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1、3.1 多项式的因式分解第三章 因式分解（1）21等于3乘那个数？（2）x2-1等于x+1乘哪个多项式？21=37.因为(x+1)(x-1)=x2-1，所以x2-1=(x+1)(x-1).讨论讨论对于整数21于3，有整数7使得21=37，我们把3叫做21的一个因数，同理7也是21的一个因数.类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=(x+1)(x-1)成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，x-1也是x2-1的一个因式.因式分解因式分解一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f 的一个因
2、式.把x2-1写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个多项式因式分解.一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.为什么要把一个多项式因式分解呢？每一个大于1的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式.如：12=223，30=235.根据这两个式子，很容易看出12和30的最大公因数为23=6，进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得 同样地，每一个多项式可以表示成若干个基本的多项式乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁.例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.思考思考【例1】下列各式由左边到右边的边形，哪
3、些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.解：（1）是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与a+b乘积的形式.（2）不是.因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式.【例2】检验下列因式分解是否正确.（1）x2+xy=x(x+y)；（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).解：（1）因为x(x+y)=x2+xy，所以（1）正确；（2）因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以（2）正确；（3）因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n2
4、2m2-n2，所以（3）不正确.1.求4，6，14的最大公因数.答案：2.练习练习2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）(x+1)(x+2)=x2+3x+2；（2）2x2y+4xy2=2xy(x+2y)；（3）x2-2=(x+1)(x+1)-1；（4）4a2-4a+1=(2a-1)2.答案：（1）、（3）不是因式分解；（2）、（4）是因式分解.3.检验下列因式分解是否正确.（1）-2a2+4a=-2a(a+2)；（2）x3+x2+x=x（x2+x）；（3）m2+3m+2=(m+1)(m+2)答案：（1）、（2）不正确；（3）正确.通过本节通过本节课课，你有，你
5、有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步3.2 提公因式法第三章 因式分解下列每个式子含字母的因式有哪些？xy，xz，xw.xy的因式有x，y，xz的因式有x，z，xw的因式有x，w，讨论讨论几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.如何把多项式xy+xz+xw因式分解？把乘法分配律从右到左地使用，使得出xy+xz+xw=x(y+z+w).像右边那样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.【例1】把5x2-3xy+x因式分解.解：5x2-3xy+x=x(5x-3y+1).【例2】
6、把4x2-6x因式分解.解：4x2-6x=2x(2x-3).【例3】把8x2y4-12xy2z因式分解.解：8x2y4-12xy2z=(4xy2)2xy2-(4xy2)3z=4xy2(2xy2-3z).1.说出下列多项式中各项的公因式：（1）-12x2y+18xy-15y；（2）r2h+r3；（3）2xmyn-1-4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）.答案：（1）3y；（2）r2；（3）2xm-1yn-1.练习练习2.在下列括号内填写适当的多项式：（1）3x3-2x2+x=x（）；（2）-30 x3y2+48x2yz=-6x2y（）.3x2-2x+15xy-6z3.把下列多项式因式分解：（
7、1）3xy-5y2+y；（2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2；（3）4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3.答案：（1）y(3x-5y+1)；（2）2m2n2(-3m-2n+5)；（3）4x2yz2(x-2z2+3x2yz).下列多项式中各项的公因式是什么？（1）2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；（2）2x(3a-b)-y(b-3a).2am(x+1)，4bm(x+1)与8cm(x+1)的公因式是2x(x+1).b-3a可以看做-(3a-b)，所以2x(3a-b)与y(b-3a)的公因式是3a-b.讨论讨论【例4】把下列多项式因式分解：（1）x(x-2)-3(
8、x-2)；（2）x(x-2)-3(2-x)；解：（1）x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3).（2）x(x-2)-3(2-x)；=x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x+3).【例5】把(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2因式分解.解：(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2 =(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2 =(a-b)2(a+c)-(a-c)=(a-b)2-(a+c-a+c)=2c(a-b)2.【例6】把12xy2(x+y)-18x2y(x+y)因式分解.解：12xy2(x+y)-18x2y(x+y)=6xy(x+y)(2y-3x).把下列多项
9、式因式分解：（1）y(x-y)+x(x-y)；（2）y(x-y)+x(y-x)；（3）a(x-y)2-b(y-x)2；（4）4a2b(a-b)-6ab2(a-b).答案：（1）(x-y)(x+y)；（2）-(x-y)2；（3）(x-y)2(a-b)；（4）2ab(a-b)(2a-3b).练习练习通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步3.3 公式法第三章 因式分解如何把x2-25因式分解？我们学过平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把这个乘法公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b).因此x
10、2-25=x2-52=(x+5)(x-5).a2-b2(a+b)(a-b)像上面那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.思考思考【例1】把25x2-4y2因式分解.解：25x2-4y2 =(5x)2-(2y)2 =(5x+2y )(5x-2y ).【例2】把(x+y )2-(x-y )2因式分解.解：(x+y )2-(x-y )2 =(x+y )+(x-y )(x+y )-(x-y )=2x2y =4xy.【例3】把x4-y4因式分解.解：x4-y4 =(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(
11、x-y).在因式分解时，必须进行到在因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止每一个因式都不能分解为止.【例4】把x3y2-x5因式分解.解：x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y+x)(y-x).1.填空（1）9y2=()2；（2）=()2；3y 2.把下列多项式因式分解：（1）9y2-4x2；（2）(x+y)2-(y-x)2；（3）x4-16；（4）a3-ab2.答案：（1）(3y+2x)(3y-2x)；（2）4xy；（3）(x2+4)(x+2)(x-2)；（4）a(a+b)(a-b).练习练习3.计算：（1）49.62-50.42（2）13.32-11.72答案：（1）-80；
12、（2）40.4.手表表盘的外圆直接为D=3.2cm，内院直接d=2.8cm，在外圆与内圆直径之间涂有防水材料.试求涂上防水材料的圆环的面积（结果保留）.怎样计算较简便？答案：0.6cm2.你能将多项式a2+2ab+b2或a2-2ab+b2进行因式分解吗？我们学过完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，把这个乘法公式从右到左地使用，就可以把形如这样的多项式进行因式分解.例如，x2+4x+4=x2+2x2+22=(x+2)2.a2+2ab+b2(a+b)2思考思考【例5】把9x2-6x+1因式分解.解：9x2-6x+1 =(3x)2-2(3x)1+12 =(
13、3x+1)2.【例6】把-4x2+12xy-9y2因式分解.解：-4x2+12xy-9y2 =-(4x2-12xy+9y2)=-(2x)2-22x3y+(3y)2 =-(2x-3y)2.【例7】把a4+2a2b+b2因式分解.解：a4+2a2b+b2 =(a2)2+2a2b+b2 =(a2+b)2.【例8】把x4-2x2+1因式分解.解：x4-2x2+1 =(x2)2-2x21+12 =(x2-1)2 =(x+1)2(x-1)2.1.填空（若某一栏不适用，填入“不适用”）：多项式多项式能否表示成能否表示成(a+b)2或或(a-b)2的形式的形式a，b各表示什么？各表示什么？x2-10 x+25x2+2x+41+y+0.25y24x2-12xy+9y2能a表示x，b表示5.不适用能a表示1，b表示0.5y.能a表示2x，b表示3y.练习练习2.把下列多项式因式分解：（1）（2）（3）（4）答案：（1）；（2）(4y-3)2；（3）；（4）3x2(x+y2)2.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步