2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中数学试题(解析版).pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 18 页 2021-2022 学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中数学试题一、单选题 1sin600tan240（）A32 B3 32 C132 D132【答案】B【分析】根据已知条件，利用诱导公式化简即可求解.【详解】解：sin600tan240sin2360120tan 18060 33 3sin120tan60322，故选：B.2已知平面向量,a b，满足25aab，且2,3ab，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A1 B-1 C12 D-12【答案】C【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出【详解】平面向量,a b，满足25aab，且2,3ab，252cos,

2、aa ba b，解得252 21cos,2 32a b .故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a，2 3c，30A，则角C为（）A60 B60或 120 C45 D45或 135【答案】B【分析】利用正弦定理进行转化求解即可【详解】解：由正弦定理得sinsinacAC得22 31sin2C得3sin2C，ca，CA，第 2 页共 18 页得60C 或120，故选：B【点睛】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理进行求解是解决本题的关键比较基础 4 要得到函数()cos 23f xx的图象，只需将函数()s

3、in 23g xx的图象（）A向左平移2个单位长度 B向右平移2个单位长度 C向左平移4个单位长度 D向右平移4个单位长度【答案】C【分析】先将函数 f x的化为正弦型函数，在将函数 f x的解析式表示为 sin 23fxx，并结合的符号与绝对值确定平移的方向与长度【详解】由诱导公式可得 cos 2sin 2sin 232343f xxxx，因此，只需在将函数 sin 23g xx的图象向左平移4个单位长度，即可得到函数 cos 23fxx的图象，故选 C【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题；两个函数的名称一定要一致；左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量x上变化了多

4、少 5已知1sin()33，则sin(2)6 A79 B79 C79 D29【答案】B【分析】由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案【详解】因为1sin()cos()cos()32363，217sin(2)cos(2)cos2()2cos()1216266699 ，故选 B【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题第 3 页共 18 页 6已知1tan10sin100cos100,2 cos 44 cos 78cos 46 cos12,1tan10MNP，1

5、1tan 221tan 232Q，那么 M，N，P，Q之间的大小顺序是（）AMNPQ BPQMN CNMQ DQPNM【答案】B【分析】由辅助角公式可得2sin 100452sin552sin 451M ，逆用两角和的正弦公式可得2sin 44122sin562sin55NM ，逆用两角差的正切公式可得tan 4510tan35tan451P ，利用两角和正切公式的变形可得11tan22tan23tan22 tan2312Q ，从而即可求解.【详解】解：22sin100cos1002 sin100cos1002sin 1004522M 2 sin552 sin451 ，2 cos44 cos7

6、8cos46 cos122 cos44 sin12sin 44 cos12N 2sin 44122sin562sin55M ，1tan10tan45tan10tan 4510tan35tan4511tan101tan45 tan10P ，又tan22tantan11232223tan22 tan23，即tan 22tan 23tan 22 tan 231，所以111tan221tan231tan22tan23tan22 tan23122Q ，所以NMQP，故选：B.7若关于 x 的方程22sin3sin210 xxm 在0,2x有两个不等实根，则实数 m的取值范围是（）A1,3 B0,2 C1

7、,2 D1,3【答案】C【分析】先化简三角函数为2sin 26yxm，再由x的范围，得到函数2sin 26yx 的值域，由此得到 m的取值范围.第 4 页共 18 页【详解】22sin3sin21cos23sin22sin 2=06xxmxxmxm ，方程22sin3sin210 xxm 在0,2x有两个不等实根，即2sin 26yx与ym的图象有两个交点，因为0,2x，所以72,666x，所以2sin 21,26yx，要使方程22sin3sin210 xxm 在0,2x有两个不等实根，如下图，即则12m.故选：C.8将函数 cos 23fxx的图象向左平移02个单位长度得到函数 g x的图

8、象，若1x,2x使得 121f xg x，且12xx的最小值为6，则（）A12 B6 C4 D3【答案】D【分析】由三角函数平移变换可得 g x，可确定 1211fxg x 或 1211fxg x；在 1211fxg x 时，可求得12,x x的取值，由12min6xx可构造方程求得的值.【详解】cos 223g xfxx，1,1f x ，1,1g x ，若1x,2x使得 121f xg x，则 1211fxg x 或 1211fxg x，不妨设 11f x，21g x，第 5 页共 18 页则111223xkkZ，2222223xkkZ，解得：1116xkkZ，22223xkkZ，121

9、212,2xxkkk kZ，12min6xx，即1212min,26kkk kZ，又02，当120kk时，226，解得：3.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数知识的综合应用，解题关键是能够通过函数值域确定12,x x分别对应 ,f xg x的最大值和最小值点，从而利用整体对应的方式构造方程确定12xx的值.二、多选题 9函数()sin()f xAx(A，是常数，0A，0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A(0)3f B在区间,02上单调递增 C()f x的图象关于5(,0)6中心对称 D将()f x的图象向左平移12个单位，所得到的函数是偶函数【答案】ACD【分析】根据函数

10、()f x的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦型函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：由图可知2A，33 273441264T，解得2，由五点作图法可得206，即3，所以()2sin(2)3f xx，对 A：(0)2sin33f，故选项 A 正确；第 6 页共 18 页对 B：因为,02x，所以22,333x ，而2sinyx在2,32上单调递减，在,2 3上单调递增，所以()2sin(2)3f xx在5,212上单调递减，在5,012上单调递增，故选项 B 错误；对 C：因为55()2sin(2)0663f，所以()f x的图象关于5(,0)6中心对称，故选项 C

11、正确；对 D：将()f x的图象向左平移12个单位，所得到的函数是2sin 22sin 22cos21()232xxg xx，又()cos2cos2()gxxxg x，所以()g x为偶函数，故选项 D 正确.故选：ACD.10给出下列命题，其中正确的命题是（）AR，sincos1；B0R，003sincos2；CR，1sincos2；D0R，003sincos4 【答案】CD【解析】求出sincos+、sincos的值域后可得正确的选项.【详解】因为sincos2sin2,24，故A，B 错误.因为11 1sincossin 2,22 2，故 CD 正确.故选：CD.【点睛】本题考查二倍角的

12、正弦、辅助角公式，注意利用三角变换公式把三角函数式整合成正弦型函数（或余弦型函数）的形式，从而可利用复合函数的方法来研究它们的性质，本题属于基础题.11如图，在矩形 ABCD 中，22ABAD，E为边 AB的中点，若 P 为折线段 DEC上的动点，则AP BP的可能取值为（）第 7 页共 18 页 A1 B2 C3 D12【答案】AD【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出数量积，再根据二次函数的性质求出AP BP的取值范围，即可得解；【详解】解：以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：则0,1A，2,1B，2,0C，1,1E，当P在DE上时，设

13、,P a a，(01)a，则,1APa a，2,1BPaa，所以222(2)(1)2412(1)1AP BPa aaaaa，因为01a，所以22(1)11,1a ，即1,1AP BP 当P在EC上时，设,2P aa，(12)a，则,1APaa，2,1BPaa，所以222(2)(1)2412(1)1AP BPa aaaaa，因为12a，所以22(1)11,1a ，即1,1AP BP 故选：AD 12已知ABC的内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，已知 O 为ABC的外心，8,5bc，ABC的面积 S 满足224,3bcaS AOABAC，则下列结论正第 8 页共 18 页确的是（）

14、A10 3S B3 3AO C392AO BC D71120【答案】ACD【分析】根据余弦定理和三角形面积公式可得3sincos1AA，利用两角差的正弦公式可得1sin()62A，根据A为三角形的内角可得3A.再根据三角形的面积公式可求出三角形面积，知 A 正确；利用余弦定理求出a，再根据正弦定理可求出7 3|3AO，知 B 不正确；根据O为三角形的外心可求出AO AB和AO AC，由此可求出AO BCAO ACAO AB392，知 C 正确；将=AOABAC两边分别同时乘以AB和AC，得到两个方程，解方程组可得2151124，知 D 正确.【详解】由22()4 3bcaS得222124 3s

16、OACABAO ACAO AB25393222，故 C 正确；又AO ABAB ABAB AC，所以251258 522 ，即2525202，第 9 页共 18 页 AO ACAB ACAC AC，所以1325 8642 ，所以206432，联立2525202206432，解得2151124，所以211711524120，故 D 正确.故选：ACD 三、填空题 13若1sincos,05，则sin2cos2_.【答案】3125【分析】将1sincos5两边同时平方可得242sincos025，进而可得sin0,cos0，227sincossin2sincoscos5，联立方程可得43sin,

17、cos55，从而根据二倍角公式即可求解.【详解】解：因为1sincos5，所以两边同时平方得221sin2sincoscos25，即242sincos025，因为0，所以2，所以sin0,cos0，所以227sincossin2sincoscos5，联立可得43sin,cos55，所以2231sin2cos22sincoscossin25，故答案为：3125.14在函数tan3yx的图像对称中心中，与原点 O最近的为点 M，定点 1,1P，则OP在OM上投影的数量是_.【答案】1【分析】由正切函数的性质可得函数tan3yx的图像对称中心为,0,23kkZ，进而可得,06M，从而利用向量数量积的

18、几何意义即可求解OP在OM上投影的数量为cos,OMOMOMOPOPOP.第 10 页共 18 页【详解】解：由题意，令,32kxkZ，可得,23kxkZ，所以函数tan3yx的图像对称中心为,0,23kkZ，所以与原点 O 最近的为点,06M，所以,06OM，1,1OP，所以OP在OM上投影的数量为10 16cos,16OPOPOPOPOPOMOMOMOMPOOM ，故答案为：1.15 设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足3coscos5aBbAc.则tantanAB_.【答案】4【详解】解法 1 有题设及余弦定理得 2222223225cabbcaabccabc 222

19、35abc.故222222tansincos2tansincos2cabaAABcabcaBBAbbc 2222224cabcba.解法 2 如图 4，过点C作CDAB，垂足为D.则 cosaBDB，cosbAAD.由题设得35DBADc.又DBDAc，联立解得 15ADc，45DBc.故tan4tanCDADBADCDBADDB.解法 3 由射影定理得coscosaBbAc.又3coscos5aBbAc，与上式联立解得第 11 页共 18 页 4cos5aBc，1cos5bAc.故tansincoscos4tansincoscosAABaBBBAbA.16 若函数 24sinsincos

20、21024xfxxx在,3 3 内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是_.【答案】90,2【分析】根据降幂公式及二倍角余弦公式化简函数解析式为()2sin(0)f xx，从而利用正弦型函数的图象与性质即可求解.【详解】解：函数21cos2()4sinsincos214sincos21242xxf xxxxx 221sin4sincos212sin2sin12sin12sin(0)2xxxxxxx ，因为()f x在,3 3 内有且仅有一个最大值，且33，0，所以343T，即3243，解得902，所以的取值范围是90,2，故答案为：90,2.四、解答题 17已知tan,1,1,2ab，其中为锐角

21、，若ab与ab夹角为 90，(1)求3sinsin23sin2sin2的值(2)求1cos2sin 2cos2的值【答案】(1)17(2)8【分析】（1）依题意可得0abab，即可得到ab，从而求出tan，再利用诱导公式将式子化简，最后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】(1)解：因为ab与ab夹角为90，所以0abab，第 12 页共 18 页即220ab，即220ab，即ab，又tan,1a，1,2b，即 2222tan112 ，所以tan2，又为锐角，所以tan2，所以3sinsin23sin2sin2 si

22、ncos3cos2sin tan12 1132tan32 27 (2)解：1cos2sin 2cos2 22211 2sin2sincoscossin 2222sin2sincoscossin 222tan2tan1tan 222 282 2 12 18在222cossinsinsincosCBCBA22 cosbaCc这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC中，角 ABC 所对的边分别是 abc，_.(1)求角 A(2)若10a，ABC的面积为8 3，求ABC的周长.【答案】(1)3(2)24【分析】（1）如选择，根据平方关系得到222sinsinsinsinsinBCABC

23、，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得选择，由正弦定理将边化角，再利用诱导公式、和差公式即可得出（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理可求bc的值，进而可求ABC的周长【详解】(1)解：若选择，由222cossinsinsincosCBCBA，得2221 sinsinsinsin1 sinCBCBA，即222sinsinsinsinsinBCABC，第 13 页共 18 页由正弦定理得222bcabc，由余弦定理得2221cos22bcaAbc，又(0,)A，所以3A 若选择，因为22 cosbaCc，由正弦定理可得2sin2sincossinBACC，又

24、ABC，所以sinsin()BAC，则2sin()2(sincoscossin)2sincossinACACACACC，所以2cossinsinACC 由于(0,)C，sin0C，所以1cos2A，(0,)A，故3A(2)因为3A，10a，ABC的面积为1138 3sin222bcAbc，所以32bc，由余弦定理2222cosabcbcA，可得2222100()3()3 32bcbcbcbcbc，解得14bc，所以ABC的周长101424abc 19函数 32cos sin32f xxx(1)求函数 f x的单调增区间；(2)若锐角ABC的三个角为 A，B，C，其中12Bf，求 f A的取值范

25、围.【答案】(1)5,1212kkkZ(2)3,02【分析】（1）利用两角和的正弦公式及降幂公式化简函数解析式为()sin 23f xx，解不等式222,232kxkkZ即可得答案；（2）由12Bf，可得6B，进而由ABC为锐角三角形，可得32A，从而利用正弦型函数的图象与性质即可求解 f A的取值范围.【详解】(1)解：函数第 14 页共 18 页 31332cos sin2cossincos32222f xxxxxx13sin2cos2sin 2223xxx，由222,232kxkkZ，可得5,1212kxkkZ，所以函数 f x的单调增区间为5,1212kkkZ；(2)解：因为12Bf

26、，即sin13B，因为ABC为锐角三角形，所以02B，所以5336B，所以32B，即6B，因为025062ACA，所以32A，所以4233A 所以3sin 2023A，所以 sin 23fAA的取值范围为3,02.20如图，在ABC中，已知1,2,60.CACBACB (1)求B；(2)已知点D是AB上一点，满足,ADAB点E是边CB上一点，满足BEBC，是否存在非零实数，使得AECD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)30；(2)存在，23.【分析】（1）根据给定条件，结合向量数量积求出|AB，再求出夹角 B作答.（2）假定存在满足条件的实数，利用向量的线性运算、数量积运

27、算求解作答.第 15 页共 18 页【详解】(1)在ABC中，ABCBCA，2 1 cos601CBCA ，则2222222212 13ABCBCACBCACB CA ，显然有222|4|ABACBC，于是得90BAC，9030BACB，所以30B.(2)假设存在非零实数，使得AECD，由ADAB，得ADCBCA，则1CDCAADCACBCACBCA，又BEBC，则 1AEABBECBCACBCBCA，于是得2221(1)1AE CDCBCB CACB CACA 2241(1)1320，而0，解得23，所以存在非零实数23，使得AECD.21某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境如图，

28、准备在道路 AB 的一侧进行绿化，线段 AB 长为 4 百米，C，D都设计在以 AB 为直径的半圆上设COB （1）现要在四边形 ABCD内种满郁金香，若3COD，则当为何值时，郁金香种植面积最大；（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段 BC，CD和 DA 组成，若 BCCD，则当为何值时，栈道的总长 l最长，并求 l的最大值（单位：百米）【答案】（1）当3时，郁金香种植面积最大；（1）当3为时，栈道的总长 l最长，l的最大值为 6 百米.【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形 ABCD 关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用

29、正弦函数的性质可求得面积最大值；(2)利用余弦定理求得,BC DA关于的三角函数，相加可求出l关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.第 16 页共 18 页【详解】解：(1)线段 AB长为 4 百米，所以圆的半径为 2 百米，即2OAOBOCOD,当3COD时，由三角形的面积公式得：ABCDBOCCODDOASSSS 2221112 sin2 sin2 sin22323 32 3sin64，203，则5666，sin16，当62，即3时取等号，当3时，32 3sin64取得最大值，当3时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理得：22222 2 2cos

30、4sin2BC ，22222 2 2 cos24cosDA ，8sin4cos022l，令sin2t，024，202t，2228sin4 1 2sin2284 1 21862lttt ，12t，即3时，l的最大值为 6.故当3为时，栈道的总长 l最长，l的最大值为 6 百米.22已知向量3cos,cos,sin,c s(o)axxbxxR，若函数 12f xa b 的最小正周期为，且在06,上单调递增.(1)求 f x的解析式；(2)若关于 x的不等式22cos 22cos 2501212afxxfxxa在,8 4 上恒成立，求实数 a 的取值范围.第 17 页共 18 页【答案】(1)()

31、sin 26f xx(2)2,2 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式可得()sin 26f xx，由()f x的最小正周期为，可得1，又()f x在06,上单调递增，从而即可求解；（2）令sin2cos22 sin 24txxx，0,1t，则原不等式在,84x 上恒成立，可化为222250atta在0,1t上恒成立，即2221tat在0,1t上恒成立，利用均值不等式求出20,2211,tytt的最小值即可得答案.【详解】(1)解：因为向量3cos,cos,sin,c s(o)axxbxxR，所以 21131cos213sincoscossin222222xfxa bx

32、xxx31sin2cos2sin 2226xxx，因为2|2|T，所以1，当1时，()sin 26f xx，此时()f x在06,上单调递增，符合题意，当1 时，()sin2sin 266f xxx，此时()f x在06,上单调递减，不符合题意，综上，()sin 26f xx；(2)解：由（1）可知sin212fxx，因为222(sin2cos2)sin 22sin 2 cos2cos 212sin 2 cos2xxxxxxxx，222(sin2cos2)sin 22sin 2 cos2cos 212sin 2 cos2xxxxxxxx，所以222(sin 2cos2)12sin 2 cos211(sin 2cos2)2(sin 2cos2)xxxxxxxx，令sin2cos22 sin 24txxx，第 18 页共 18 页因为,84x，所以0,1t，所以不等式22cos 22cos 2501212afxxfxxa在,84x 上恒成立，可化为222250atta在0,1t上恒成立，即2221tat在0,1t上恒成立，令20,2211,tytt，则 221122212121222tyttttt ，当且仅当22t 时等号成立，所以22a ，所以实数 a 的取值范围为2,2.

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