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1、2021-2022学 年 辽 宁 省 丹 东 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 Z-1.复 数 1+i的 虚 部 是（）A.-i B.i C.1 D.-1D【分 析】化 简 复 数，即 可 得 到 答 案.2 _ 2(1-i)2【详 解】“1+i（l+i）Q-i）,z-故 复 数 1+i的 虚 部 是 T.故 选：D.2.平 面 直 角 坐 标 系 x P 中，角。的 顶 点 在 坐 标 原 点,始 边 是 x 轴 的 非 负 半 轴，终 边 经 过 点 尸（见 1）,若 tana=-2,则”=（）A.-2 B.2 C.2 D.2B【分 析】利 用 任 意 角 三
2、 角 函 数 的 定 义 列 方 程，解 出 加 即 可.,1。1tana=2 m=【详 解】由 题 意，机，解 得 2,故 选：B.3.圆 台 的 上 下 底 面 半 径 之 比 为 1：2,一 条 母 线 长 度 为 2,这 条 母 线 与 底 面 成 角 等 于 30。,这 个 圆 台 的 体 积 为（）7 7百 n 二 冗-冗 A.兀 B.3 C.3 D,7兀 D【分 析】由 已 知，计 算 圆 台 上 下 底 面 半 径 及 高，再 根 据 圆 台 的 体 积 公 式 计 算.【详 解】如 图，由 题 意 得：BD=2,AB=2 C D 乙 4BD=30。,过 点。作 于 点 则 D
3、E=1,BE=6因 为 圆 台 的 上、下 底 面 半 径 之 比 为 1：2,所 以 CD=AE=BE VJ,则 圆 台 上 底 面 面 积 为 击*工 j 兀=12兀 下 底 面 面 积 为）2故 圆 台 的 体 积 为 3 27t+37i+J12 兀 x3 兀 1=7兀故 选：D.4.设 向 量 L,，=（T 百），则 在 5 上 的 投 影 的 数 量 为（）A.-1 B.-2 C.1 D.2B【分 析】利 用 平 面 向 量 数 量 积 的 几 何 意 义 直 接 求 解 即 可【详 解】因 为（4,所 以 在 乙 上 的 投 影 的 数 量 为 问 c o s&=|a|-71=曾=
4、7 厂-=-21 1 7 1 即|W 卜 1+（扬 2,故 选：B5,将 函 数 小 尸 sin(x+?图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍，纵 坐 标 不 变,所 得 图 象 的 函 数 表 达 式 为（）A.y=sin(2x+B.=sinl 2x+yy=sinC.1 几 x+2 6y=sinD.1 7t X+一 2 12C【分 析】根 据 三 角 函 数 的 变 换 规 则 计 算 可 得.f（x）=sin【详 解】解：将 函 数 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍，纵 y=sin坐 标 不 变，得 到 1 T C x+
5、一 2 6故 选：C6.已 知 平 面 直 线/、m,若 加 u a,则“/“，是“/a”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 D【分 析】利 用 线 面 的 位 置 关 系 结 合 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 判 断 可 得 出 结 论.详 解 若 加，且 机 u a,则/a或/u a,即，/机，/a”；若/a,且 m u a,则/机 或，、异 面，则“/a”.因 此,是“/a”的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件.故 选：D.(3K 八 tan-A=7.在 中，AC
6、=2BC,8=4+90。，则 14)(),1 1A.-3 B.3 c.3 D.3A【分 析】利 用 正 弦 定 理 解 出 tan/,再 由 两 角 差 的 正 切 公 式 化 简 求 值 即 可.a _ b _ 2a _ 2a 详 解 在“8C 中，,sin/sin 5 sin(/I+90)cos/,，11=5,3 兀 A.1f r tan-tan A-I tan 伊 一/=一 4_=1-=-3 4)1+tan 71 tan A l+(-l)x4 2,故 选：A.8.四 棱 锥 的 顶 点 都 在 球。的 表 面 上，&)是 等 边 三 角 形，底 面 42。是 矩 形，平 面 平 面 8
7、C O,若/8=2,BC=3,则 球。的 表 面 积 为()A.12 B.16万 C.20万 D.32万 BM E=-PE【分 析】连 接 C 8 O,Z C c B O=G,在 线 段 P E 上 取 3,由 外 接 球 性 质 可 知 过 G,旭 分 别 作 平 面/B C Q 和 平 面 的 垂 线，则 两 垂 线 交 点 即 为 球。的 球 心；由 面 面 垂 直 性 质 可 知 P E,平 面 48CZ),得 到 PE/OG；同 理 可 得 O M/E G,可 知 四 边 形 O M E G 为 矩 形，利 用 勾 股 定 理 可 求 得 外 接 球 半 径 R=P,代 入 球 的
8、表 面 积 公 式 即 可 求 得 结 果.详 解 连 接“C，3D,A C c B D=G,取 Z O 中 点 E,连 接 P E；四 边 形 A B C D为 矩 形，G 为 四 边 形 A B C D 的 外 接 圆 圆 心；M E=-PE在 线 段 尸 E 上 取 3,.PAD为 等 边 三 角 形，二 M 为 A P A D 外 接 圆 圆 心，过 G，团 分 别 作 平 面 A B C D 和 平 面 P A D 的 垂 线，则 两 垂 线 交 点 即 为 球 的 球 心,.尸 4。为 等 边 三 角 形，.平 面 平 面 48CZ),平 面 尸 平 面 力 8(7。=/。，2 平
9、 面 产/。，.-.PE 平 面 ABCD,PE/OG.同 理 可 得：M E G,二.四 边 形 OMEG为 矩 形；:.O M E G=-A B=P M=-PE=-x.9-=y32,3 3 V 4:.O P Z O M2+PM?=2,即 球 0 的 半 径 夫=2,.球。的 表 面 积 S=4万 斤=161.故 选：B.9.在 正 方 体 8 8-4 4 G A 中，点 E 在 线 段 8 Q 上，则()A.O E与 Z C所 成 角 等 于 60 B.E 平 面 B gC.平 面 4 E C，平 面 C/O D.三 棱 锥 E-G 8 O 体 积 为 定 值 C【分 析】由 线 面 垂
10、直 的 判 定 可 证 得/C J平 面 8 8。，可 知 4 C _ L D E,知 A 错 误；假 设 平 面 8 G,由 面 面 平 行 的 判 定 与 性 质 可 知 A/平 面 8 G,由 线 面 平 行 性 质 得 DEHBD,可 知 当 E 不 与 8 重 合 时，DEHBD不 成 立,知 B 错 误；由 线 面 垂 直 的 判 定 可 证 得 4 c,平 面 8 G,由 面 面 垂 直 的 判 定 可 知 C 正 确；根 据 8 Q C 平 面 瓦 町=o,可 知 点 E 到 平 面 8 0 G 的 距 离 不 是 定 值，知 D 错 误.【详 解】对 于 A,连 接 8 0,
11、D i 四 边 形/8CC为 正 方 形，.4C_L8。；8与，平 面 A8CO,N C u 平 面/BCD,又 BBCBD=B,BB”B)u 平 面 BBQ,/c,平 面 BBQ又 DEu 平 面 BBQ,：.4CLDE,A 错 误；对 于 B,连 接 例*,假 设 ZE 平 面 BCG,;ADJ1BC、,8(；(=平 面 8。1,42 a 平 面 8Z)G,，4D1 平 面 BDC1,又/民 力。u 平 面 力 7),.平 面 47)平 面 8Z)G,R E u 平 面 4ER/.。7/平 面 BZ)G又)E u 平 面 BOZ)4 平 面 BDD)平 面 5。1=3。.t.DEHBD当
12、E 与 5 不 重 合 时，显 然 DEHBD不 成 立,B 错 误；对 于 C,4，平 面/BCD,B O u 平 面/8CD,又 4cL BD,4n/C=/,4，ZCu 平 面 4/C,.8OJ平 面 4C4c u 平 面 AXAC:.AC _L BD同 理 可 得：4 G,*BC n BD=B BC,BD u 平 面 BDC A1C _L 平 面 BDC1.,4Cu平 面 4EC,.平 面 4 E C，平 面 C f。，c 正 确；对 于 D,qon平 面 8 G=O,当 E 为 线 段 与。上 的 动 点 时，其 到 平 面 8 0 G 的 距 离 不 是 定 值，三 棱 锥 E-CB
13、D体 积 不 是 定 值.二、多 选 题 10.A/8 C 的 内 角 的 对 边 分 别 为 则（）A.当 力 8 时，s i n sin5B.当 力 3 时，cos J 8 时，a b,由 正 弦 定 理 可 知：sin/OsinS,A 正 确;对 于 B,.4Be（O,乃），y=cosx在（0，勿）上 单 调 递 减，当/8 时，cosAcosB,B 正 确；A+B=-对 于 C,当 Sin24=sin28 时，24=28 或 2力+28=万，/.4=3 或 2,.48C是 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形，c 错 误；对 于 D,由 正 弦 定 理 得：sin/cos8=si
14、n8cos/,/.sin 4 cos B-sinB cos A=sin（J-5）=048（0,1），.4_8（-肛），./_=0,即/=8,是 等 腰 三 角 形，D 正 确.故 选：ABD.11.已 知 A/8 C 外 接 圆 圆 心。在 8 c 上，贝 ij（）AO=-（AB+AC-A.2、）B.A B O A+A B O C=0C,（函 就）=90。口.AB B C-A B2AC【分 析】根 据 三 角 形 外 接 圆 的 性 质 可 知。为 8 c 的 中 点，8 c 为 外 接 圆 的 直 径，根 据 平 面 向 量 线 性 运 算 法 及 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 律
15、 计 算 可 得.【详 解】解：因 为 A/8 C 外 接 圆 的 圆 心 是 三 边 中 垂 线 的 交 点，所 以。为 8 c 的 中 点，8 c 为 外 接 圆 的 直 径，Jd=-(AB+Jc ABAC=-,-AC=90所 以 21),2,即 与 1 的 夹 角 为 2,即“,故 A、C 正 确；OE/AB,所 以=则 Z*/./,2 1”2A B O A+A B O C=A B（OA+OCj=AB 12OE）=AB-（-45）=-AB=-AB故 B错 误;因 为 4C_L48,AC AB=O,所 以，/（xj=2时，大 值 和 最 小 值，2）1 lm，n 2 2 3,c 正 确；7
16、 T对 于 D,/（X）的 图 象 向 右 平 移 五 个 单 位 可 得：/（途 卜/一 卷 一 常 巾 一|i 3/（*）分 别 取 得/G）的 最 X,即 得 至 Ijy=_cos3x的 图 象，D正 确.故 选：ACD.三、填 空 题 1 3.已 知 1+i是 关 于 x 的 方 程/-5+2=的 根，则 实 数.2【分 析】由 题 意 可 知 方 程 两 根 分 别 为 1+i,l-i,然 后 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 求 出。的 值【详 解】因 为 1+i是 关 于 x 的 方 程 丁-办+2=的 根，所 以 1-i也 是 方 程 x 2-“x+2=的 根，所 以(l
17、+i)+(l-i)=a,得 a=2,故 24 414.函 数、=cos x-s in x 的 最 小 正 周 期 是 7=2兀【分 析】逆 用 二 倍 角 公 式 将 原 式 降 幕，原 式 化 简 为)=8$(5；+夕)形 式,利 用|。|即 可 求 得 函 数 最 小 正 周 期.详 解 丁 F=cos4 x-sin4=(cos2 x-s in2 x)(cos2 x+sin2 x)=cos2 x-s in2x=cos 2x,27r 2)T=兀.Ml 2：.T=7 T故 答 案 为:7.7=2兀 本 题 考 查 二 倍 角 的 余 弦 公 式 的 应 用、余 弦 三 角 函 数 最 小 正
18、周 期 公 式 网,属 于 基 础 题.15.设 向 量 编 满 足 F+*同 第，则=.T 120。【分 析】根 据 向 量 加 法 运 算 三 角 形 法 则 可 知 三 个 向 量 构 成 等 边 三 角 形 4 8 C,结 合 图 象 可 确 定 所 求 夹 角.详 解】设 而=2,BC=b,AB+BC=AC=a+b,由 卜+相 卜 W#可 知：向 量 丽 丽 亚 构 成 等 边 三 角 形/18C,a,b=n 3 3.2万 故 答 案 为.丁,=h _1 6.如 图，高 为/的 圆 锥 形 封 闭 容 器 内 装 水，水 面 高 为 一 5,若 将 圆 锥 倒 置 后，圆 h=锥 内
19、 水 面 高 为 外,则 了-.2【分 析】根 据 水 的 体 积 不 变，列 出 方 程，解 出 色 的 值，即 可 得 到 答 案.-S【详 解】设 圆 锥 形 容 器 的 底 面 面 积 为 S,则 未 倒 置 前 液 面 的 面 积 为 4,1 1 1 7V=-Sh x-S x(h-h,)=Sh所 以 水 的 体 积 为 3 3 4 24,=(%=5.5=当 设 倒 置 后 液 面 面 积 为 S，则 S，所 以 h h2,v 1 0“弱 S足 现,1/7,h2 V7V=S h)=-7=Sh h)=h=所 以 水 的 体 积 为 3-3/,所 以 3加 24，解 得 2 2，所 以 2
20、.近 故 答 案 为.2四、解 答 题 1 7.如 图，某 地 一 天 从 4 18时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足/(x)=s i n(o x+e)+r 其 中 4 0,。0,0。乃.求 A,b,P.(2)求 这 一 天 4 12时 的 最 大 温 差 近 似 值.参 考 数 据：6*1 4,6*1.7.7 T 3不(0(0-/=10,6=20,8,4(2)1 7【分 析】(1)由 图 象 可 确 定/(X)的 最 值 和 最 小 正 周 期，由 此 可 得“力，3；根 据，。4)=3。可 求 得 j 根 据 单 调 性 可 知/(x)m，n=6),/(x)m a x=1 2)
21、可 作 差 得 到 结 果.【详 解】由 图 象 可 知：/(.SO,/(x)m m=l。，/(X)最 小 正 周 期 7=2 x 0 4-6)=16.A=/(x=1 0 b=/x+/(x L=2 02,/f(14)=lOsin2TT T VC D=T 8.；x l4+e)+20=30 A=12+9=y+2k7T(A：e Z)“(p=-+2k7T(k G Z)._ 3万 又 o e 乃，-4(2)由 图 象 可 知：/(X)在 民 6)上 单 调 递 减，在(6/2 上 单 调 递 增，=;=1 0,小)2=/(1 2)=10即 7+2。=5及+20=10+5及 10+5，1.4=17,即 这
22、 一 天 4 12时 的 最 大 温 差 近 似 值 为 17.18.AN8C 中，AB=2,BC=2s2,N4CB=45 求 NBAC；(2)平 面 四 边 形 N8CO 中，BC=2CD,N/8C+N4)C=180。，求 ZCQ 的 面 积 90。G-1 2【分 析】(1)利 用 正 弦 定 理 可 求 得 sinN8/C,由 此 可 得 N8/1C；(2)利 用 余 弦 定 理 可 构 造 方 程 求 得“。，代 入 三 角 形 面 积 公 式 即 可 求 得 结 果.BC AB【详 解】(1)由 正 弦 定 理 知：sinZBAC sinZACB,则-7T V2si.n Z.BAC=-
23、B-C-s-i-n-Z-A-C-B-=-2-V-2-x-2=1,AB 2,v 0Z5JC2+A D-2 A D CD cos ZADC=2+AD2+2AD=4,解 得：AD=-tS“s=；/sin 4 O C=；x(百-1 近 x#=2 219.如 图，四 面 体/S C O中，E 是 力 8 的 中 点，点 尸 在 8。上，加 7/平 面/CZ),平 面 方 厂 与 平 面/C O 的 交 线 为/,CB=CD,A D 1 B D,证 明：B AD/；(2)平 面 8 8,平 面 CEF.(1)证 明 见 解 析(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)由 线 面 平 行 的 性 质 得 到
24、以/、碇/。，根 据 平 行 公 理 即 可 证 明；(2)依 题 意 可 得 EFJ.BD、C F 1 S D,即 可 得 到 8。，平 面 M C,从 而 得 证.【详 解】(1)证 明：因 为 所 平 面/C。，平 面 C E F c平 面 4 8=/,E F u 平 面 CEF,所 以 EF/I,又 平 面 C 平 面 4 8=4。，E F u平 面 4 8 0,所 以 EF/AD,所 以 AD/I.(2)证 明：A D L B D,EF/AD,EF LBD,-：CB=C D,尸 是 8。的 中 点，.C尸-L8。.8 O U平 面 SCO,.平 面 E/C 平 面 BCO.2 0.记
25、 A/8 C 的 内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 C=60。.cos(J-S)=-若 3,求 tan Atm B.(2)若。=2,求 4 8 边 中 线 8 的 最 大 值.石 cos(4+8)=【分 析】(1)依 题 意 可 得 2,利 用 和(差)角 的 余 弦 公 式 得 到 方 程 组 求 出 c o s/c o s B、s i n/s i n B,再 根 据 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 计 算 可 得；C D=-A+CB(2)首 先 利 用 余 弦 定 理 及 基 本 不 等 式 求 出 外 的 最 大 值，再 由 2、,将 两 边 7
26、TR2 2ab+4CD=-4,即 可 求 出 的 最 大 值.cos(4+6)=-c o s C=一;平 方 及 数 量 积 的 运 算 律 得 到【详 解】(1)解：因 为 C=60。，所 以cos J cos 5-sin J sin 5=-即 2,cos（4-8）=cos 力 cos 8+sin 力 sin B=；cos A cos B=-sin J sin=所 以 时,12,所 以 5,八 sin 4 sin 5 17.tan AtanB=-=-5cos A cos B 112(2)解：在 A/8 C 中 由 余 弦 定 理 c?=L+b2-2abcosC,gpa2+b2=ab+4,又
27、a b F a b,所 以 a b 4 4,当 且 仅 当 a=b=2时 等 号 成 立，又 函=；停+无)所 以 八 J 八)=；停+2刀.而+|画=；什+ab+)=2,4 3所 以 1 4 4 6,当 且 仅 当 a=6=2时 等 号 成 立，所 以 4 B 边 的 中 线 C D的 最 大 值 为 V 3.21已 知/(x)=i s i n x-cos x/i n x+x/3 cos x)/(x)=2 s i n(2 x-f(1)证 明：I 3人(2)当 6-X _ 3 时，讨 论 函 数/(X)的 单 调 性；n 24 若。加/3 cos2 x=sin 2x-V3 cos 2 x=2
28、sin 2x-X G 当 71 24一 个 司 时,2x-3)兀，7 T-2x-冗，入 冗，一 2 X-7 T12 或 12/2乃 亍 时，X）单 当 33 2或 2243 即 6调 递 减;71 5 4 x 1212时,/（X）单 调 递 增;综 上 所 述：/（*）在 I 石 7 5）2412 和【12 3 上 单 调 递 减；在 71 5711212 上 单 调 递 增.九 24 g(x)=/(x)-m 在 石 7的 零 点 个 数 等 价 于/（X）与 V=的 图 象 在 71 1713 1上 的 交 点 个 数;=2sin=22-2x-当 2 3 2,即 当?2时，由 图 象 可 知
29、：y=与 7 a）有 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交 点，兀 24.函 数 g（x）=/（x）-在 16,3 上 有 且 仅 有 两 个 零 点.AC=A A22.如 图，直 三 棱 柱 B C-4 4 G 中，2,。是 棱 小 的 中 点，证 明：D C1 B C;若 力 C=8C.(/)求 直 线 8 G 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值；()求 二 面 角-8 O-G 的 大 小.(1)证 明 见 详 解.5n 10()6【分 析】(1)利 用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 进 行 证 明.(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 求 解.【详
30、 解】证 明：设 C=1,因 为 2，所 以 例=2,又。是 棱 4 的 中 点，所 以 在 直 三 棱 柱 N B C-4 4 G 中，4 4 2_面/8(7,所 以 4 4|_ L 4 C,在 RtA/中，由 勾 股 定 理 有：D C 7 AD?+4C。=叵 同 理 可 得：DC、=1AD?+4C；=五,又 CCt=AA1-2所 以 C G2=OC：+O C2,即 o q o c,又 D C J B D,DCCBD=D所 以 D G，面 C 8 D,又 B C u面 C 8 O,所 以。G，8C(i)由 有：D C 1 B C,又 在 直 三 棱 柱 8 C-4 8 G 中，C C J
31、面/B C,又 BCu 面 4 c8,所 以 C G,B C,又 DCcCC=C所 以 8CJ_ 面 力 C G 4,所 以 8C_L4C,BC 工 CC,所 以 C4 CB CC两 两 垂 直.则 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图，设 4=2,则 G(0,0 2),8(0,10),5,(04 2)(4。，0 2),。(1,01)所 以 数=(1,-1 0),而;=(0,0 2),5Cj=(0,-l2)丽=(1,-L1)设 平 面 的 法 向 量 为 7=(x/,z)则 1 万 用 4=0(x-y=0n BB=0 gp2z=0,令 x=,得 N=l,z=0所 以=(1,1,0),设
32、直 线 B G 与 平 面 ABByAX所 成 角 为 0,.八,1lx 0+lx(-l)+0 x 2l V10sm 0=_=4=-7=T=-=则 n-B C V2-V5 10V io所 以 直 线 8 G 与 平 面 ABBA、所 成 角 的 正 弦 值 W.()同 上，设 平 面 8 0 G 的 法 向 量 为 加=.,必,4)则|in.BC=0 J 玉 一%+Z I=0玩 2/)=0 即 1一 必+2Z=0,令 Z|=l,得 弘=2,王=所 以 苏=(1,2,1),设 二 面 角,-B O-G 的 大 小 a,则 由 图 可 知&,m-n.lx l+lx 2+0 x l 也 cosa=-1=-|-1=-为 钝 角，所 以 M,川 1 2 4 6 2.5乃 所 以 二 面 角-8 D-C 的 大 小 石.