/8 C D中，跖 18 MCD,PQ CM|C|=1所 以 画 一 画 一 画 一 务 f(x)=/3sin(a x+9)+2sin21|-1 3 0,0p 7 U,一+A T T,-F K 7 1/(x)=2 s i n 2 x,递 减 区 间 为 14 4，k e Z44 3【分 析】(1)利 用 恒 等 变 换 化 简 后，结 合 三 角 函 数 的 性 质 求 解：(2)利 用 图 象 变 换 法 则 求 得 g(x)的 函
31、 数 表 达 式，解 方 程 求 得 g(x)的 值，利 用 换 元 思 想,结 合 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 分 析 求 得./(x)=V3 sin(6 w x+9)+2sin2 十【详 解】(1)由 题 意，1 2=2sinl 1冗/(X)图 象 的 相 邻 两 对 称 轴 间 的 距 离 为 5,/(X)的 最 小 正 周 期 为 7=%即 可 得 0=2,7 1.,/、(P-=kTi又/(X)为 奇 函 数，则 6，&e Z,._ 兀 又 0 夕/Jg(x)-3=0,则 g(x)=-6 或 g(x)=y.J-1=VJ sin(6 x+0)-cos(6yx+(p)7T,k
32、G Z=2sin|2 x-l 3 J的 图 象，(A 吟 l 3 J的 图 象，z=4x令 3x e当 叼 时,/汽 z=4x-G37 1 5万 画 出 y=sinz的 图 象 如 图 所 示:sin z=,=_4 有 两 个 根 4/2,关 于 2 对 称，即 Z|+Z2=sin z=V32 有 Z3=7C 4万 5乃 Tsin 4x-=0,-l 3J 4 在 L 2 上 有 两 个 不 同 的 根 占 应，4芭 一+4%2 玉+%2=法，；sinf o 又 I 3)2 的 根 为 22,xe 0 所 以 方 程 2g气)+&6)-3=在 L 2 内 所 有 根 的 和 为 彳.20.九 章
33、 算 术 中，将 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 为 鳖 脯.如 图，已 知 月 U 平 面 N 8 C,平 面 N8JL平 面 P8c.(1)判 断 四 面 体 P-N 8 c 是 否 为 鳖 嚅，并 给 出 证 明;71(2)若 二 面 角 8 一/P C 与 二 面 角 4 8 C-P 的 大 小 都 是 4,求/C 与 平 面 8 c p 所 成 角 的 大 小.(1)四 面 体 P 4 8 C 为 鳖 膈，证 明 见 解 析 7 1 忆【分 析】(1)作 交 尸 8 于。，根 据 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 平 面 尸 8 C,再 根 据 线 面
34、垂 直 的 性 质 与 判 定 证 明 B C 1 平 面 4 8,从 而 证 明 四 面 体 P-/8 C 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 即 可；(2)由(1)连 接 8,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 可 得 Z C与 平 面 8 c p 所 成 角 为 4 8,再 求 解 s i n，从 而 得 到 N 4 C D 即 可【详 解】(1)作 交 PB于。，因 为 P/1 平 面/8 C,8 C u 平 面/8 C,故 P 4 上 B C.又 平 面 P4B1平 面 尸 B C,且 平 面 4 8 口 平 面 P 8 C=P 8,故 力。_L平 面 P 8 C,又 8 C u
35、 平 面 P 8 C,故 Z O L S C,又 A D c P 4=4,4D,PAu平 面 p4B,故 8 c l.平 面 PAB,5C BP,B C 1 BA P A L A B C,故 尸/，/r P/,故 四 面 体 尸 一 4 8。所 有 面 都 为 直 角 三 角 形，故 四 面 体 尸 一 NBC为 鳖 腌(2)由(1),连 接 C。，二 面 角 8 一/尸 一。的 平 面 角 为 N 8/1 C,二 面 角 4 8 C p 的 平 面 冗 Z.BAC=Z.ABP=-角 为 4 8 P,故 4,故 8/C A/8 P 均 为 等 腰 直 角 三 角 形 设 AB=BC=AP=t
36、则 NC=8尸=0,CP=6.又 4 D L 平 面 PBC,故/C 与 平 面 8CP我 sin ACD=-y=-=ZACD=所 成 角 为/C D,又 AC V2 2,且 4 C Q 为 锐 角，故 6,即 7 TZ C与 平 面 B C P 所 成 角 的 大 小 为 dDx_=si n BQ.-a-C y_=-b-C,sin J4-21.请 在 向 量 I b+c)J 1c+a 人 且 x D；ib=2csin|+j I 3 J这 两 个 条 件 中 任 选 一 个 填 入 横 线 上 并 解 答.在 锐 角 三 角 形 N 8 C 中，已 知 角 X,B,C 的 对 边 分 别 为“
37、，b,c,且 满 足 条 件 求 角 C；若“8 C 的 面 积 为 2 6，求 2“+6 的 取 值 范 围.注.如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.C=-(1)3(8。)【分 析】(1)选 择 时，由 向 量 垂 直 转 化 为 向 量 的 数 量 积 为 零，从 而 得 到“、b c 之 间 的 关 系，用 余 弦 定 理 求 解 即 可.选 择 时，由 正 弦 定 理 及 三 角 形 内 角 和 定 理 化 简 得 到 结 果.(2)由 三 角 形 面 积 公 式 得 到 必=8,再 由 余 弦 定 理 得 到 c2=a2+b2-S,利 用
38、锐 角 三 角 形 列 出 不 等 式 组，解 出 Qf(a)=2a+-2。4,构 造 函 数。，利 用 函 数 的 单 调 性 求 出 范 围 即 可.【详 解】(1)选 择：因 为 x y(c-a)sin A(b-c)sin B所 以 b+c c+a,(c-a)a(b-c)b由 正 弦 定 理 得，b+c c+a,a(c2-a2)=b(b2-c2),即 a c2+6c2=+匕 即 c?(a+8)=(a+8)(?_ 岫+%，a2+b2-cos（,=_gp c2=a2+b2-ab t 因 为 2ab,21一 2,C J又 C 为 锐 角，所 以 3.选 择:=2c sin I A+因 为 I
39、3V 3sin5=2sinCsin A由 正 弦 定 理 得，I7 1即 J i sin B=sin C sin 力+sin C cos A乂 sin 3=sin（4+C）=sin A cos C+cos A sin C所 以 J J s in/c o s C=sinCsin J因 为 s i n/0,所 以 J ic o s C=sinC,c J又 C 为 锐 角，所 以 ta n c=6,-3.S.ABC=o6sinC=ab=2 6 因 为 2 4,2a+b=2a+所 以 浦=8,则 a.由 余 弦 定 理 得，c2=a2+6 2-2 ab co sC=a2+-8.J cos A 0,b2
40、+c2-a2 0,因 为 为 锐 角 三 角 形，所 以 c o s8 0,即/+c 2 _/0.b2 4,4 4,即（沪 4 4，解 得 2 a 4令/=2a+g,所 以/（）在（2 4）上 单 调 递 增，所 以，（2）/（。）/（4）,Bp 8/（）1 0,即 2a+6 的 取 值 范 围 为（8，10）.2 2.如 图，某 公 园 改 建 一 个 三 角 形 池 塘，N C=90,4 8=2 百 米，BC=1百 米，现 准 备 养 一 批 观 赏 鱼 供 游 客 观 赏.图（1）若 在/BC内 部 取 一 点 尸，建 造 连 廊 供 游 客 观 赏，方 案 一 如 图，使 得 点 P
41、是 等 腰 NCPB=三 角 形 P 8 C 的 顶 点，且 3,求 连 廊 力 尸+PC+P 8 的 长（单 位 为 百 米）；（2）若 分 别 在 N8,BC,C 4 上 取 点。，E,F,并 建 造 连 廊，使 得 A C E F 变 成 池 中 池，放 养 更 名 贵 的 鱼 类 供 游 客 观 赏：方 案 二 如 图，使 得 A O E F 为 正 三 角 形，设 色 为 图 中 DEF的 面 积，求 S2的 最 小 值；方 案 三 如 图，使 得。平 行 于 Z 8,且 E F 垂 直 于 D E,设 53为 图 中 A OE尸 的 面 积，求$3的 取 值 范 围.+2百(1)3
42、 一 百 米 I-空 2及“2 8,邑/。,在 I 8【分 析】（1）先 由 中 的 余 弦 定 理 求 出 P C,再 由 PC中 的 余 弦 定 理 求 出 力 户,即 可 得 到 答 案;（2）分 别 表 示 出 方 案 和 方 案 中 的 面 积，利 用 三 角 函 数 的 性 质 以 及 二 次 函 数 的 性 质 求 解 最 值 即 可.NCPB=【详 解】（1）解：因 为 点 P 是 等 腰 三 角 形 P 8 C 的 顶 点，且 3,BC=NPCB=-所 以 6,COSNPCB P C J Q PC 二 由 余 弦 定 理 可 得，2PB pc,解 得 3,冗 ZACB=-又 因 为 2,Z.ACP=-故 3,在 中，AB=2,BC=T,所 以 ZC=J/42-8C)=0,AP2=A C2+PC2-2AC-PC COS-在 中，由 余 弦 定 理 可 得，3,V21AP=-解 得 3e D-D D V21 2 百 721+273故 3 3 3,历+26所 以 连 廊/P+P C+P 8 的 长 为 3 百 米.(2)解：设 图 中 的 正 A。所 的 边 长 为。，NCEF=a(Oa(2-2 x)邛(6+8X=rr-所 以 当 2 时，取 得 最 大 值 8,无 最 小 值，即 S3e o,3 8故