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1、山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布引例引例:1.炮弹落点的位置必须用两个坐标炮弹落点的位置必须用两个坐标X和和Y来描述；来描述；2.遗传学家在研究儿子的身高遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高与父亲身高Y、母母亲身高亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量X、Y和和 Z 。特点特点:试验结果需要用两个或两个以上的随机变量试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才能描述才能描述。定义定义 设设E：=，X1，X2，Xn是定义在是定义在上上的的n个随机变量，称随机变量组（个随机变量，称
2、随机变量组（X1，X2，Xn）为为定义在定义在上的上的n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂3.1.1 二维随机变量（二维随机变量（X，Y）的概率分布；的概率分布；3.1.2 二维离散型随机变量（二维离散型随机变量（X，Y）及其分布；及其分布；3.1.3 二维连续型随机向量（二维连续型随机向量（X，Y）及其分布；及其分布；3.1.1 二维随机变量（二维随机变量（X，Y）的概率分布的概率分布 定义定义 设设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数称二元函数 F（x,y）=PXx,Yy为
3、二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或随机变量的分布函数，或随机变量X和和Y的联合分布函数。的联合分布函数。3.1 3.1 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 1.几几何何意意义义 F(x,y)表表示示随随机机点点(X,Y)落落在在以以(x,y)为为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。2.概率计算概率计算 对于任意的对于任意的x1x2，y1y2，有有 Px1Xx2，y1Yy2 F（x2,y2）-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)山东农业大学 概率
4、论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 3.二维分布函数二维分布函数F(x,y)的基本性质的基本性质(1)0F（x,y）1；(2)(2)F(x,y)关于变量关于变量x x和和y y均单调非减，且右连续；均单调非减，且右连续；(3)(3)对于任意固定的对于任意固定的y，F(-,y)=0;对于任意固定的对于任意固定的x，F(x,-)=0;F(-,-)=0，F(+,+)=1(4)对于任意的对于任意的x1x2,y1y2 恒有恒有:(5)P x1X x2,y1Y y2(6)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂3.1
5、.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)及其分布及其分布 定义定义 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限或可能的取值为有限或可列个可列个 实数对，则称实数对，则称(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量 1.(X,Y)的概率分布列的概率分布列 若若二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,，则称概率函数则称概率函数 pij=P X=xi,Y=yj,(i,j=1,2,)，为为(X,Y)的的概概率率分分布布或或X与与Y的的联联合合概概率率分分布布，也也称称为为(X,Y)的分布的分布(列列)或
6、或X与与Y的联合分布的联合分布(列列)2.(X,Y)的概率分布律的概率分布律 pij 的性质：的性质：（1）pij0；i,j=1,2,;（2）山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 3.(X,Y)的分布表或的分布表或X与与Y的联合分布表的联合分布表 y1 y2 yj x1 p11 p12 p 1j x2 p21 p22 p 2j ：xi pi1 pi2 pij ：XY 4.(X,Y)的分布函数的分布函数其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足xix,yjy的的i,j来求和的。来求和的。山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例例1 将两封信随意地投入将两封信随意
7、地投入3个空邮筒，设个空邮筒，设X、Y分别表分别表示第示第1、第、第2个邮筒中信的数量，求个邮筒中信的数量，求X与与Y的联合概率分的联合概率分布，并求出第布，并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率个邮筒里至少投入一封信的概率.解解 X、Y各自可能的取值均为各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，由题设知，取（取（1，2）、（）、（2，1）、（）、（2，2）均不可能）均不可能.取其他值取其他值的概率可由古典概率计算的概率可由古典概率计算.山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂(X,Y)的概率分布表为：的概率分布表为：P第三个邮筒里至少有一封信第三个邮筒里至少有一封信 Y 0 1
8、2 0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0X=P第一、第二个邮筒里最多只有一封信第一、第二个邮筒里最多只有一封信=PX+Y11 事件事件X+Y11包含三个基本事件事件包含三个基本事件事件所以所以 PX+Y1 =PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=5/9即第三个邮筒里至少有一封信的概率为即第三个邮筒里至少有一封信的概率为5/9 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 3.1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X,Y)及其分布及其分布 定定义义 设设(X,Y)的的分分布布函函数数为为F(x,y)，如如果果存存在在非非负可积的
9、二元函数负可积的二元函数 f(x,y)，使得对于任意实数使得对于任意实数x,y有有则则称称（X,Y）为为二二维维连连续续型型随随机机变变量量，称称函函数数f(x,y)为为二二维维随随机机变变量量（X,Y）的的概概率率密密度度函函数数或或随随机机变变量量 X和和 Y的联合密度函数。的联合密度函数。山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 1.概率密度函数概率密度函数 f(x,y)的性质的性质（1）f（x,y）0 （4）点）点(X,Y)落在落在xoy的平面区域的平面区域D内的概率为内的概率为:（3）若）若f(x,y)在（在（x,y）处连续则有处连续则有 f(x,y)=山东农业大学 概
10、率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为求求(1)常数常数k;(2)(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y);(3)PX1,Y1 解解 (1)因为因为所以所以(2)F(x,y)=山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂（3）山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例例3 设二维随机变量（设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为的概率密度函数为D为为xoy平面内由平面内由x轴轴,y轴和不等式轴和不等式x+y1所确定的区域所确定的区域.解解 如图所示如图所示山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂若二维随机向量（若二维随机向量（X，Y）的（联合）概率密度为的（联合）概率密度为其中其中 1,2,1,2,均为常数，且均为常数，且 1 0,2 0,|1，则则称称(X,Y)服服从从参参数数为为 1,2,1,2,的的二二维正态分布维正态分布.记为：记为：(X,Y)N(1,12;2,22;)2.2.二维正态分布二维正态分布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例如例如(X,Y)N(1,16;3,25;0)，其密度函数为，其密度函数为二维正态分布密度函数的图像为钟型曲面二维正态分布密度函数的图像为钟型曲面